在人教版教材二年級(jí)下冊(cè)“混合運(yùn)算”單元，關(guān)于運(yùn)算法則，只有短短三句話(huà)：在沒(méi)有括號(hào)的算式里，只有加、減法或只有乘、除法，都要從左往右按順序計(jì)算；在沒(méi)有括號(hào)的算式里，如果既有乘、除法，又有加、減法，要先算乘、除法，后算加、減法；算式里有括號(hào)的，要先算括號(hào)里面的。通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生做24-6÷3、4+6×3這類(lèi)混合運(yùn)算的題目時(shí)，錯(cuò)誤率將近五成。當(dāng)問(wèn)學(xué)生為什么這樣規(guī)定運(yùn)算順序時(shí)，他們基本上無(wú)法說(shuō)明理由。可見(jiàn)，學(xué)生只知道混合運(yùn)算的運(yùn)算法則是什么，卻未悟得其中蘊(yùn)藏的道理。這反映了“混合運(yùn)算”單元的教學(xué)及學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑存在一定的問(wèn)題。

一、教學(xué)現(xiàn)狀分析

基于學(xué)習(xí)路徑分析的單元整體教學(xué)視角思考“混合運(yùn)算”單元的教學(xué)，其核心目標(biāo)是理解混合運(yùn)算的意義。然而，通過(guò)對(duì)教學(xué)現(xiàn)狀的調(diào)查和分析，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)教師教學(xué)時(shí)過(guò)度強(qiáng)調(diào)對(duì)運(yùn)算法則的技能訓(xùn)練，忽視了對(duì)混合運(yùn)算整個(gè)知識(shí)體系的建構(gòu)，從而阻礙了學(xué)生對(duì)核心內(nèi)容的精準(zhǔn)理解。究其原因，主要有以下幾個(gè)方面：

（一）認(rèn)知與本質(zhì)出現(xiàn)偏差。

1.小括號(hào)的內(nèi)涵是什么？

圖1所示是教材中較為典型的算式合并的練習(xí)題。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，對(duì)于這兩道題，隨意添加或缺少小括號(hào)的學(xué)生多達(dá)54%。訪(fǎng)談出錯(cuò)的學(xué)生：“聰聰已經(jīng)提示你想一想什么時(shí)候需要加括號(hào)，為什么還加得不對(duì)呢？”大多數(shù)學(xué)生表示小括號(hào)改變運(yùn)算順序運(yùn)用起來(lái)比較復(fù)雜。

我們也略感詫異，于是在課堂上做了一個(gè)學(xué)生調(diào)研。出示兩個(gè)算式：14+16÷3，14+15÷3。隨后提問(wèn)學(xué)生：“想先算加法，小括號(hào)應(yīng)怎么添？是否可以不加小括號(hào)？”一個(gè)學(xué)生回答：“第一個(gè)算式可以不加小括號(hào)，因?yàn)?6÷3不能除，一定要先算加法；第二個(gè)算式要加小括號(hào)，因?yàn)?5÷3是可以除的。”不少學(xué)生表示贊同?？梢?jiàn)學(xué)生并沒(méi)有理解小括號(hào)的意義是什么，而是將運(yùn)算順序歸結(jié)于計(jì)算是否行得通。

2.為什么要“先算乘、除法，后算加、減法”？

本單元之前，有關(guān)兩步運(yùn)算的知識(shí)包括“連加”“連減”“乘加”“乘減”，均是從左往右算。因此，學(xué)生原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了較大的負(fù)遷移。我們?cè)L談了已學(xué)習(xí)該單元前3個(gè)課時(shí)的二年級(jí)學(xué)生：“先算乘、除法，后算加、減法，是否有道理？”67%的學(xué)生認(rèn)為有道理，他們認(rèn)為乘、除法更高級(jí)，33%的學(xué)生認(rèn)為沒(méi)有道理，其中有學(xué)生指出“先算的加一個(gè)小括號(hào)就可以了，為什么還要先算乘、除法，后算加、減法”?？梢?jiàn)學(xué)生僅僅將小括號(hào)作為一個(gè)改變運(yùn)算順序的工具。

（二）教學(xué)與情境脫節(jié)。

教師在教學(xué)如何列綜合算式時(shí)，往往會(huì)說(shuō)“找到第一步的結(jié)果圈出來(lái)，然后將第一步的算式代入到第二步中”?；旌纤闶降男枨髞?lái)源于解決問(wèn)題，在毫無(wú)情境支撐的前提下，學(xué)生如何能理解算式合并的過(guò)程？脫離實(shí)際情境的教學(xué)方法偏向于一種運(yùn)算技能的訓(xùn)練，所以學(xué)生對(duì)混合算式可以解決問(wèn)題這件事情難有深刻的體會(huì)。

對(duì)于問(wèn)題“小明帶了50元，買(mǎi)了5支圓珠筆，每支圓珠筆6元，還剩下多少錢(qián)”，62%的學(xué)生選擇列分步算式，11%的學(xué)生列出分步算式后又寫(xiě)出綜合算式，27%的學(xué)生直接列出綜合算式，可見(jiàn)綜合算式似乎并不受待見(jiàn)。訪(fǎng)談后得知，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，認(rèn)為“50-5×6=20（元）”和“5×6=30（元），50-30=20（元）”是兩種不同的解法，并且不太理解“代入”這種合并算式的過(guò)程。實(shí)際上，兩類(lèi)算式指向的故事發(fā)生的順序是一致的，它們是同一種解題思路的不同表達(dá)方式，屬于同一種解法。

（三）學(xué)法與學(xué)情斷層。

參照“混合運(yùn)算”單元的學(xué)習(xí)框架，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)是斷層的。第一個(gè)斷層點(diǎn)是將分步算式合并成綜合算式。大多數(shù)教師在教學(xué)時(shí)認(rèn)為學(xué)生輕而易舉就可以將分步算式合并成綜合算式，并且完全脫離情境教學(xué)。第二個(gè)斷層點(diǎn)是學(xué)生還未理解運(yùn)算法則及符號(hào)的含義，就要去判斷列好的綜合算式中是否需要添加小括號(hào)。

二、優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑

如何基于學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)幫助學(xué)生理解混合運(yùn)算的意義？史寧中教授指出：“所有的混合運(yùn)算都是在講述兩個(gè)或兩個(gè)以上的故事?！?[1]而小括號(hào)的意義就是保證故事優(yōu)先發(fā)生，利用小括號(hào)解決第一個(gè)故事，才能讓第二個(gè)故事順利“講”下去?；旌纤闶降暮喜⑦^(guò)程中，學(xué)生的心里應(yīng)當(dāng)有情境支撐，先發(fā)生的故事，用小括號(hào)表示出來(lái)[1]。

徐品方教授也指出，在特定情況下括號(hào)是可以省略的[2]。部分教師在教學(xué)時(shí)將小括號(hào)解讀為改變運(yùn)算順序，從現(xiàn)實(shí)意義講，是不符合邏輯的，因?yàn)椴荒茈S意改變一個(gè)現(xiàn)實(shí)事件發(fā)生的順序。所以一般情況下，混合算式先算的部分都是有小括號(hào)的，只是根據(jù)運(yùn)算法則，部分小括號(hào)是可以去掉的，當(dāng)然也可以不去掉。這與史寧中教授的“故事論”不謀而合。

此外，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在探索、比較中，將混合運(yùn)算的運(yùn)算法則從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出來(lái)，體會(huì)和理解運(yùn)算法則的合理性。因此，最終確定本單元的主要學(xué)習(xí)路徑：

（一）在實(shí)際情境中，借助數(shù)量關(guān)系溝通分步算式與綜合算式之間的聯(lián)系，并運(yùn)用小括號(hào)表示先發(fā)生的“故事”。

（二）在購(gòu)物情境中，經(jīng)歷“先算乘、除法，后算加、減法”運(yùn)算法則生成的過(guò)程，體會(huì)運(yùn)算法則的合理性，能夠運(yùn)用運(yùn)算法則，省略不影響運(yùn)算順序的小括號(hào)。

（三）理解混合運(yùn)算的運(yùn)算法則，培養(yǎng)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)靈活運(yùn)用小括號(hào)的能力。

三、教學(xué)片段解析

基于以上分析，混合運(yùn)算的教學(xué)應(yīng)圍繞小括號(hào)開(kāi)展，故事發(fā)生的順序與混合算式運(yùn)算的順序保證一致性，強(qiáng)調(diào)先算的部分應(yīng)該添上小括號(hào)，最后聯(lián)系情境及運(yùn)算法則靈活去小括號(hào)。于是，我們重構(gòu)了單元教學(xué)設(shè)計(jì)，將“混合運(yùn)算”的起始課（對(duì)本單元教學(xué)起著導(dǎo)向作用的核心課例），調(diào)整為“有小括號(hào)的混合算式”。以下將對(duì)比“混合運(yùn)算”的傳統(tǒng)教學(xué)和重構(gòu)教學(xué)片段并加以分析。

（一）傳統(tǒng)教學(xué)片段。

教師出示主題情境圖（如圖2）：請(qǐng)同學(xué)們用自己喜歡的方法解決這個(gè)問(wèn)題。

生1：4×3=12（盒），12+3=15（盒）。

師：你是怎么想的？

生1：我先算出每組4盒的共有12盒，再加上剩下的3盒，一共有15盒。

生2：4×3+3=15（盒）。

師：你先算什么，再算什么？

生2：先算出每組4盒的共有12盒，再加上剩下的3盒，一共有15盒。

生3：3+4×3=15（盒）。

師：你先算什么，再算什么？

生3：也是先算4×3=12（盒），再算3+12=15（盒）。

師：為什么不先算加法呢？

生3：如果先算加法，答案就錯(cuò)了。

師：在混合運(yùn)算中，要先算乘、除法，后算加、減法。

【評(píng)析】回顧這個(gè)教學(xué)片段，很多教師認(rèn)為該教學(xué)環(huán)節(jié)簡(jiǎn)單、高效，學(xué)生能從結(jié)果的角度得出正確的運(yùn)算順序，進(jìn)行了充分的思考和學(xué)習(xí)。實(shí)際上，如果大家深入思考，會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)如同教師自導(dǎo)自演的一場(chǎng)戲。試想，學(xué)生借助一個(gè)情境，僅從計(jì)算結(jié)果得出運(yùn)算順序，能準(zhǔn)確地解釋運(yùn)算法則背后的道理嗎？若將情境換成“面包房一共要烤90個(gè)面包，已經(jīng)烤了36個(gè)。如果每次能烤9個(gè)，剩下的還要烤幾次”，也按照原來(lái)的教學(xué)方式開(kāi)展，就會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)定“先算減法，再算除法”，也是合情合理的。

（二）重構(gòu)教學(xué)片段。

教師出示主題情境圖（圖略）：明明帶了24元錢(qián)買(mǎi)鉛筆盒，鉛筆盒的價(jià)錢(qián)比訂書(shū)機(jī)便宜2元，每個(gè)訂書(shū)機(jī)10元，可以買(mǎi)幾個(gè)鉛筆盒？

任務(wù)1：列分步算式。

生：10-2=8（元），24÷8=3（個(gè)）。

師：請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)是怎么解決這個(gè)問(wèn)題的。

生：因?yàn)殂U筆盒的價(jià)錢(qián)比訂書(shū)機(jī)便宜2元，所以10減2，先求出鉛筆盒的價(jià)錢(qián)，再用24除以8，算出能買(mǎi)幾個(gè)鉛筆盒。

師：真好！能根據(jù)生活情境中的數(shù)學(xué)信息，有序地解決實(shí)際問(wèn)題。

任務(wù)2：列綜合算式。

出示任務(wù)要求：

想一想：怎么把兩個(gè)算式合并成一個(gè)算式？

寫(xiě)一寫(xiě)：把合并后的算式寫(xiě)在學(xué)習(xí)單上。

說(shuō)一說(shuō)：為什么這樣寫(xiě)？有哪些要注意的地方？

對(duì)比呈現(xiàn)學(xué)生作品：24÷10-2=3（個(gè)），24÷（10-2）=3（個(gè)）。

師：請(qǐng)仔細(xì)觀察這兩個(gè)算式，有什么想說(shuō)的？

生：第一個(gè)算式中沒(méi)有小括號(hào)，要給“10-2”添上小括號(hào)。

師：為什么要給“10-2”添上小括號(hào)呢？

生：因?yàn)槲覀円惹蟪鲢U筆盒的價(jià)錢(qián)，要先算“10-2”才行，所以要給它加上小括號(hào)。

師：誰(shuí)聽(tīng)懂小括號(hào)的作用了？

生：先算的部分添上小括號(hào)。

任務(wù)3：對(duì)比分步算式和綜合算式。

師：對(duì)比分步算式和綜合算式，兩種算式有什么異同？

生1：都是先求鉛筆盒的價(jià)錢(qián)，再求鉛筆盒的數(shù)量。

生2：分步算式中不需要括號(hào)，綜合算式中要給先算的部分添上小括號(hào)。

生3：綜合算式更簡(jiǎn)單，“8”都不需要寫(xiě)。

師：分步算式里的“8”去哪兒了呢？

生3：這個(gè)“8”就是“10-2”。

生4：這2個(gè)“8”都是“10-2”得到的，都表示鉛筆盒的價(jià)錢(qián)。

師：看來(lái)你們讀懂這個(gè)綜合算式了。在綜合算式中，我們用“10-2”把“8”替換掉了。

【評(píng)析】學(xué)生反饋的過(guò)程正是根據(jù)“故事”發(fā)生的順序分析數(shù)量關(guān)系，列出分步算式，并依托數(shù)量關(guān)系將分步算式合并成綜合算式，而小括號(hào)的作用就是將先發(fā)生的部分用小括號(hào)表示出來(lái)。整個(gè)教學(xué)過(guò)程環(huán)環(huán)相扣，課堂生成自然。最后分步算式和綜合算式的對(duì)比，既發(fā)散了學(xué)生的思維，又將二者緊密聯(lián)系在一起，幫助學(xué)生真正理解了小括號(hào)的意義。

四、教學(xué)思考

算理是混合運(yùn)算的理論依據(jù)，算法是混合運(yùn)算的基本程序。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生因?yàn)樗憷聿磺?、算法不明，無(wú)法適應(yīng)計(jì)算中千變?nèi)f化的各種情況，不能靈活地進(jìn)行計(jì)算。關(guān)于如何開(kāi)展有效且有深度的教學(xué)，我們有以下一些思考：

（一）順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論把認(rèn)知發(fā)展分為四個(gè)階段，而二年級(jí)的學(xué)生正處于具體運(yùn)算階段，他們的思維活動(dòng)需要具體內(nèi)容的支撐。在混合運(yùn)算教學(xué)中，我們借助實(shí)際情境，通過(guò)“講故事”，教學(xué)將分步算式合并成綜合算式，并借用小括號(hào)保證運(yùn)算順序和事情發(fā)展順序的一致性，再運(yùn)用“先算乘、除法，后算加、減法”的運(yùn)算法則省略不影響事情發(fā)展順序的小括號(hào)，從而培養(yǎng)學(xué)生靈活去括號(hào)的能力。這樣設(shè)計(jì)，既順應(yīng)了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又為學(xué)生提供了自主探索的空間，使學(xué)生經(jīng)歷和感受簡(jiǎn)潔化的過(guò)程，深刻理解運(yùn)算法則背后的道理。

（二）創(chuàng)設(shè)促進(jìn)理解的情境。

史寧中教授指出，小學(xué)階段數(shù)學(xué)的一切概念和法則都是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的[1]。如果情境創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)，有事半功倍之效。如何設(shè)置情境，更有利于體會(huì)運(yùn)算法則規(guī)定的必要性及理解運(yùn)算符號(hào)對(duì)數(shù)量關(guān)系的表達(dá)？第一，問(wèn)題情境必然是學(xué)生熟悉的背景素材，且能與學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容相互契合，還能衍生出多種問(wèn)題類(lèi)型，在一定程度上引發(fā)學(xué)生深入思考。對(duì)于“混合運(yùn)算”單元，我們圍繞購(gòu)物創(chuàng)設(shè)情境，因?yàn)橘?gòu)物就發(fā)生在學(xué)生的身邊，且在購(gòu)物情境中，存在著較為鮮明的先后邏輯關(guān)系，可以作為有利的學(xué)習(xí)支架，支持學(xué)生理解運(yùn)算順序。第二，以情境串的方式，創(chuàng)設(shè)“減除”“減乘”“加除”“加乘”這幾類(lèi)典型易錯(cuò)的問(wèn)題情境，突破教學(xué)難點(diǎn)，從而使學(xué)生真正理解混合運(yùn)算的意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中.基本概念與運(yùn)算法則[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]徐品方，張紅.數(shù)學(xué)符號(hào)史[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

（作者單位：浙江溫州市甌海區(qū)南甌實(shí)驗(yàn)小學(xué)，甌海區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)集團(tuán)學(xué)校，福建師范大學(xué)教育學(xué)院）