盡管函數長期以來一直被視為數學中一個至關重要的概念，但對函數的學習一般從中學開始，因為人們認為只有足夠年齡的學生才能達到抽象的思維水平。近年，有學者關注小學課程中的函數內容，并認為函數學習是早期代數教學的關鍵途徑。2022年版課標中也強調在小學階段應加強用字母表示的內容，以承載發(fā)展學生早期代數思維的重要價值。但在教育實踐中存在將“用字母表示”單元看作小學生早期代數思維發(fā)展起點的問題，實則不然，學生在正式學習代數知識之前，甚至從學前階段起，便有代數思維的萌芽。布蘭頓等人曾研究了6歲兒童關于一般化函數關系經驗發(fā)展的學習軌跡，并概括出了“函數關系理解水平框架”，得到了“幼兒能夠以非常復雜的方式思考函數關系”等研究結論[1]。

基于以上研究背景，本文以一年級（6～7歲）學生在函數關系一般化活動中的表現為例，對“函數關系理解水平框架”進行解讀，并對小學數學早期代數教學提出相關建議。

一、“函數關系理解水平框架”介紹

布蘭頓等人概括出了一年級學生“函數關系理解水平框架”（見表1）[2]。

二、“函數關系理解水平框架”解讀

（一）調研題目設計。

我們針對一般化數量關系與變化規(guī)律設計了兩個調研題目。題目1源于教材中的現實情境——年齡問題，側重于對數量關系的一般化表示；題目2為數學情境中的幾何問題，側重于對圖形序列中所蘊含的規(guī)律進行一般化的概括，再對其中的數量關系進行一般化表示。

題目1：年齡問題。當小紅1歲時，媽媽的年齡是31歲。請你填寫表2，并解答下列各題。

（1）當小紅6歲時，媽媽的年齡是（ ）歲。

（2）當小紅11歲時，媽媽的年齡是（ ）歲。

（3）當小紅25歲時，媽媽的年齡是（ ）歲。

（4）你能想辦法表示出媽媽和小紅年齡之間的關系嗎？

題目2：圖形序列問題。觀察圖1，并解答下列各題。

（1）第5項中有（ ）個小方塊。

（2）第6項中有（ ）個小方塊。

（3）第25項中有（ ）個小方塊。

（4）你能想辦法表示出這個規(guī)律嗎？

學生在歸納概括以上問題中的數量關系或變化規(guī)律時，會經歷函數關系的抽象、推理等一系列思維過程，并使用不同表征方式進行一般化的表示。因此，這兩個題目的設計能夠有效測量學生的函數思維水平。為了保證調研能涵蓋不同能力水平的學生，我們選取北京市石景山區(qū)某校同一班級的35名學生作為被試，并對典型個案進行訪談，以此為依據進行案例分析。

（二）框架的具體解讀。

依據調研中所體現出的學生函數思維發(fā)展的關鍵節(jié)點，我們將框架中的八個水平分為三個階段，其大體特征如下：處于遞歸水平階段的學生面對函數關系時主要表現出顯著的遞歸思維，處于原始函數階段的學生能利用列舉實例的方法描述對應值之間的函數關系，處于精練函數階段的學生則能表示出一般化函數關系的關鍵屬性。

需要說明的是，前結構水平具有一定的特殊性與獨立性，我們并未將其歸屬于某個階段，因為處于前結構水平的學生在表示函數關系時，不會用任何方式表達兩個量之間的數學關系。例如，在圖形序列問題中，有的學生沒發(fā)現任何規(guī)律；在年齡問題中，有的學生僅能發(fā)現“小紅和媽媽都在長大”，但不能對二者年齡間的函數關系或遞歸關系進行表達。因此，前結構水平可看作函數思維發(fā)展的起點獨立存在。

1.第一階段：遞歸水平階段。

遞歸水平階段包括框架中的遞歸-特殊、遞歸-一般兩個水平。從本階段的名稱可看出，處于此階段的學生更加關注函數關系中的遞歸模式，也就是說，能注意到因變量所在那一列數值的變化規(guī)律，但難以構建出兩個量之間的對應法則。若學生將遞歸模式理解為特定實例的序列，則處于遞歸-特殊水平；若學生將其理解為任意連續(xù)值之間的一般規(guī)則，則處于遞歸-一般水平。區(qū)別二者的關鍵在于能否將函數關系中的遞歸規(guī)律一般化。

由圖2和圖3可以看出，這兩名學生在解答年齡問題時表現出的函數思維均處于遞歸水平階段。

圖2中，學生通過逐一計數的方式描述小紅和媽媽年齡間的關系，他將遞歸模式概念化為一種計數過程，但并沒有將其理解為一種一般關系（例如，每年都增長1歲），故該生對函數關系的理解處于遞歸-特殊水平。圖3中，學生用“＋1”的形式表示小紅和媽媽年齡的遞增關系，他在訪談中提及“小紅每年大1歲，媽媽也每年大1歲”，也就是將此遞歸模式理解為一般化的規(guī)則，故該生的函數思維處于遞歸-一般水平。需要說明的是，處于遞歸-一般水平的學生雖然有時也會通過列舉實例來描述自己發(fā)現的遞歸模式，但他們所描述的仍是一個一般化的規(guī)律。

總之，處于遞歸水平階段的學生在表示函數關系時，只能關注到其中的遞歸模式，并不能關注自變量與因變量之間的函數關系。若學生有關注兩個量間對應關系的意識，即便只是發(fā)現了特殊值間的對應關系，該生的思維也上升至原始函數階段。

2.第二階段：原始函數階段。

原始函數階段包括函數-特殊、原始的函數-一般兩個水平。處于原始函數階段的學生與第一階段相比，能夠關注到自變量與因變量間的函數關系，但他們對關系的表達還具有原始特征——通過列舉實例的方式表示。若學生僅能描述特定對應值間的特定關系，則處于函數-特殊水平；若學生能利用非特定對應值描述兩個量之間的一般關系，則其思維便上升至原始的函數-一般水平。處于這兩種函數思維水平的學生都利用對應值來描述兩量間的函數關系，區(qū)別二者的關鍵在于能否將此函數關系推廣至一般情況。

由圖4和圖5可以看出，這兩名學生在年齡問題中表現出的函數思維處于原始函數階段。

對于圖4，僅從函數視角分析：當小紅的年齡為1～4歲這組特定值時，學生知道可以用“小紅的年齡＋30”這一關系計算媽媽的年齡；而當小紅的年齡是10歲時，該生頭腦中的函數關系便變?yōu)椤?0＋2＝42”，這說明他對函數關系的理解并沒有一般化，處于函數-特殊水平。圖5中，雖然學生也只用了幾組對應值表示小紅與媽媽年齡間的關系，但當數值擴展至小紅11歲時，他仍然能將此關系推廣并應用，這說明他頭腦中的函數關系已經推廣至一般情況，函數思維也就達到了原始的函數-一般水平。

需要說明的是，即便是本階段函數思維水平較高的學生，也只能用若干組對應值來描述兩個量之間的函數關系。他們既不能應用可表示任意值的一般化的變量，也不能概括出兩個量間一般化的函數關系，只能基于實例描述。

3.第三階段：精練函數階段。

精練函數階段與上一階段的最大區(qū)別在于：處于此階段的學生不僅能發(fā)現兩個量之間一般化的函數關系，而且能用語言、文字、圖形甚至字母等表征形式表示一般化的量，也就是出現了表示一般化函數關系的關鍵屬性。根據學生對一般化函數關系表達的情況，我們又把函數階段進一步分為形成中的函數-一般、精練的函數-一般及作為對象的函數三個水平。需要說明的是，盡管有些學生對一般化函數關系的表述并不完整甚至出現錯誤，但只要在表達時出現了一般化函數關系的關鍵屬性，其函數思維便處于精練函數階段。

函數思維處于形成中的函數-一般水平（即水平6）的學生在表示函數關系時存在以下特征：有時能夠使用一般化的量，卻表示不出它們之間一般化的函數關系；有時能夠表示出兩個量之間一般化的函數關系，卻沒有使用一般化的量。也就是說，在一般化表示變量和關系中，他們只能完成其中一項。而處于精練的函數-一般水平（即水平7）的學生可以用一般化的量正確表示一般化的函數關系。換言之，二者最大的區(qū)別在于學生用一般化的函數關系表示時，一般化的關鍵屬性（一般化的變量與一般化的關系）是否全部出現。若僅出現其一，則其處于水平6；若二者全部出現，則其處于水平7。若學生在此基礎上還能將函數關系概念化，將其作為一個可以執(zhí)行新過程的對象并進行運算與推理，則其思維處于作為對象的函數水平（即水平8）。

對于圖形序列問題，由于一年級學生很難發(fā)現圖形序列中的復雜規(guī)律，所以他們若想將此規(guī)律推廣并一般化表示則更為艱難?？上驳氖牵诿鎸@一富有挑戰(zhàn)性的任務時，仍然有學生能夠達到精練的函數-一般水平，甚至能運用清晰的符號系統(tǒng)表示一般化的量，且能正確表達一般化的函數關系（如圖6和圖7），這也為后續(xù)代數學習中字母符號的產生奠定了重要基礎。

在本次調研中，沒有作為對象的函數水平出現。究其原因，一方面，設計的任務沒有激發(fā)學生將函數作為對象的需求；另一方面，受年齡與學習經驗的限制，一年級學生思維能達到精練函數階段就已經說明其達到了較高的函數思維水平。在對高年級學生進行調研過程中可發(fā)現，學生有將函數作為對象進行運算與推理的能力，也能在解決問題中運用此策略并感受到代數推理的價值，可見水平8在學生函數關系理解的進階過程中也是至關重要的一環(huán)。

三、對早期代數教學的啟示與建議

（一）適當降低早期代數教學的起始年級，關注學生早期代數思維的培養(yǎng)。

在以往的教學中，一線教師常常以“用字母表示”單元開啟早期代數的教學，而通過對一年級學生函數關系理解水平進行調研發(fā)現，兒童對函數的理解水平雖然有差異，但他們所表現出的潛力遠遠超越人們的想象。不僅如此，在高年級學生思維中普遍存在的問題——從遞歸思維到函數思維轉變困難，在一年級學生中反而較少顯示[2]。所以應適當提前早期代數教學的起始年級，關注學生早期代數思維的培養(yǎng)。

（二）把握課程內容的整體性與階段性，促進學生對數量關系的理解。

數學是研究數量關系和空間形式的科學，2022年版課標在內容結構上的一個重要變化就是在“數與代數”領域設立了數量關系主題。數量關系主要是用符號（包括數）或含有符號的式子表達數量之間的關系或規(guī)律。學生在第四學段將正式開啟對數與式、方程與不等式、函數這三個主題的學習，而這些內容在小學階段則孕伏于數量關系這一主題中，這也體現了代數課程內容的整體性與階段性。教師在不同年級教學中都應把握數量關系主題內容的整體性與階段性，注重引導學生用符號對實際情境中數量間的關系與規(guī)律進行探索，并嘗試進行一般化的表達，逐漸發(fā)展學生的早期代數思維。

（三）鼓勵學生用不同表征方式表示函數關系，關注學生的思維過程。

早期代數思維培養(yǎng)的核心是尋求一般化的思維習慣，而不是用符號表示[3]。從我們的調研中可以看出，一年級學生在描述兩個量之間的函數關系時若出現了一般化的量這一關鍵屬性，其函數思維便達到了水平6。對低年級學生而言，他們在概括函數關系時很難運用符號系統(tǒng)進行表征，更多時候會以情境、圖象、文字甚至口語等方式表征，所以教師要鼓勵學生用自己的方式表征一般化的函數關系，注重發(fā)展學生的表征能力，并關注學生在研究函數問題時的思維過程。

（四）設計富有挑戰(zhàn)性的學習任務，激發(fā)學生對一般化關系的思考。

我們在對學生進行課堂觀察與訪談時發(fā)現了一個有趣的現象：在研究圖形序列問題的過程中，在思考第5、6項這些“較近項”中的方塊數時，多數學生表現出的是遞歸思維；在研究具有挑戰(zhàn)性的學習任務——第25項（較遠項）中的方塊數時，他們開始關注圖形排列中的結構，并主動思考項數與方塊數間的關系，逐漸出現函數思維。當教師問其原因時，多數學生表示“每次加2的方法太慢了”。也就是說，學生在研究富有挑戰(zhàn)性的學習任務時，才會產生對圖形的本質結構、數量間的函數關系進行深入思考的需求，才能感受到將函數關系一般化的價值。因此教師在早期代數教學中，應注重設計富有挑戰(zhàn)性的學習任務，從而激發(fā)學生對函數關系一般化的思考與感悟。

參考文獻：

[1]Blanton M， Brizuela B M， Gardiner A M， et al.A learning trajectory in 6-Year-Olds' thinking about generalizing functional relationships[J].Journal for Research in Mathematics Education，2015，46（5）.

[2]安娜·C.斯蒂芬斯，艾米·B.埃利斯，瑪利亞·布蘭頓，等.小學與初中階段的代數思維[M]//蔡金法.數學教育研究手冊（第二冊）：數學內容和過程的教與學.北京：人民教育出版社，2020.

[3]孫思雨，孔企平.早期代數：國際小學數學課程改革的新熱點[J].小學數學教師，2019（6）.

（作者單位：北京景山學校遠洋分校，朝陽區(qū)教育科學研究院，北京教育科學研究院基礎教育教學研究中心）