2022年版課標(biāo)中，“圖形與幾何”領(lǐng)域包括“圖形的認(rèn)識(shí)與測量”“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”兩個(gè)主題，這兩個(gè)主題之間有著密切的聯(lián)系。比如刻畫圖形，一是要從圖形特征的維度認(rèn)識(shí)圖形，關(guān)注構(gòu)成圖形的要素與要素之間的關(guān)系、圖形與圖形之間的關(guān)系；二是要從度量的維度認(rèn)識(shí)圖形；三是要從運(yùn)動(dòng)的角度認(rèn)識(shí)圖形，研究圖形的性質(zhì)。本文嘗試從運(yùn)動(dòng)的視角重新審視上述兩個(gè)主題，希望對(duì)教師把握結(jié)構(gòu)化的課程內(nèi)容、體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)有所幫助。

一、從運(yùn)動(dòng)的視角刻畫圖形的特征，發(fā)展空間觀念

在認(rèn)識(shí)圖形的過程中，可以從運(yùn)動(dòng)的視角直觀地刻畫圖形的特征。例如，對(duì)于長方形、正方形、圓、長方體、正方體、圓柱和圓錐等圖形，可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱，發(fā)現(xiàn)并認(rèn)識(shí)它們的特征。

如將一個(gè)點(diǎn)沿同一個(gè)方向進(jìn)行平移運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)后的軌跡是一條線段，這叫點(diǎn)動(dòng)成線。將一條長5厘米的線段沿著垂直于自身的方向平移3厘米，平移后的軌跡是長方形，這是線動(dòng)成面。當(dāng)這條線段運(yùn)動(dòng)的距離與其自身的長度相等時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡是正方形；繼續(xù)平移線段，運(yùn)動(dòng)軌跡又變成長方形，說明正方形是特殊的長方形。平行四邊形對(duì)邊平行且相等，是因?yàn)楫?dāng)平行四邊形的一條邊平移至對(duì)邊時(shí)，沒有改變這條邊的長短，也沒有改變這條邊原有的方向，而這條邊的兩個(gè)端點(diǎn)是沿著相同方向進(jìn)行平移運(yùn)動(dòng)的，因此平行四邊形對(duì)邊不僅平行而且相等。

一個(gè)長方形，沿著垂直于自身的方向平移一定的距離，其軌跡就是長方體。為什么一個(gè)只有4條邊、4個(gè)角的長方形運(yùn)動(dòng)后就變成有6個(gè)面、12條棱和8個(gè)頂點(diǎn)的長方體了呢？可以引導(dǎo)學(xué)生想象運(yùn)動(dòng)的過程：長方形原來有4個(gè)頂點(diǎn)，它從起始位置平移運(yùn)動(dòng)到終止位置后，頂點(diǎn)數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍，也就是8個(gè)；棱在起始位置和終止位置各有4條，4個(gè)頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中又產(chǎn)生了4條，因此長方體有12條棱；長方形在起始位置和終止位置各有1個(gè)面，長方形的4條邊運(yùn)動(dòng)過程中又產(chǎn)生4個(gè)面，因此長方體有6個(gè)面。正方體也是如此。

圓是一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)中心）旋轉(zhuǎn)360°形成的曲邊圖形，蘊(yùn)含著到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度不夠360°時(shí)就是扇形，扇形的大小和圓心角大小有關(guān)。而一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后就形成了大小不一樣的角，也就有了角的分類。一個(gè)長方形以它的長或?qū)挒檩S旋轉(zhuǎn)360°，可以形成一個(gè)圓柱；當(dāng)圓沿著垂直于自身的方向進(jìn)行平移時(shí)也可以形成圓柱。直角三角形以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)360°就會(huì)得到一個(gè)圓錐……

當(dāng)然，我們也可以從坐標(biāo)的角度刻畫圖形的位置，通過數(shù)對(duì)感知圖形的特征。如圖1，一個(gè)長方形長8厘米、寬5厘米，放在方格紙（方格的邊長為1厘米）中，四個(gè)頂點(diǎn)的位置分別是（1，1）、（9，1）、（9，6）和（1，6），其中（1，1）和（9，1）在同一行，（9，6）和（9，1）在同一列……

綜上所述，我們常說的點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體，再現(xiàn)了圖形的動(dòng)態(tài)化形成過程，也體現(xiàn)了一維、二維和三維不同維度圖形之間的轉(zhuǎn)化。從運(yùn)動(dòng)的視角再次認(rèn)識(shí)圖形，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解圖形的特征，發(fā)展空間觀念和推理意識(shí)。

二、從運(yùn)動(dòng)的視角理解圖形的測量，發(fā)展空間觀念

教學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容時(shí)，不僅要從運(yùn)動(dòng)的視角認(rèn)識(shí)圖形的特征，也可以從運(yùn)動(dòng)的視角認(rèn)識(shí)圖形的大小，探索圖形的大小與什么有關(guān)系。

一條線段沿著垂直于自身的方向平移的過程中，運(yùn)動(dòng)的距離越長，形成的長方形面積越大；運(yùn)動(dòng)的距離越短，形成的長方形面積越小。同理，平行四邊形的底不變，面積的大小隨著底邊運(yùn)動(dòng)距離（即高）的長短變化而變化，運(yùn)動(dòng)的距離越長，面積越大；運(yùn)動(dòng)的距離越短，面積越小。平行四邊形的面積=底×高，長方形的面積=長×寬，可以推出它們的面積=底邊長度×運(yùn)動(dòng)距離，從而使得它們的面積計(jì)算方法具有了一致性。

一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)360°形成一個(gè)圓，圓的大小與線段的長短（即半徑）有關(guān)，線段越長，圓的面積越大，也就是我們常說的“半徑?jīng)Q定圓的大小”。如圖2，一個(gè)圓在垂直向上平移運(yùn)動(dòng)的過程中，圓的大小是不變的，說明圓柱的底面是兩個(gè)完全相同的圓；圓的面積不變，運(yùn)動(dòng)的距離越長，圓柱的體積越大；運(yùn)動(dòng)的距離越短，圓柱的體積越小。以此類推，長方體、正方體的體積大小也是如此。

綜上所述，圖形的大小離不開構(gòu)成圖形的要素，平移的距離是決定圖形大小的要素之一。

三、從運(yùn)動(dòng)的視角尋找主題間的關(guān)聯(lián)，感悟一致性

圖形的運(yùn)動(dòng)既是學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是一種思想。上述從平移和旋轉(zhuǎn)兩個(gè)維度，從點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體的運(yùn)動(dòng)視角，再現(xiàn)了長方形、正方形、平行四邊形、長方體、圓柱和圓錐等圖形的產(chǎn)生過程，從而促使學(xué)生從運(yùn)動(dòng)的視角進(jìn)一步理解圖形的特征以及圖形各元素之間的關(guān)系。圖形的認(rèn)識(shí)、測量、位置和運(yùn)動(dòng)等內(nèi)容之間的聯(lián)系也體現(xiàn)了一維空間和二維空間之間的轉(zhuǎn)化、二維空間和三維空間之間的轉(zhuǎn)化，也就是建立了同維度圖形之間和不同維度圖形之間的聯(lián)系。這將有利于學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察豐富的圖形世界，體會(huì)圖形在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

從圖形的位置與運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)出發(fā)，我們更深刻地感受到：“圖形與幾何”領(lǐng)域中“圖形的認(rèn)識(shí)與測量”“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”這兩個(gè)主題之間是密切相關(guān)的，圖形的認(rèn)識(shí)是從點(diǎn)、線、角、面的數(shù)量及其關(guān)系以及運(yùn)動(dòng)的視角刻畫的；測量是從圖形要素的可量化角度再次認(rèn)識(shí)圖形；代數(shù)、幾何和其他領(lǐng)域描述位置時(shí)也離不開測量中的具體數(shù)據(jù)，所以測量還能幫助學(xué)生溝通代數(shù)、幾何和其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系。從運(yùn)動(dòng)的視角看，圖形的認(rèn)識(shí)與圖形的測量密不可分，圖形的運(yùn)動(dòng)與位置緊密相連。將圖形的認(rèn)識(shí)與測量、位置與運(yùn)動(dòng)進(jìn)行有機(jī)融合，可以從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)圖形，也可以從度量的角度認(rèn)識(shí)圖形。因此，“圖形的認(rèn)識(shí)與測量”“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”兩大主題之間也是相互關(guān)聯(lián)的。

現(xiàn)實(shí)生活中，因?yàn)槲覀兯幍奈恢貌煌?，看待事物的角度和觀點(diǎn)也就有所不同；換個(gè)角度思考，就會(huì)有與眾不同的策略。運(yùn)動(dòng)的視角打開了學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的新視野，從而可以有效化解困境，達(dá)到柳暗花明又一村的境界。

（作者單位：北京教育科學(xué)研究院，北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心）