《田忌賽馬》的故事是一個(gè)以弱勝?gòu)?qiáng)的典型案例，小學(xué)語文課本中安排有這一內(nèi)容，同時(shí)在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)也安排了這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)?！矮@勝策略問題”的課外延伸部分（如取火柴棒游戲、取撲克牌游戲等）值得我們進(jìn)行深入研究。本文將通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生探討如何用倒推法解決這類問題。

一、激趣導(dǎo)入

師：今天咱們來玩幾個(gè)游戲，看看誰能找到這些游戲中的取勝策略。

教師出示下面這道題：

54張撲克牌，甲、乙兩人輪流取牌，每人每次只能取1～4張，誰取到最后1張誰輸。甲怎樣取牌才能確保獲勝呢？（選自《學(xué)習(xí)與鞏固》四年級(jí)上冊(cè)第81頁）

師：這是咱們練習(xí)冊(cè)上的一道題。按照游戲的規(guī)則，若甲要確保自己獲勝，怎樣才能做到呢？

生：如果甲能取到第53張牌，那他就一定能贏。

師：怎樣才能確保甲取到第53張牌呢？讓我們帶著這一問題先來動(dòng)手玩一個(gè)簡(jiǎn)單的取硬幣游戲。

二、初步感知獲勝的策略（有余數(shù)的情況）

游戲1：桌上放著15枚硬幣，同桌兩個(gè)人輪流取走若干枚。規(guī)則是每人每次至少取1枚，至多取5枚，誰拿到最后1枚誰就贏得全部的15枚硬幣。

師：我們?cè)谕嬗螒蛑耙龅揭韵聝牲c(diǎn)。1.熟悉游戲的規(guī)則：取硬幣游戲是由兩個(gè)人一起玩的，要求每個(gè)人輪流取走若干個(gè)硬幣，誰取走最后1枚硬幣誰就算贏；2.游戲開始前要思考：有沒有能保證自己贏的辦法？若有，這個(gè)辦法是什么？怎樣才能確保自己能拿到最后的1枚硬幣呢？

學(xué)生思考，同桌玩游戲，然后反饋。

師：你可以把自己想象為處于一個(gè)即將贏的狀態(tài)，假若輪著你取硬幣時(shí)，桌上剩下的硬幣恰好不超過5枚，這時(shí)，你可以一次拿走桌上所有硬幣成為贏者。若把這樣的終點(diǎn)狀態(tài)往前推，是否能找出某個(gè)狀態(tài)，使得對(duì)方無論取走幾枚硬幣，你都會(huì)處于理想的獲勝狀態(tài)呢？

生：我只要讓對(duì)方處于桌上有6枚硬幣的狀態(tài)，這時(shí)無論他取走幾枚（從1枚到5枚）硬幣，桌上都會(huì)剩下至少1枚至多5枚硬幣，這樣勝利一定屬于我！

師：你的想法太棒了！也就是說，誰能取走第9枚硬幣（板書：15－6＝9），誰將獲勝。以此類推，若把這樣的狀態(tài)再往前推呢？

生：我只要取到第3枚硬幣（教師板書：9－6＝3），就一定可以獲勝。

師：是這樣嗎？我們一起來驗(yàn)證一下?，F(xiàn)在我們用（1）（2）（3）……（15）把這15枚硬幣編上號(hào)，若要確保取到第（15）號(hào)，就必須取到第（9）號(hào)（此時(shí)桌上剩下6枚硬幣），這樣不論對(duì)方取幾枚，只要將剩下的全部取走就能成為贏者……

師：觀察一下，這兩個(gè)算式有什么特點(diǎn)？

生：每次都是減去6。

師：這與游戲的規(guī)則有什么關(guān)系呢？

生：游戲規(guī)則中，每次取走硬幣的最小數(shù)與最大數(shù)的和正好是6。

師：（板書：1+5=6）這個(gè)發(fā)現(xiàn)太好了！

師：如果將這個(gè)游戲稍做變化，你還能找出獲勝的策略嗎？

三、進(jìn)一步探索獲勝的策略（沒有余數(shù)的情況）

游戲2：桌上放著15枚硬幣，同桌兩個(gè)人輪流取走若干枚。規(guī)則是每人每次至少取1枚，至多取4枚，誰拿到最后1枚誰就贏得全部的15枚硬幣。

師：這個(gè)游戲與上一個(gè)有什么不一樣？

生：這兩個(gè)游戲的規(guī)則不一樣。前面那個(gè)是“至多取5枚”，這個(gè)游戲是“至多取4枚”。

師：請(qǐng)大家先獨(dú)立思考，然后同桌玩一玩。

學(xué)生思考，同桌玩游戲，然后反饋。

生：我仿照上一個(gè)游戲，用（1）～（15）給它們編上號(hào)。若要確保取到第（15）號(hào)，就必須拿到第（10）號(hào)。

師：為什么必須拿到第（10）號(hào)？

生：因?yàn)橛螒虻囊?guī)則中，每次取硬幣的最小數(shù)與最大數(shù)的和是5。

師：接下來怎么取呢？

生：若要保證取到第（10）號(hào)硬幣，就必須取到第（5）號(hào)硬幣。因此，要確保在這個(gè)游戲中獲勝的策略是讓對(duì)方先取，無論對(duì)方取走幾枚硬幣，我只要取的硬幣數(shù)與對(duì)方的和湊成5，就可以確保在這個(gè)游戲中獲勝。

師：通過玩這兩個(gè)游戲，我們發(fā)現(xiàn)，確保在游戲中獲勝的最佳策略是：硬幣總數(shù)÷每次取硬幣的最小數(shù)與最大數(shù)的和＝？若有余數(shù)，自己先取并且取走余數(shù)，然后無論對(duì)方取走幾枚硬幣，只要取的硬幣數(shù)與對(duì)方的和湊成每次取硬幣的最小數(shù)與最大數(shù)的和，可以確保本人在這個(gè)游戲中獲勝；若沒有余數(shù)，要讓對(duì)方先取，然后無論對(duì)方取走幾枚硬幣，只要取的硬幣數(shù)與對(duì)方的和湊成每次取硬幣的最小數(shù)與最大數(shù)的和，就可以確保本人在這個(gè)游戲中獲勝。

四、靈活運(yùn)用獲勝策略

師：（出示本課開頭的撲克牌游戲題）你能用我們找到的最佳獲勝策略解決這個(gè)問題嗎？

生1：1＋4＝5，53÷5＝10……3。說明取10輪，還余3張。所以獲勝策略是：甲只要先取3張牌，接下來無論乙取幾張，甲只要取的牌數(shù)與乙的和湊成5，就可以確保甲在游戲中獲勝。

生2：為什么不是用54進(jìn)行計(jì)算呢？

生1：我們研究的是獲勝的策略，取到第54張就輸了，所以要用53進(jìn)行計(jì)算。