[案例描述：]

最近，在開(kāi)展四年級(jí)數(shù)學(xué)教研活動(dòng)中，教研員說(shuō)了四年級(jí)上冊(cè)教輔材料上的一道連除計(jì)算題：“708÷3÷6=？”這有什么難度嗎？我不以為然，快速算出了708÷3÷6=236÷6=39……2。沒(méi)有想到，除了我說(shuō)的答案，別的老師還說(shuō)出了另外兩種結(jié)果：708÷3÷6=39……1；708÷3÷6=39……6。由于蘇教版教材四年級(jí)上冊(cè)第四單元才系統(tǒng)地學(xué)習(xí)脫式計(jì)算，教輔材料的編寫(xiě)者根據(jù)教學(xué)的進(jìn)度，對(duì)于此題只要求學(xué)生直接寫(xiě)得數(shù)。但學(xué)生的計(jì)算結(jié)果和我們老師一樣出現(xiàn)了三種情況。對(duì)于哪一種是合理的，老師們給出了不同的看法。部分老師認(rèn)為：708÷3÷6=236÷6=39……2是按照教材上給出的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算的，結(jié)果肯定是正確的，而708÷3÷6=708÷18=39……6和708÷3÷6=118÷3=39……1這兩種算法，由于改變了運(yùn)算順序，結(jié)果肯定是錯(cuò)誤的。

[案例分析：]

1.尋找支撐學(xué)生不同計(jì)算方法的依據(jù)。

茫然之余，我選擇從“根”上去解決。連除計(jì)算題是在二年級(jí)上冊(cè)第六單元例6下面的“試一試”中首次出現(xiàn)的。（如圖1）從圖示中可以看出，編者的意圖是讓學(xué)生體會(huì)“同級(jí)運(yùn)算”按照從左到右的運(yùn)算順序來(lái)計(jì)算。但這并不能幫助學(xué)生理解程序，相反，經(jīng)驗(yàn)告訴他們：連加、連減、連乘和連除運(yùn)算是可以改變運(yùn)算順序的，這種經(jīng)驗(yàn)會(huì)遷移過(guò)來(lái)，而且經(jīng)過(guò)多次做題，驗(yàn)證了這樣運(yùn)算是對(duì)的！

關(guān)于這一塊的內(nèi)容，蘇教版教材原來(lái)安排在三年級(jí)下冊(cè)第一單元，但不讓學(xué)生列綜合算式。改版后的教材把這一內(nèi)容安排在四年級(jí)上冊(cè)第二單元，為了幫助學(xué)生理解每一步計(jì)算的意義，明確運(yùn)算順序規(guī)定的合理性，教材例題提供了這樣的生活情境圖。（如圖2）教材沒(méi)有要求直接列綜合算式，而是先讓學(xué)生結(jié)合情境圖理解兩種分步列式的思路，計(jì)算出結(jié)果后，再根據(jù)分步算式列出綜合算式。教材中給出的第一種方法是：先算平均每個(gè)書(shū)架放多少本書(shū)，列式為224÷2=112（本），再算每一層書(shū)架有多少本書(shū)，112÷4=28（本）。第二種方法是：先算2個(gè)書(shū)架一共有多少層，2×4=8（層），再算一層有多少本，224÷8=28（本）。這樣，當(dāng)把分步算式列成綜合算式時(shí)，就出現(xiàn)了這三種情況：“224÷2÷4”“224÷（2×4）”“224÷4÷2”。前面兩種很好理解，第三種，224先除以4，學(xué)生是怎么想的呢？根據(jù)以前的課堂經(jīng)驗(yàn)，不少學(xué)生是說(shuō)不出其中的道理的，少數(shù)學(xué)生會(huì)給出這樣的想法：把兩個(gè)書(shū)柜“背靠背”粘在一起，看成一個(gè)大書(shū)柜，大書(shū)柜正、反面都有4K7cm+KGr0tWKGTustQQKmWn8ZkZ1G4vYmSOQgy8rP88=層共“4大層”，這樣就可以先求出“1大層”有多少本書(shū)，列式是224÷4，然后除以2，算出“1小層”有多少本?？磥?lái)，學(xué)生能想到用第三種方法計(jì)算，并不是運(yùn)算順序搞錯(cuò)了，而是依據(jù)了生活中平均分的經(jīng)驗(yàn)。另外學(xué)生在做連乘、連加、連減這樣的“同級(jí)”計(jì)算題時(shí)，不按順序計(jì)算，結(jié)果都是一樣的。因此，學(xué)生就會(huì)類(lèi)推出“同級(jí)”的連除題也不用分前后運(yùn)算順序。但是，學(xué)生在此之前接觸到的連除算式都是能整除的，而算式“708÷3÷6”無(wú)論先除哪一步，第一步能整除，第二步商后面就出現(xiàn)了余數(shù)，而學(xué)生在二年級(jí)正好學(xué)過(guò)“有余數(shù)的除法”，對(duì)計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)余數(shù)也不會(huì)懷疑。

研討時(shí)，面對(duì)上面的問(wèn)題，部分教師僅關(guān)注運(yùn)算的結(jié)果，而對(duì)每一步運(yùn)算的意義、學(xué)生的思維過(guò)程卻不愿做理性的分析。2022年版課標(biāo)關(guān)于數(shù)的運(yùn)算，也提出了新的要求。筆者想據(jù)此問(wèn)題，依照2022年版課標(biāo)要求，來(lái)分析整數(shù)除法運(yùn)算與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，尋找三種方法在運(yùn)算過(guò)程上的相通性。

2.關(guān)聯(lián)不同算法本質(zhì)上的一致性。

2022年版課標(biāo)指出：要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。同時(shí)在“數(shù)與運(yùn)算”部分，2022年版課標(biāo)指出：在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，理解四則運(yùn)算的意義。引導(dǎo)學(xué)生了解運(yùn)算的一致性，體會(huì)等式的傳遞性，形成初步的代數(shù)思維和推理意識(shí)。如何借助該題，幫助學(xué)生體會(huì)“運(yùn)算的一致性”，體會(huì)等式的傳遞性和推理意識(shí)，是值得我們思考的。

針對(duì)上面的連除算式，三種不同運(yùn)算過(guò)程意義上的一致性和相通性，我們可以從以下幾方面來(lái)尋找。

（1）根據(jù)除法與乘法之間的關(guān)系來(lái)尋找。

（2）利用“數(shù)形結(jié)合”“以形解數(shù)”來(lái)尋找。

為了便于學(xué)生理解同一算式不同計(jì)算結(jié)果，其背后的相通性和相同性，我們也可以利用如下“數(shù)形結(jié)合”的方式來(lái)分析。如把一個(gè)大長(zhǎng)方形看作被除數(shù)，以□÷2÷4為例，把上述三種運(yùn)算方法利用圖形進(jìn)行演示（圖略）。從圖中可以清楚地看出，三種方法的運(yùn)算意義是相通的，僅僅是外在表現(xiàn)形式和程序上不同，我們可以說(shuō)是“殊途同歸”。

（3）從具體的生活情境中來(lái)尋找。

（4）從有余數(shù)除法的特征和商不變性質(zhì)來(lái)尋找。

[教學(xué)思考：]

基于2022年版課標(biāo)倡導(dǎo)的單元整體結(jié)構(gòu)化教學(xué)的要求，筆者認(rèn)為，在教學(xué)“有余數(shù)除法”時(shí)，要適當(dāng)豐富學(xué)生對(duì)“余數(shù)”概念的認(rèn)知，要有“瞻前顧后”的整體教學(xué)的意識(shí)。“顧后”就是要考慮這一課的教學(xué)要為后面哪些相關(guān)教學(xué)內(nèi)容服務(wù)。如，商不變性質(zhì)、小數(shù)商以及除法與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系等。教學(xué)時(shí)，若教師能適度地拓展和完善學(xué)生對(duì)商以及商和余數(shù)之間的關(guān)系的認(rèn)知，就能為后面學(xué)習(xí)商是小數(shù)的除法奠定基礎(chǔ)。

如在例題教學(xué)之后，教師可以出示這樣的問(wèn)題：10塊巧克力平均分給3個(gè)男生，13塊巧克力平均分給4個(gè)女生，每個(gè)男生和女生各能分得幾塊？學(xué)生列出算式：10÷3=3（塊）……1（塊）、13÷4=3（塊）……1（塊）。然后教師問(wèn)學(xué)生：“分完了嗎？如果繼續(xù)平均分下去會(huì)怎樣？”學(xué)生會(huì)說(shuō)：“把剩下的1塊巧克力再平均分，每人還能分得‘一點(diǎn)’巧克力?！苯處熃又龑?dǎo)學(xué)生說(shuō)出這“一點(diǎn)”和之前分得的3塊合起來(lái)就是3塊多一點(diǎn)，這個(gè)“多一點(diǎn)”不能用我們學(xué)過(guò)的1、2、3……來(lái)表示，以后會(huì)學(xué)習(xí)。這時(shí)的商與之前我們認(rèn)識(shí)的商不一樣，可以稱(chēng)“臨時(shí)”“暫時(shí)”“不完全”的“商”。兩個(gè)算式的結(jié)果不能說(shuō)是“3”，而是“3……1”。最后提出問(wèn)題：“兩題中余下的1塊巧克力都再繼續(xù)平均分，每個(gè)小朋友得到的這‘一點(diǎn)’巧克力，是一樣多的嗎？為什么？”通過(guò)實(shí)物演示和思考，發(fā)現(xiàn)每人多出來(lái)的這“一點(diǎn)”巧克力不一樣大的原因是什么，從而體會(huì)余數(shù)的相對(duì)性。

這樣，適時(shí)地豐富學(xué)生對(duì)“余數(shù)”的認(rèn)知，使他們感知到余數(shù)與除數(shù)相互依存、協(xié)同互變的關(guān)系，有了結(jié)構(gòu)化認(rèn)知思維。這樣，學(xué)生在“靈動(dòng)”地理解“余數(shù)”的同時(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)攢足了“后勁”。