“雞兔同籠”是我國古代趣味數(shù)學題之一，代表一類數(shù)學模型。小學數(shù)學教材中編排這一內(nèi)容，旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學思考與問題解決能力，滲透基本思想，發(fā)展模型意識、推理意識等核心素養(yǎng)。

人教版教材以“雞兔同籠”為題，突出數(shù)學模型；北師大版教材以“嘗試與猜測”為題，突出探索過程。本文依據(jù)2022年版課標中模型意識與推理意識的內(nèi)涵，具體闡述如何借助數(shù)量關(guān)系圖式，發(fā)展模型意識與推理意識的教學設計。

[一、論課題，明學習目標]

師：讀一下課題“嘗試與猜測”，知道這兩個詞的含義嗎？

引導學生交流、討論。

師：嘗試，就是指試、試驗，遇到難解的問題，不能望而卻步，而要敢于嘗試。猜測，指推測，憑想象估計。當不知道解決方法時，通過猜測也許能找到突破口。

師：從哪里試起？依據(jù)什么來猜？猜了后怎么辦？這其中有沒有數(shù)學方法呢？讓我們一起走進“嘗試與猜測”這節(jié)課，探討數(shù)學學習的秘密。

【設計意圖】從課題名稱入手，討論本課學習的關(guān)鍵內(nèi)容——“嘗試與猜測”的數(shù)學方法，明確學習目標——探討“嘗試與猜測”的一般思路，為基本思想的學習作好心理準備。

[二、聊沖突，議趣題價值]

師：今天“嘗試與猜測”要解決的是一個怎樣的數(shù)學問題？

出示：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

師：大家聽說過這個問題嗎？

“雞兔同籠”是一道經(jīng)典的數(shù)學思維訓練題，有孩子聽說過，甚至已掌握了多種解決方法，因此會有學生說出來。

師：“雞兔同籠”是我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中記載的一道數(shù)學趣題。你知道它的意思嗎？

學生回答后出示：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？

師：人們會把雞和兔關(guān)在一個籠子里嗎？既然不會，這個問題怎么能流傳到現(xiàn)在？這背后藏著什么數(shù)學秘密呢？

【設計意圖】不存在的生活現(xiàn)象與流傳千年的數(shù)學問題之間的沖突激起了學生的好奇心，在議論“雞兔同籠”問題的學習價值時，進一步明確本課學習目標——探尋特定的數(shù)學思想方法，為基本思想的學習作鋪墊。

[三、理關(guān)系，探解決方法]

1.分析題中信息，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系。

師：解決問題首先要分析數(shù)量關(guān)系，從數(shù)量關(guān)系中探尋解決問題的突破口。

師：讀完題目，你知道了哪些有用的數(shù)學信息？

依次引導學生思考：題目要求哪兩個數(shù)？題目中的35和94分別表示什么？如何用算式表示這些信息？從而得到下面兩個關(guān)系式（如圖1）：

再引導學生分析隱性信息“1只雞有2只腳，1只兔有4只腳”，在圖1的兩個關(guān)系式之間建立聯(lián)系，從而構(gòu)建出“雞兔同籠”原題的數(shù)量關(guān)系（如圖2）：

【設計意圖】用上述圖式直觀呈現(xiàn)“雞兔同籠”問題的數(shù)量關(guān)系。一是初步構(gòu)建數(shù)學模型，發(fā)展模型意識；二是為后續(xù)推理找到抓手。

2.依據(jù)數(shù)量關(guān)系，探索推理步驟。

師：觀察數(shù)量關(guān)系，解決這個問題的困難在哪里？你想到什么辦法？

因為有兩個未知量，所以學生想到猜雞和兔的只數(shù)。

師：是隨便猜嗎？猜的時候要注意什么？

引導學生發(fā)現(xiàn)：要依據(jù)“雞和兔的總數(shù)是35”來猜。

師：怎樣判斷猜的數(shù)據(jù)是否正確？

學生不難想到：算出腳的總數(shù)，看是否為94。

【設計意圖】引導學生依據(jù)數(shù)量關(guān)系特點思考解決方法，找到推理的切入口，在交流中初步感知“猜想—驗證”的推理步驟。

3.解決簡單問題，形成數(shù)學方法。

師：頭的總數(shù)是35，猜的次數(shù)比較多。我們不妨從簡單的數(shù)據(jù)入手來找解決方法。

出示簡化后的題目，修改數(shù)量關(guān)系中的數(shù)據(jù)（如圖3）：

師：現(xiàn)在容易猜了吧？怎樣才能清楚、簡潔地將我們的猜想和驗證過程記錄下來？

引出列表，強調(diào)有序猜想和列舉，并引導學生有條理地思考與表達推理過程。

（1）猜：猜什么？從哪里猜起？猜的時候要注意什么？

（2）驗：怎樣判斷剛才猜的數(shù)據(jù)是否正確？

（3）調(diào)：經(jīng)過驗證，這組數(shù)據(jù)不符合要求，怎么辦？當把1只兔換成1只雞時，腳的總數(shù)發(fā)生了什么變化？怎樣用算式表示？

在問題解決過程中形成如下板書（如圖4）：

結(jié)合板書小結(jié)解決方法：先根據(jù)頭的總數(shù)猜一組雞和兔的只數(shù)，然后計算腳的總數(shù)進行驗證，根據(jù)驗證結(jié)果決定是否要調(diào)整猜的數(shù)據(jù)，直至找到正確答案。

【設計意圖】本環(huán)節(jié)采用教材中的數(shù)據(jù)，將頭的總數(shù)減少為8，從1只雞開始，猜3次便能得到正確答案。通過“有理有據(jù)”地表達推理過程，形成假設法解決問題的一般方法，以簡潔的文字“猜—驗—調(diào)”表達思路與方法，發(fā)展學生的推理意識。

4.優(yōu)化推理過程，概括解題通法。

師：用剛才的方法，你能解決“雞兔同籠”的原題嗎？怎樣讓猜的次數(shù)少一些？

組織學生交流猜和調(diào)的策略：不一定從頭開始猜，還可以從中間猜；不一定1只1只地調(diào)，還可以幾只幾只地跳著調(diào)。

師：請同學們用自己喜歡的方法解決，看看誰最快找到正確答案。

展示學生作品，交流多種調(diào)整策略，引導學生發(fā)現(xiàn)：通過計算腳的總數(shù)與實際數(shù)據(jù)之間的差判斷需要調(diào)整的只數(shù)，可以更快地解決問題。例如圖5中列出的兩種方法：

回顧剛才兩個“雞兔同籠”問題的解決過程，引導學生發(fā)現(xiàn)：雖然猜與調(diào)的數(shù)據(jù)和步驟在變化，但思路與方法不變。

【設計意圖】將表格與計算相結(jié)合，一是可以清晰記錄猜與驗的情況，二是可以讓推理過程更直觀、具體，降低了思維難度，符合小學生的認知特點。對推理過程的優(yōu)化，豐富了解決方法，有助于培養(yǎng)學生思維的靈活性。

[四、巧對比，析變與不變]

師：生活中有類似“雞兔同籠”的問題嗎？

依次出示下面兩道練習題，在“雞兔同籠”數(shù)量關(guān)系圖式基礎上，引導學生分析數(shù)量關(guān)系與解題方法：

（1）樂樂的儲蓄罐里有1角和5角的硬幣共27枚，總值5.1元，1角和5角的硬幣各有多少枚？請你用列表的方法解決問題。

師：要求哪兩個數(shù)？硬幣共多少枚？總值多少？每種硬幣的枚數(shù)與幣值之間有什么關(guān)系？你能模仿“雞兔同籠”給這道題命名嗎？（例如“1角5角硬幣同罐”）

（2）新星小學環(huán)保衛(wèi)士小分隊12人參加植樹活動。男生每人栽了3棵樹，女生每人栽了2棵樹，一共栽了32棵樹。男生、女生各有幾人？

師：要求哪兩個數(shù)？男生、女生共多少人？共植多少棵樹？男生、女生每人栽多少棵樹？這道題可以用“猜—驗—調(diào)”的方法解決嗎？猜什么？驗什么？這道題是不是可以叫“男生女生同植樹”？

師：這兩道題是不是和“雞兔同籠”很像？數(shù)量關(guān)系中什么變了？什么沒變？這樣的題目可以用“猜—驗—調(diào)”的方法解決嗎？

引導學生對比，發(fā)現(xiàn)：“雞兔同籠”與這兩道題，變的是情境與數(shù)據(jù)，不變的是關(guān)系式結(jié)構(gòu)。

【設計意圖】本課的重點是通過“雞兔同籠”問題數(shù)量關(guān)系分析與推理過程，發(fā)展學生的模型意識與推理意識。因此，對于練習的處理，重在對比數(shù)量關(guān)系的變與不變，并與解決方法進行聯(lián)結(jié)。對題目的模仿命名，用簡單而有趣的方式強化不同題目之間的共性，進一步感悟數(shù)學模型的普適性。

[五、明本質(zhì)，悟基本思想]

師：同學們，看看黑板上的數(shù)量關(guān)系圖（圖略），你們知道“雞兔同籠”是怎樣的問題嗎？

師：面對這類問題，可以怎樣解決？

【設計意圖】引導學生進一步感知“雞兔同籠”數(shù)學模型和“猜想—驗證”的推理過程，感悟內(nèi)隱的基本思想。在抽象層面將模型與方法進行聯(lián)結(jié)，進一步發(fā)展模型意識與推理意識。

[六、覓他法，拓思維寬度]

師：除了“猜—驗—調(diào)”的方法，還可以怎樣解決“雞兔同籠”問題？

當學生說出列方程、畫圖等方法時，引導學生發(fā)現(xiàn)這些方法背后的實質(zhì)仍然是“猜想—驗證”。

師：你們知道古人是如何解決這個問題的嗎？

播放視頻，介紹古人的“抬腳法”。

【設計意圖】前面環(huán)節(jié)中均以列表為載體，強調(diào)“猜想—驗證”的推理步驟，容易讓學生產(chǎn)生思維定式。課的最后，交流其他解決方法，幫助學生打破思維定式，拓展思維寬度，培養(yǎng)思維的靈活性。

師：同學們，面對難以解決的問題，我們不氣餒，而是認真分析已知信息，大膽猜想，小心求證，找到正確方法。深入思考，或許還能找到更優(yōu)的方法。這就是“雞兔同籠”問題帶給我們的啟發(fā)，也是它流傳至今的魅力所在。