推理意識(shí)主要是指對(duì)邏輯推理過(guò)程及其意義的初步感知。具體來(lái)說(shuō)，它主要包括從已知的事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論；通過(guò)簡(jiǎn)單的歸納或類比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論；通過(guò)法則運(yùn)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過(guò)程；對(duì)自己及他人的問(wèn)題解決過(guò)程給出合理解釋。推理意識(shí)有助于養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，增強(qiáng)交流能力，是形成推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。將推理意識(shí)的培養(yǎng)融入日常的教學(xué)實(shí)踐中，是我們面臨的重要挑戰(zhàn)。下面以“3的倍數(shù)特征”兩次教學(xué)為例，談?wù)勎业囊恍┚唧w做法。

通常，在“3的倍數(shù)特征”這節(jié)課上，教師提供有結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)材料，學(xué)生借助操作和觀察發(fā)現(xiàn)特征（這實(shí)際上是猜想），但對(duì)為什么有這樣的特征鮮有涉及，而回答“為什么”恰恰是發(fā)展推理意識(shí)的關(guān)鍵所在，在課堂教學(xué)中，能否回答及如何回答“為什么”是核心。

一、初次實(shí)踐

聚焦“為什么”，我展開了教學(xué)實(shí)踐。

片段1：結(jié)合百數(shù)表，觀察、猜想。

教師出示百數(shù)表，學(xué)生圈出3的倍數(shù)，并把發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫下來(lái)。

教師巡視、整理后投屏：

發(fā)現(xiàn)1：個(gè)位上是0、3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)。

發(fā)現(xiàn)2：3的倍數(shù)沒(méi)有規(guī)律，因?yàn)閭€(gè)位上是0～9的數(shù)都有可能是3的倍數(shù)。

發(fā)現(xiàn)3：3的倍數(shù)3個(gè)3個(gè)地遞加，3、6、9……也就是每相鄰兩個(gè)數(shù)相差3。

發(fā)現(xiàn)4：3的倍數(shù)是斜著排的，斜排中的相鄰兩數(shù)相差9。

發(fā)現(xiàn)5：3的倍數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和都是3的倍數(shù)。

師：對(duì)于這五大發(fā)現(xiàn)，你們想說(shuō)什么？

學(xué)生交流，猜想出3的倍數(shù)特征。

師：剛才我們研究了100以內(nèi)的數(shù)，那100以外更大的數(shù)是否也符合這樣的規(guī)律呢？請(qǐng)同學(xué)們?cè)倥e一些例子，然后嘗試歸納3的倍數(shù)特征。

【反思】在片段1中，我遵循了合情推理的基本過(guò)程：實(shí)踐操作→觀察歸納→形成猜想→舉例驗(yàn)證→得出結(jié)論。通過(guò)課后訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生通過(guò)觀察歸納出的結(jié)論基本分為兩類：一類是看不出本質(zhì)內(nèi)容的，如發(fā)現(xiàn)1、發(fā)現(xiàn)2、發(fā)現(xiàn)3、發(fā)現(xiàn)4。以發(fā)現(xiàn)1為例，學(xué)生主要受2、5的倍數(shù)特征的影響，猜測(cè)3的倍數(shù)特征也是看個(gè)位上的數(shù)，而且基本上都認(rèn)為個(gè)位上的數(shù)應(yīng)該是0、3、6、9。另一類是課前已經(jīng)知道3的倍數(shù)特征的學(xué)生得出的結(jié)論，如發(fā)現(xiàn)5。對(duì)于沒(méi)有發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的學(xué)生，教師要引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)規(guī)律的內(nèi)核；對(duì)于已經(jīng)知道結(jié)論的學(xué)生，教師要引領(lǐng)他們走向探究的過(guò)程。

片段2：借助多媒體，體會(huì)道理。

師：為什么判斷是不是3的倍數(shù)得看各個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和？我們一起探究。

教師借助圖1，邊演示邊解說(shuō)：以42為例，十位上，每個(gè)十里3格3格地取，取走了9格，剩1格，十位上共剩余4格；個(gè)位上剩余2格。十位上剩下的4格和個(gè)位上的2格恰巧與十位、個(gè)位上的數(shù)一樣。剩余的是4和2，4+2=6，是3的倍數(shù)，所以42是3的倍數(shù)。

【反思】在“3的倍數(shù)特征”這節(jié)課中，對(duì)于“是什么”479277e1bfb299d4145d4e3ce43d957c，學(xué)生向書本、家長(zhǎng)等借力，容易掌握結(jié)論；而對(duì)于“為什么”，由于涉及位值制原理和乘法分配律，學(xué)生想要真正從源頭理解原理，難度較大。在片段2中，在課件引領(lǐng)下亦步亦趨的師生對(duì)話實(shí)際上是教師講解，導(dǎo)致教師和個(gè)別學(xué)生的思考代替群體思維，學(xué)生并不能真正理解論證“為什么”的思路形成過(guò)程，從而未能真正把握知識(shí)的本質(zhì)。

二、第一次后測(cè)及思考

我們對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果進(jìn)行了后測(cè)，題目是：為什么判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)等同于判斷這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和是不是3的倍數(shù)呢？請(qǐng)畫一畫、算一算、說(shuō)一說(shuō)。

根據(jù)后測(cè)結(jié)果，我們將學(xué)生（共45人）對(duì)3的倍數(shù)特征的理解情況劃分為五個(gè)水平：

水平1：無(wú)表征，即空白或錯(cuò)誤。（2人）

水平2：程序表征，即能用3的倍數(shù)特征寫出“4+5=9，9是3的倍數(shù)，所以45是3的倍數(shù)”等。（30人）

水平3：直觀表征，即能結(jié)合圖示對(duì)3的倍數(shù)特征做出解釋，如圖2，可以看出36是3的 倍數(shù)。（11人）

水平4：抽象表征，即能用語(yǔ)言或算式說(shuō)明特征的合理性，如“18=10+8，10÷3=3……1，余下的1和8放在一起，1+8=9，9是3的倍數(shù)，所以18就是3的倍數(shù)”。（2人）

水平5：形式表征，即用位值制原理和乘法運(yùn)算定律并通過(guò)推理說(shuō)明運(yùn)算結(jié)果的合理性，如“27=20+7=2×（9+1）+7=2×9+2+7，畫線部分是3的倍數(shù)，剩下部分正好是27這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和，所以一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)”。（0人）

從后測(cè)的情況看，雖然教學(xué)力求學(xué)生形成對(duì)3的倍數(shù)特征的多元表征，但實(shí)際結(jié)果表明，程序表征還是占了大多數(shù)。學(xué)生會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)，但不會(huì)說(shuō)明理由，這表明學(xué)習(xí)目標(biāo)未能實(shí)現(xiàn)。對(duì)五年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，根據(jù)已有的知識(shí)儲(chǔ)備，例如，834÷3=（800+30+4）÷3，800、30、4除以3的余數(shù)分別是2、0、1，他們不大可能想到也無(wú)法理解把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)8、3、4相加的策略。那該怎么辦呢？我們發(fā)現(xiàn)9的倍數(shù)特征與3的倍數(shù)特征具有一致性，但9的倍數(shù)特征相對(duì)來(lái)說(shuō)更容易探究，例如，834÷9=（800+30+4）÷9，800、30、4除以9的余數(shù)就是相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)8、3、4，（只有9例外）學(xué)生的認(rèn)知水平恰巧與探究倍數(shù)特征的方法吻合。不僅如此，3是9的因數(shù)，學(xué)生容易把9的倍數(shù)特征的研究方法遷移到對(duì)3的倍數(shù)特征的研究中去。

三、再次實(shí)踐

（一）引路：探究9的倍數(shù)特征。

1.操作探究，激活聯(lián)系。

（1）擺小棒，凸顯“抽取法”。

師：同學(xué)們，我們先用小棒研究9的倍數(shù)。請(qǐng)大家準(zhǔn)備好36根（3捆和6根）小棒，每9根為1組，擺一擺。

學(xué)生擺，教師用課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)如圖3所示的擺法。

師：為什么從每捆中抽取1根？

生：因?yàn)?0÷9=1……1，所以只抽1根，保證抽取后剩余的根數(shù)是9的倍數(shù)。

然后學(xué)生用同樣的方法每9根為1組擺63根（6捆和3根）小棒。（圖略）

（2）提煉共性，初步感知特征。

師：回顧上面的過(guò)程，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：十位上是幾，就抽出幾根小棒，抽出的小棒根數(shù)恰巧是十位上的數(shù)；個(gè)位上是幾，就擺幾根小棒。

生：小棒圖的左邊部分不管有幾個(gè)9，都是9的倍數(shù)，可以忽略，重點(diǎn)關(guān)注右邊部分。3+6=9，是9的倍數(shù)，所以36是9的倍數(shù)；6+3=9，是9的倍數(shù)，所以63是9的倍數(shù)。

師：厲害！一部分忽略，另一部分重點(diǎn)關(guān)注。我們看重點(diǎn)，抽出的根數(shù)恰巧與十位上的數(shù)一樣。這樣，我們把3個(gè)十和6個(gè)一轉(zhuǎn)化成了（3+6）個(gè)一，把6個(gè)十和3個(gè)一轉(zhuǎn)化成了（6+3）個(gè)一。也就是說(shuō)，3+6=9，是9的倍數(shù)，等同于36是9的倍數(shù)；6+3=9，是9的倍數(shù)，等同于63是9的倍數(shù)。

2.多元表征，逐步深入。

（1）直觀表征，構(gòu)建形象思維。

師：136是9的倍數(shù)嗎？你能想辦法說(shuō)明嗎？可以把需要用的材料粘貼在探究單上并圈一圈、畫一畫。

學(xué)生完成后，教師呈現(xiàn)部分學(xué)生的作品，如圖4所示。

師：這兩幅圖大家看得懂嗎？

生：136里有1個(gè)百、3個(gè)十和6個(gè)一，畫線部分都是9的倍數(shù)，剩下的部分1、3、6正好是136各個(gè)數(shù)位上的數(shù)。1+3+6=10，不是9的倍數(shù)，所以136不是9的倍數(shù)。

生：第二幅圖所示的分法更方便。大家看，1個(gè)百，9個(gè)9個(gè)地分，最多分掉9的最大倍數(shù)99，可以一次性圈出99；3個(gè)十，每個(gè)十中圈出1個(gè)9，共圈出3個(gè)9，還剩下3。圈出的都是9的倍數(shù)，可以忽略不管，我們要關(guān)注的是剩下的1、3、6，它們正好是136各個(gè)數(shù)位上的數(shù)。1+3+6=10，不是9的倍數(shù)，所以136不是9的倍數(shù)。

（2）厘清思路，形成結(jié)構(gòu)思維。

師：結(jié)合上面的圖，老師寫出了一組算式，（如圖5）你們能看懂嗎？

生：先把136寫成幾個(gè)百、幾個(gè)十、幾個(gè)一的形式。

師：第一步，我們通常叫136的展開式。

生：再把100寫成“99+1”，10寫成“9+1”。

師：第二步，將100、10等分別拆分成“9的最大倍數(shù)+1”的形式。

生：根據(jù)乘法分配律、加法交換律，得到1×99+3×9+1+3+6。因?yàn)?9、9都是9的倍數(shù)，所以畫虛線的部分是9的倍數(shù)。畫雙實(shí)線的部分正好是136各個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和。因?yàn)?+3+6=10，不是9的倍數(shù)，所以136不是9的倍數(shù)。

師：第三步，整理、判斷。

（3）形式表征，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

師：我們發(fā)現(xiàn)“一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和不是9的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就不是9的倍數(shù)”。除了用具體的數(shù)說(shuō)明，還有沒(méi)有更高級(jí)的方法呢？

生：可以把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)替換成字母。以四位數(shù)為例，千位上是a，百位上是b，十位上是c，個(gè)位上是d。

學(xué)生獨(dú)立思考。

師：誰(shuí)愿意來(lái)介紹自己的方法？

師：是的，判斷a+b+c+d是不是9的倍數(shù)等同于判斷abcd是不是9的倍數(shù)。

（二）遷移：探究3的倍數(shù)特征。

學(xué)生先提出猜想，再驗(yàn)證。

（三）應(yīng)用。（略）

四、第二次后測(cè)及思考

我們用同樣的問(wèn)題進(jìn)行后測(cè)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的理解水平有了明顯的提升，其中達(dá)到形式表征水平的學(xué)生占比達(dá)到40%。我們認(rèn)為主要原因如下：

（一）操作化，夯實(shí)推理基礎(chǔ)。

根據(jù)學(xué)情，我們把這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用演繹推理推導(dǎo)出：一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和是不是9的倍數(shù)，等同于這個(gè)數(shù)是不是9的倍數(shù)。由于9的倍數(shù)特征結(jié)構(gòu)典型、關(guān)系抽象，離開直觀的圖形學(xué)生難以順利推理，因此我們?cè)诮虒W(xué)中進(jìn)一步細(xì)化了“以圖明理”環(huán)節(jié)。在擺一擺活動(dòng)中，通過(guò)操作、比較、概括等方式逐步深化十位上是幾就抽取幾根的認(rèn)識(shí)。這樣做符合五年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，為后續(xù)的進(jìn)一步探究積累直觀表象經(jīng)驗(yàn)。在圈一圈活動(dòng)中，通過(guò)自主操作、分層演示、辨析修正等策略放緩建構(gòu)過(guò)程，盡量使每個(gè)學(xué)生都能在思辨中參與，為后續(xù)的進(jìn)一步探究積累推理經(jīng)驗(yàn)。

（二）形式化，提升推理水平。

在9的倍數(shù)特征學(xué)習(xí)中，我們始于直觀表征，漸入形式表征。實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)演繹推理過(guò)程進(jìn)行提煉與整理。推理的過(guò)程乍一看較為煩瑣，但仔細(xì)分析可發(fā)現(xiàn)“展、拆、判”中的每一步都是熟悉的知識(shí)，學(xué)生是能夠理解并接受的。因此才有了課堂上“用字母替換數(shù)”的精彩過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅建立了9的倍數(shù)特征的直觀形象和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又深刻感知到研究9的倍數(shù)特征的方法。

（三）系統(tǒng)化，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)遷移。

我們將一個(gè)數(shù)的倍數(shù)特征的原理作為課堂教學(xué)的線索，從新知的探究到練習(xí)，貫穿始終。我們用9的倍數(shù)特征做引子，全力夯實(shí)探究過(guò)程，貼近學(xué)生的思維能力，鍛煉學(xué)生對(duì)數(shù)位上數(shù)的處理和分析能力，習(xí)得貫穿始終的推理方法和技巧。不僅如此，我們還讓學(xué)生嘗試遷移再構(gòu)其他數(shù)的倍數(shù)特征。五年級(jí)的學(xué)生擁有一定的類比推理能力，對(duì)于3的倍數(shù)特征產(chǎn)生了很多想法，能從不同的角度解釋其中的道理。學(xué)生的頭腦中不再是規(guī)律的機(jī)械記憶，而是一種觸及核心結(jié)構(gòu)規(guī)律之后的認(rèn)同與內(nèi)化?？梢?，站在基于數(shù)的倍數(shù)特征整體建構(gòu)的高度，借助類比推理，我們的課堂能直抵規(guī)律的本質(zhì)，初步實(shí)現(xiàn)以研究一節(jié)課來(lái)探討一類課的價(jià)值。