數(shù)學符號是數(shù)學表達的核心工具，能夠清晰、簡明地表達數(shù)學知識、數(shù)學規(guī)律及數(shù)學思想。它既是對現(xiàn)實世界數(shù)學關系結構的抽象表達，也是對數(shù)學學科內(nèi)部規(guī)律的抽象表達?？梢哉f，現(xiàn)實世界的數(shù)量關系與空間形式都是以抽象的數(shù)學符號表達出來的。從2001年版課標到2022年版課標，都將符號意識（2001年版課標稱為符號感）作為數(shù)學課程的重要內(nèi)容與目標，將發(fā)展學生的符號意識視作數(shù)學育人功能的重要體現(xiàn)。但數(shù)學符號是把雙刃劍，在使數(shù)學清晰化的同時也給學生的數(shù)學學習帶來了困難。對于符號意識，不同學段的要求不同，即符號意識在義務教育階段有不同的學習進階，培養(yǎng)學生的符號意識不是一蹴而就的，需要不斷滲透、螺旋上升。

數(shù)學符號抽象，學生的符號意識更為抽象且內(nèi)隱。如何評判不同學段學生的符號意識水平？如何助力學生符號意識的形成與發(fā)展？這就需要在弄清符號意識的內(nèi)涵后，按照課標要求并結合具體單元內(nèi)容進一步描述符號意識的行為表現(xiàn)，即學生完成哪些任務才能表明學生已經(jīng)“形成初步的符號意識”或“形成符號意識”。也就是說，符號意識在某個具體內(nèi)容單元的表現(xiàn)水平如何。只有厘清這些基本問題，才能有效進行單元整體教學，落實核心素養(yǎng)培養(yǎng)。

一、符號意識的內(nèi)涵及行為指標

數(shù)學符號對數(shù)學或數(shù)學真理的影響巨大?？梢哉f，數(shù)學的發(fā)展歷史就是數(shù)學符號產(chǎn)生與完善的歷史。我們可以從多個視角研究數(shù)學符號及符號意識。所謂數(shù)學符號意識，即學習者借助思維的決定性作用，對數(shù)學知識與數(shù)學符號（包含一切具有數(shù)學含義的專用標記、表示數(shù)學概念和數(shù)學關系的符號或記號，如字母、圖像、表格等）之間抽象對應關系的一種積極、主動的反應和心理認知傾向[1]。必須將這種心理性的內(nèi)隱界定轉化為外顯行為，才能評判學生的符號意識水平，并根據(jù)不同水平的特點有的放矢地設計學習活動，從而促進學生符號意識水平的提升。培養(yǎng)學生的符號意識，可以使學生的數(shù)學思維過程更加精確、概括與簡潔，從而更容易揭示數(shù)學的本質。

符號意識有哪些外顯行為表現(xiàn)呢？朱立明、馬云鵬將數(shù)學符號意識劃分為：數(shù)學符號的感知、運算、推理與表征［1］。通過實證研究，朱立明又提出義務教育階段學生的數(shù)學符號意識由四個層次構成，每個層次的操作指標如表1所示[2]。李艷琴、宋乃慶則認為小學低段數(shù)學符號意識的測評指標框架包括三個一級指標（數(shù)學符號的抽象、識記與運用）與七個二級指標，如表2所示[3]。

義務教育階段學生的數(shù)學符號意識具有可測性，包含內(nèi)隱性與外顯性兩個方面。內(nèi)隱性主要反映學生數(shù)學符號意識的內(nèi)心傾向（感知、理解、聯(lián)想、抽象），外顯性主要反映學生數(shù)學符號意識的外在表現(xiàn)（識別、運算、推理、表達）等［2］。

2022年版課標進一步界定了符號意識的內(nèi)涵、行為表現(xiàn)及功能。內(nèi)涵：符號意識主要是指能夠感悟符號的數(shù)學功能。具體表現(xiàn)：（1）知道符號表達的現(xiàn)實意義；（2）能夠初步運用符號表示數(shù)量、關系和一般規(guī)律；（3）知道用符號表達的運算規(guī)律和推理結論具有一般性；（4）初步體會符號的使用是數(shù)學表達和數(shù)學思考的重要形式。功能：符號意識是形成抽象能力和推理能力的經(jīng)驗基礎。

綜上所述，小學階段學習的數(shù)學符號主要包括數(shù)字符號、運算符號、關系符號、圖形符號、字母符號等內(nèi)容。符號意識在小學數(shù)學中主要表現(xiàn)為：知道常用數(shù)學符號的實際意義；能夠自覺地用符號描述或表示數(shù)量多少、數(shù)量關系及簡單的變化規(guī)律；通過符號轉化進行簡單的推理；能夠通過對比“非數(shù)學符號”與數(shù)學符號表達的相同與不同，初步體會用數(shù)學符號表達具有簡潔性與一般性、用符號表達與思考是學習數(shù)學的常用形式。

從學生認知角度看，符號意識由低到高可以是：自主創(chuàng)造的直觀示意符—數(shù)學中通用的數(shù)字、運算符、關系符等—抽象的含字母的算式符。這一發(fā)展歷程是從“直觀的、自主創(chuàng)造”到“抽象的、全世界通用”。小學生的認知水平處于從直觀到抽象、從特殊到一般過渡的階段，他們形成符號意識較為困難。下面結合“用字母表示數(shù)”單元內(nèi)容，具體分析小學生符號意識的行為表現(xiàn)，提出培養(yǎng)學生符號意識的教學建議。

二、符號意識在“用字母表示數(shù)”單元的行為表現(xiàn)層級

“用字母表示數(shù)”是由自然的算術語言向抽象的代數(shù)語言過渡的起始，是代數(shù)學習的入門知識，是學習方程、不等式等的重要基礎。因此，在小學階段，更加強調(diào)“用字母表示數(shù)”的內(nèi)容與育人價值。例如，2011年版課標在第二學段（4～6年級）明確提出：能用方程表示簡單情境中的等量關系，能用等式的性質解簡單的方程。而2022年版課標在第三學段（5～6年級）的“數(shù)量關系”主題中提出的則是“在具體情境中，探索用字母表示事物的關系、性質和規(guī)律的方法，感悟用字母表示的一般性”，即2022年版課標將“方程”內(nèi)容移到第四學段（7～9年級），更加重視“用字母表示數(shù)”的內(nèi)容。

依據(jù)2022年版課標編寫的教材還沒有正式出版，所以“方程”與“用字母表示數(shù)”這兩部分內(nèi)容如何編排還未知。不過通過對比依據(jù)2011年版課標編寫的蘇教版、人教版及北師大版教材可知，蘇教版教材在五年級上冊將“用字母表示數(shù)”設計為一個獨立單元，五年級下冊又設計了“簡易方程”單元，其他兩個版本教材則將“用字母表示數(shù)”與“方程”合并為同一個單元。本文劃定符號意識在“用字母表示數(shù)”單元的行為表現(xiàn)時主要以蘇教版教材為例。

根據(jù)前述對符號意識內(nèi)涵與表現(xiàn)水平的研究結論，在分析蘇教版教材的基礎上，本文劃定符號意識的行為表現(xiàn)不同水平的依據(jù)是：（1）學生是否承認字母與數(shù)一樣也是運算對象，可以參與運算；（2）含有字母的式子能否表示靜態(tài)的數(shù)量關系、能否表示結果（即運算結果既可以是具體的數(shù)，也可以是字母或含字母的式子）；（3）字母及含有字母的式子能否表示動態(tài)變化中的數(shù)量關系。此外，在本文的討論中，知道生活中字母的含義，如KFC表示肯德基、WC表示廁所、km表示千米、撲克牌中的J表示11等，都不視為數(shù)學中的符號意識，不在“用字母表示數(shù)”單元內(nèi)容范圍內(nèi)。

1.修辭代數(shù)水平：能用日常語言表達數(shù)量關系，但不承認字母能參與運算，也不會計算，不能主動用字母或含有字母的式子表達數(shù)量關系。例如，學生只會用語言描述“100克加一根香蕉的質量等于（200+30）克”“小棒的根數(shù)總是三角形個數(shù)的3倍”等，但不會用含字母的式子表示。學完“用字母表示數(shù)”單元后，根據(jù)教學經(jīng)驗可知，至少有近10%的學生仍處于該水平。

2.前代數(shù)水平：能模仿著對含有字母的式子進行運算，但實際上對字母視而不見或把字母當成具體的數(shù)或某個“物”。例如，會類比“4+6=10”寫出“4a+6a=10a”，但實際上對“a”視而不見。再如，能模仿著寫出含字母的式子。以蘇教版教材“用字母表示數(shù)”單元的例2為例。甲、乙兩地之間的公路長280千米，一輛汽車從甲地開往乙地。為了解決“你能用式子表示行駛了一段路程后剩下的千米數(shù)嗎”這一問題，教材給出已經(jīng)行駛了50千米、74.5千米后剩下的千米數(shù)分別是280-50、280-（ ），而沒有給出具體的230、205.5，也就是說，是用式子表示的；然后要求學生模仿著填寫“已經(jīng)行駛了b千米，剩下的千米數(shù)是（ ）-（ ）”。教材這樣搭腳手架，以便逐步提升學生的符號意識水平。學完“用字母表示數(shù)”這一單元后，根據(jù)教學經(jīng)驗可知，應有95%的學生處于該水平。

處于水平1、水平2的學生思維還是具體的，雖然水平2中出現(xiàn)了字母，但學生只是把字母看作某個“物”或某個示意符，這是形成符號意識的必經(jīng)過程。下面的三級水平（即水平3、水平4、水平5）才是真正的代數(shù)思維水平，為凸顯各級水平的內(nèi)容特點，沒有稱之為代數(shù)思維水平1、水平2、水平3。

3.靜態(tài)數(shù)量關系水平：知道并會用字母表示靜態(tài)的數(shù)量關系、規(guī)律，知道此時字母可以表示任意的數(shù)。例如，學生認可運算律、公式等可以用字母表示，知道字母可以表示廣義的數(shù)，并能根據(jù)現(xiàn)實情境說出字母的取值范圍。具體內(nèi)容可見蘇教版教材“用字母表示數(shù)”單元的例3。處于該水平的學生認可含字母的代數(shù)式既表示靜態(tài)的數(shù)量關系，也表示結果，知道此時代數(shù)式中的字母表示特定的未知數(shù)。例如，天平左邊托盤里裝有一個100克重的蘋果和一根x克重的香蕉，右邊托盤里裝有200克和50克的砝碼，此時天平平衡，用等式表示這種平衡狀態(tài)。處于該水平的學生的思維具有初步的概括性、一般性。學完“用字母表示數(shù)”單元后，根據(jù)教學經(jīng)驗可知，應有90%的學生處于該水平。

4.簡單變量關系水平：認可并能夠用含有字母的式子表示變化過程中兩個變量之間的關系，還認可字母表示“受限制”的多個自然數(shù)。例如，圖形中的規(guī)律，父母與孩子年齡之間的關系，青蛙的只數(shù)與腿數(shù)之間的關系等。學生的思維具有抽象性、辯證性，能夠整體把握變化中的不變，初步感悟函數(shù)思想。

“兩個變量之間的關系”主要包括加法關系或乘法關系中的某一種，即只涉及兩個運算對象進行一次運算。例如，小明1歲時，媽媽28歲；小明2歲時，媽媽29歲……小明a歲時，媽媽多少歲？再如，擺1個三角形用3根小棒，擺2個三角形用6根小棒……擺n個三角形一共用多少根小棒？學完“用字母表示數(shù)”單元后，根據(jù)教學經(jīng)驗可知，應有80%的學生處于該水平。

5.復雜變量關系水平：較為復雜的數(shù)量關系是指由加法關系與乘法關系復合一次或多次而得到的關系，即至少涉及三個運算對象進行兩次以上運算。具體內(nèi)容見蘇教版教材“用字母表示數(shù)”單元的例4、例5、例7及綜合實踐活動“釘子板上的多邊形”。值得注意的是，“青蛙的只數(shù)與眼睛、腿、嘴等之間的數(shù)量關系”情境適用于六年級“變化的量”“正比例”的學習，不太適用于五年級“用字母表示數(shù)”單元，因為所涉及的變量關系太多。學完“用字母表示數(shù)”單元后，根據(jù)教學經(jīng)驗可知，能有60%的學生處于該水平就很好。

需要注意的是，以下內(nèi)容是中學數(shù)學要求的內(nèi)容，在小學不要求：用式子表示兩個及兩個以上代數(shù)式的大小關系，并認識到滿足關系式的字母表示滿足條件的實數(shù)。例如，“x+y=6，且x<y，求x的取值范圍”“3n和n+3誰大”等問題。

韋達在其著作《分析引論》中第一次有意識地使用系統(tǒng)的字母符號，以輔音字母表示已知量，元音字母表示未知量，他把符號代數(shù)稱作類的算術，同時規(guī)定了算術與代數(shù)的分界，認為代數(shù)運算施行于事物的類或形式，算術運算施行于具體的數(shù)[4]。伴隨著人們對字母表示數(shù)的意義的認識水平的提高，字母表示數(shù)的功能逐步得到發(fā)展與完善，但這是一個漫長的歷史演進過程。為數(shù)不少的小學生對用字母表示數(shù)的認識仍停留在水平1、水平2或水平3階段，對字母的意義的認知多數(shù)停留在記數(shù)符號及未知量的層次，只有少部分學生理解并能用一類量思考、解決問題。

三、培養(yǎng)學生符號意識的教學建議

提升小學生的符號意識是一個漫長且艱辛的過程，其背后是由算術思維發(fā)展為代數(shù)思維。一方面，要克服算術思維的定式，例如，學生習慣于按照程序計算且能得到具體的結果；另一方面，又要培養(yǎng)學生的抽象與概括能力，認可字母符號，不急著算出來而能從整體上和結構上把握數(shù)量關系。這兩方面對培養(yǎng)學生的符號意識都非常重要。

1.讓學生感受用字母符號表示的必要性。

從低年級開始就要有意識地讓學生認可直觀示意符、數(shù)字與運算符并感受其價值?！坝米帜副硎緮?shù)”的第一課時更要讓學生感受引入字母符號的必要性。例如，俞正強老師執(zhí)教該課的理念與做法值得借鑒。他設計了三個理解層次的“大任務”。

層次一：確定的數(shù)用數(shù)字表示，不確定的數(shù)用字母表示（問題：不同情境下的信封里各有幾支粉筆）。層次二：不同的對象用不同的字母表示（問題：你和老師各有多少根頭發(fā)）。層次三：兩個對象有聯(lián)系時，其中一個對象用字母式表示（老師與某學生的年齡問題）[5]。從外顯行為到內(nèi)隱理解，學生的每個活動都隱含著教師自覺的教學意圖，即讓學生透徹地理解：為什么要用字母表示數(shù)、什么情況下用什么樣的字母表示數(shù)。逐層深入，既深入到知識的本質，又激發(fā)學生強烈的好奇心與用字母表示的欲望，通過對比不同的情境，可以用數(shù)或字母表示數(shù)量或數(shù)量關系，初步感悟用字母表示的必要性。

2.單元內(nèi)容的設計要符合符號意識的進階層級。

如前所述，“用字母表示數(shù)”是培養(yǎng)學生符號意識的重要載體。但目前“用字母表示數(shù)”無論是單元設計還是課時設計都不盡如人意，所設計的內(nèi)容極易人為地“拉低”學生的符號意識水平。例如，俞正強老師所舉的“皮毛的學習”[5]。培養(yǎng)學生的符號意識時一定要考慮其學習進階，也就是前述不同水平的表現(xiàn)。前述水平1、水平2是學生形成符號意識的前提或基礎，并不是代數(shù)思維水平的符號意識。目前蘇教版教材與人教版教材中的例題側重于水平3、水平4、水平5對應的內(nèi)容，北師大版教材則側重于水平4對應的內(nèi)容。蘇教版教材將“用字母表示數(shù)”作為獨立單元，其所涉及的內(nèi)容較多，尤其是水平5對應的內(nèi)容不僅出現(xiàn)在例題中，還作為綜合實踐活動的內(nèi)容，不但內(nèi)容多，所涉及的水平也更高。

像當下蘇教版教材這樣設計單元內(nèi)容，符合2022年版課標的要求，更加重視培養(yǎng)學生的符號意識與代數(shù)思維，從學習進階理論角度看，這樣處理更有助于學生形成和發(fā)展符號意識。

3.認識到小學生算術思維的根深蒂固。

含有字母的式子既能表征數(shù)量關系，也能表示某個量的大小。一般來說，學生理解前者較容易，真正理解后者很難，因為學生受算術思維的束縛，認為只能用具體的數(shù)表示結果，而不認可用式子表示，因為“算式還沒有算完”，尤其是一些認真、嚴謹、有良好學習習慣的學生。例如：

面對家庭作業(yè)中的下述題目時，出問題的學生很多（約占70%）：商店原有120千克蘋果，又運來20箱，每箱a千克，商店里現(xiàn)在有多少千克蘋果？（用含有字母的式子表示）學生出問題僅僅是因為粗心沒有認真審題嗎？或許不是！教師為進一步診斷學生出問題的根源，對六名不同水平的學生進行了集體訪談。

師：先說說自己是怎么想的。

生：用“原來的”加上“又運來的”就是“現(xiàn)在的”。

師：怎樣列式表示呢？（當教師問起這個問題時，剛才還說話的學生趕快低下頭，表現(xiàn)得沒有自信）老師再給你們一些時間思考。

1分鐘后，終于有一名學生說：20a+120。

師：20a表示什么？

生：又運來多少千克。（另外幾人隨聲附和）

師：“20a+120”這個式子表示的是一個整體，就是現(xiàn)在有多少千克蘋果，明白了嗎？

學生頻頻點頭，不到5分鐘，多數(shù)學生都改完了錯。但是還有一名學生沒完成，5分鐘又過去了，怎么這個學生還沒改完？今天他怎么了？這可是平時學習一貫很好的學生??！教師仔細一看：這不是已經(jīng)改對了嗎？但再看看該學生，發(fā)現(xiàn)他愁眉苦臉地一手拿著橡皮一手拿著鉛筆，想擦掉，好像又想添點什么。教師彎下腰，輕輕問他：“還有哪兒不明白？”他的臉一下子紅了，抬起頭兩眼淚汪汪地說：“我不會計算?！彼呎f邊拿著筆要在“20a+120”后面寫上“=”，一副不計算出結果誓不罷休的樣子。課堂練習時做過類似的練習啊，不是都明白了嗎？這個學生今天怎么又問起“怎么計算”??？

用字母表示數(shù)經(jīng)歷了2000年左右的漫長歷史進程，經(jīng)過一代代數(shù)學家艱苦卓絕的探索、完善，才能以今天的面貌呈現(xiàn)于世人面前，學生只靠短短幾節(jié)課的學習又怎能輕松跨越如此漫長的歷史長河呢？因此，教師要接受“學生一會兒明白、一會兒又糊涂”的現(xiàn)狀，對于用字母表示數(shù)，不是依靠短時間的講解與訓練學生就能理解與掌握的，其背后是代數(shù)思維在“作祟”，提升符號意識水平就是逐步提升代數(shù)思維水平的過程，二者密不可分。數(shù)學課程的任務之一就是讓學生逐步感悟和擁有使用數(shù)學符號的能力，逐步學會欣賞數(shù)學符號的內(nèi)在魅力，尤其是在小學階段急不得。

參考文獻：

[1]朱立明，馬云鵬.學生數(shù)學符號意識PORE評價框架的構建[J].數(shù)學教育學報，2016，25（1）.

[2]朱立明.義務教育階段學生數(shù)學符號意識分析層次的構建[J].數(shù)學教育學報，2019，28（4）.

[3]李艷琴，宋乃慶.小學低段數(shù)學符號意識測評指標體系的初步構建[J].教育學報，2016，12（4）.

[4]蒲淑萍，汪曉勤.學生對字母的理解：歷史相似性研究[J].數(shù)學教育學報，2012，21（3）.

[5]俞正強.種子課如何實現(xiàn)深度學習：以《用字母表示數(shù)》為例[J].人民教育，2021（15/16）.