鄭仲義

摘要：以“數(shù)列的函數(shù)觀——數(shù)列最值的求解”一課為例，開展基于學(xué)生主體數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)活動，重構(gòu)學(xué)生主體的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生形成良好的知識結(jié)構(gòu)，以函數(shù)的眼光看數(shù)列問題，以函數(shù)的思維思考數(shù)列問題，以函數(shù)的語言表達(dá)數(shù)列問題，貫通“四基”“四能”，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：主體經(jīng)驗(yàn)；重構(gòu)；數(shù)列

一、背景描述

為落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，體現(xiàn)學(xué)科的育人價(jià)值和育人功能，進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)過程，提升教學(xué)質(zhì)量，復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)于2022年11月22日至12月15日開展了以“貫通·建構(gòu)·再生”為主題的高中教學(xué)多維探索實(shí)踐活動.“數(shù)列的函數(shù)觀——數(shù)列最值的求解”是筆者在活動中執(zhí)教的一節(jié)高三復(fù)習(xí)課.通過對典型例題的探究，帶領(lǐng)學(xué)生嘗試用函數(shù)的觀點(diǎn)思考數(shù)列問題，并利用數(shù)列的函數(shù)特征解決數(shù)列的最值問題.

二、主題貫通，基于新課程重視學(xué)生的主體經(jīng)驗(yàn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，可以幫助學(xué)生感受數(shù)列與函數(shù)的共性和差異，體會數(shù)學(xué)的整體性.能用函數(shù)的觀點(diǎn)看待數(shù)列、用函數(shù)的方法研究數(shù)列是學(xué)生能力的表現(xiàn).

“函數(shù)思想方法在數(shù)列中的應(yīng)用”是高三復(fù)習(xí)的一個(gè)重要專題，通常分為以下三個(gè)環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)1：引導(dǎo)學(xué)生對等差數(shù)列與一元一次函數(shù)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系.

環(huán)節(jié)2：引導(dǎo)學(xué)生對等比數(shù)列和指數(shù)函數(shù)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系.

環(huán)節(jié)3：在一般情形下，研究數(shù)列與函數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系.

但這樣的過程暴露出設(shè)計(jì)之初認(rèn)為數(shù)列與函數(shù)是分割的，忽視了學(xué)生的主體意識和經(jīng)驗(yàn)，沒有充分利用學(xué)生對數(shù)學(xué)解題的認(rèn)識和體驗(yàn).

在復(fù)習(xí)數(shù)列之前，學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)了函數(shù)的相關(guān)知識，有了對基本初等函數(shù)研究的直接經(jīng)驗(yàn)，具備借助圖象直觀獲得解題思路的能力.對于數(shù)列的單調(diào)性、最小項(xiàng)、最大項(xiàng)，學(xué)生在高一和高二的學(xué)習(xí)中已經(jīng)有過研究，但是對整個(gè)主題缺乏系統(tǒng)、連貫地學(xué)習(xí).在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)數(shù)列的某些概念和性質(zhì)與函數(shù)的某些概念和性質(zhì)有相似之處，同時(shí)會發(fā)現(xiàn)兩者存在一些本質(zhì)上的差異，但是對數(shù)列與函數(shù)的概念和性質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系的認(rèn)識還有一些不足，容易造成一些不必要的錯(cuò)誤.

學(xué)生在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步展開學(xué)習(xí)，需要教師從函數(shù)主題的角度精心設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生思考、分析數(shù)列與函數(shù)在概念和性質(zhì)方面的差異，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性，逐步建構(gòu)函數(shù)主題的知識框架，使函數(shù)主題知識“整體化”.同時(shí)，從復(fù)習(xí)活動經(jīng)驗(yàn)中形成求解數(shù)列最值問題的一般思路和方法，以及一般流程，并為今后研究其他數(shù)列的性質(zhì)作示范.通過該問題的研究，可以促進(jìn)學(xué)生更好地理解數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和直觀想象等素養(yǎng).

三、內(nèi)容建構(gòu)，基于新教材設(shè)置學(xué)生主體經(jīng)驗(yàn)

教材是知識和能力的載體，教材中的例題和習(xí)題大多數(shù)具有較強(qiáng)的基礎(chǔ)性.在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)該遵循“用教材教”而不是“教教材”的原則，充分挖掘教材中例題和習(xí)題的潛在功能，引導(dǎo)學(xué)生向更廣范圍、更深層次聯(lián)想和引申，促進(jìn)知識的融會貫通，獲得解題能力和思維能力的提高.

本節(jié)課在例題與習(xí)題的選擇上，探索了以最小的量承載基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法和數(shù)學(xué)思想，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生掌握重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，感悟數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別.

例1改編自滬教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）選擇性必修第一冊第163頁復(fù)習(xí)題A組第7題；例2能體現(xiàn)以圖象為工具，將數(shù)列問題直觀化；例3改編自教材選擇性必修第一冊第149頁習(xí)題4.3A組第4題，體現(xiàn)了以函數(shù)的性質(zhì)為手段，轉(zhuǎn)化數(shù)列問題.例3的源題，體現(xiàn)了練習(xí)題對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和演繹推理等綜合素養(yǎng)的培養(yǎng).結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，以及有限的課堂教學(xué)時(shí)間，筆者將其改編成例3的第（1）小題，簡化了代數(shù)運(yùn)算，第（2）小題是逆向變式，第（3）小題凸顯離散性，拓展了教材內(nèi)容.

由兩條線索串起三道例題：顯性線索是最值項(xiàng)的求解；隱性線索是單調(diào)性的判斷.圖象和運(yùn)算是解釋函數(shù)的基本方法，據(jù)此選定例2和例3，其中例3屬于一題多變.從圖象上看，三道例題都是恰有一個(gè)拐點(diǎn)的函數(shù)問題.求解這類問題的一般性方法是：判斷單調(diào)區(qū)間，在極值點(diǎn)附近找最值，便于學(xué)生在變的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì).

四、課堂再生，重構(gòu)學(xué)生主體經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一是幫助學(xué)生形成可利用的、可辨別的和穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu).學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成有賴于教師對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的整體認(rèn)知，以及組織合理的教學(xué)結(jié)構(gòu).本節(jié)課的引言就是要引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)最基本、最原始的角度去認(rèn)識數(shù)列，讓學(xué)生感悟數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系.

1.引入函數(shù)觀，提取學(xué)生經(jīng)驗(yàn)

引言：有人說數(shù)列是特殊的函數(shù)，大家知道是為什么嗎？其實(shí)，數(shù)列能被看成函數(shù)，是由數(shù)列的定義決定的.

讓學(xué)生回答什么是函數(shù)，教師進(jìn)行補(bǔ)充評價(jià)：我們學(xué)習(xí)數(shù)列的過程也類似于函數(shù)，函數(shù)的表示方法包括列表法、圖象法和解析式法.那么，數(shù)列如何表示呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過設(shè)問及展示數(shù)列知識結(jié)構(gòu)圖（略），讓學(xué)生對數(shù)列與函數(shù)的相關(guān)知識結(jié)構(gòu)在思維上形成對比.幫助學(xué)生建立數(shù)列的整體知識結(jié)構(gòu)，并納入學(xué)生的認(rèn)知體系.

【設(shè)計(jì)意圖】執(zhí)教班級學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)較低，因此要充分尊重學(xué)生的認(rèn)知水平，為不同層次的學(xué)生提供學(xué)習(xí)條件.學(xué)生得出答案并不難，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)列函數(shù)觀點(diǎn)的實(shí)踐是有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的.教師通過點(diǎn)評學(xué)生的解答，引導(dǎo)學(xué)生從Sn，an的求解，以及圖象和等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用等多角度思考問題，提煉出二次函數(shù)、一次函數(shù)，以及它們的圖象與等差數(shù)列的聯(lián)系.從形的角度來看，Sn是過原點(diǎn)的二次函數(shù)，an是一條直線；從代數(shù)角度來看，可以求出d，判斷單調(diào)性.這樣的處理方式既來源于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，又逐步展示了數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系，拓展了學(xué)生思考問題的維度.

學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是找出新知與學(xué)生已知的內(nèi)容的聯(lián)系，以及信息和經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系.通過研究特殊數(shù)列的問題，既可以鞏固有關(guān)的概念和方法，又可以利用函數(shù)觀點(diǎn)來研究數(shù)列問題，促使學(xué)生感受數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系.

3.立足“三會”，重構(gòu)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)

《標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.當(dāng)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)得到拓展并沉浸在成功的喜悅中時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)去分析數(shù)列問題是自洽的，而不是機(jī)械的.用函數(shù)圖象直觀求最值源自學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，將其運(yùn)用到數(shù)列問題的解決中是對學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的拓展和重塑，同時(shí)可以促進(jìn)學(xué)生知識和能力的發(fā)展.

4.“異類”經(jīng)驗(yàn)，提供學(xué)生選擇的經(jīng)驗(yàn)

在對學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行拓展時(shí)，也出現(xiàn)了“異類”經(jīng)驗(yàn).因?yàn)閷瘮?shù)求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性非常便捷，學(xué)生很喜歡使用，但用得不當(dāng)，甚至錯(cuò)用.有的學(xué)生對數(shù)列直接求導(dǎo)來判斷數(shù)列的單調(diào)性.從認(rèn)知心理學(xué)的角度來看，學(xué)生未能把函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)重組和改善，導(dǎo)致學(xué)習(xí)表面化、形式化.

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的基本工具，在函數(shù)主線中，單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)核心的內(nèi)容.不僅自身重要，而且要建立起與其他相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系，才能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和思維品質(zhì).結(jié)合教材選擇性必修第二冊第16頁例10，以及第15頁導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，確定對本班學(xué)生而言使用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法求解此題是適宜的.

【設(shè)計(jì)意圖】用函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列及其與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)一步感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異.

師：與例1和例2不同，例3不是學(xué)過的基本初等函數(shù)，這個(gè)數(shù)列的圖象暫時(shí)畫不出來，可以先分析性質(zhì).函數(shù)的最大值或者最小值通常與函數(shù)的什么性質(zhì)有關(guān)？（學(xué)生回答：單調(diào)性.）

師：我們能判斷出這個(gè)數(shù)列的單調(diào)性嗎？或者能判斷這個(gè)數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性嗎？嘗試作出草圖.

生2：對于第（1）小題，可以作商比較，判斷前后項(xiàng)的比值與1的大小關(guān)系.

師：比較相鄰兩項(xiàng)的大小是研究數(shù)列單調(diào)性的基本方法，這使得數(shù)列單調(diào)性的判斷比函數(shù)單調(diào)性的判斷更簡單.按照通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，我們還可以具體分為作差比較和作商比較兩種方法.

很多學(xué)生喜歡用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)最值、單調(diào)性有關(guān)的問題，基于此，教師提出問題：是否可以借助數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷？

生3講解解題思路后，教師進(jìn)行小結(jié)：借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是一種通用、便捷的方法.可以根據(jù)數(shù)列的特性，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和方法.

師：這里體現(xiàn)了不能將數(shù)列完全等同于函數(shù).大家是否感受到了函數(shù)的最大值、最小值與數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的區(qū)別？

生5：數(shù)列取最值項(xiàng)時(shí)n是正整數(shù)，而函數(shù)取最值時(shí)對應(yīng)的x值不一定是正整數(shù).

第（3）小題的目的是限制構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)的方法，讓學(xué)生體會數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別，回歸數(shù)列最值問題的數(shù)列處理方法.

五、教學(xué)思考

首先，“四基”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的沃土，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體.教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識，掌握基本技能，感悟基本數(shù)學(xué)思想，積累基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的不斷發(fā)展.教學(xué)設(shè)計(jì)要結(jié)合教學(xué)任務(wù)設(shè)計(jì)契合學(xué)生已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言、模型描述問題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題.在問題解決的全過程中，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

本節(jié)課的例題源于教材，在展開教學(xué)的過程中不斷變更問題的思維角度，變換問題的條件和結(jié)論，以實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).讓學(xué)生通過數(shù)列與函數(shù)知識的整合，重新構(gòu)建與內(nèi)化解題策略，促使思維能力提升.

其次，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的過程是數(shù)學(xué)知識、技能被學(xué)生逐步感受和理解，進(jìn)而深化和內(nèi)化為學(xué)生自身的品格和能力的過程，其中情感、態(tài)度和價(jià)值觀要依靠學(xué)生自身長期的體悟、認(rèn)識和實(shí)踐才能獲得.重視教、重視學(xué)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)是核心素養(yǎng)發(fā)展的重要途徑.

教學(xué)是一個(gè)持續(xù)不斷地提出問題和解決問題的過程，思維從問題開始，又形成新的問題，對學(xué)生來說是一個(gè)通過問題學(xué)解題的過程.在實(shí)際教學(xué)過程中，提出“有人說數(shù)列是特殊的函數(shù)，大家知道原因嗎？”自然重溫函數(shù)的定義，加強(qiáng)概念教育；“你能用別的方法求解嗎？”讓學(xué)生回顧等差數(shù)列的求和公式、圖象和通項(xiàng)公式，引發(fā)學(xué)生在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上探究一題多解，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化運(yùn)算，揭示數(shù)列與函數(shù)在圖象、性質(zhì)上的聯(lián)系；“函數(shù)問題我們常會怎么去思考？”引發(fā)學(xué)生從圖形角度思考例2；“與例1和例2不同，例3不是學(xué)過的基本初等函數(shù)，這個(gè)數(shù)列的圖象暫時(shí)畫不出來”引發(fā)學(xué)生思維沖突，同時(shí)促進(jìn)啟發(fā)性問題的提出；“函數(shù)的最大值或者最小值通常與函數(shù)的什么性質(zhì)有關(guān)？”指向明確，促進(jìn)學(xué)生的思維有序深入，引領(lǐng)學(xué)生探究，發(fā)揮了學(xué)生的主動性，提高了復(fù)習(xí)效率.課堂上，學(xué)生經(jīng)歷了由感性認(rèn)知、感悟體驗(yàn)逐漸深入到理性思維的過程.

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