辛愛群 朱記松

［摘? 要］ 文章通過對2022年嘉興、舟山中考數(shù)學(xué)壓軸題的剖析，旨在引導(dǎo)學(xué)生充分聯(lián)想相關(guān)知識點、基本圖形，從不同角度進(jìn)行深度思考，拓展學(xué)生思維的路徑，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

［關(guān)鍵詞］ 積累；聯(lián)想；拓展思維；核心素養(yǎng)

試題呈現(xiàn)

如圖1所示，在正方形ABCD中，點F，H分別在邊AD，AB上，連接AC，F(xiàn)H相交于點E，已知CF=CH.

（1）線段AC與FH垂直嗎？請說明理由.

（3）如圖3所示，在（2）的條件下，當(dāng)點K是線段AC的中點時，求.

分析與簡解

1. 問題（1）的分析與簡解

根據(jù)已知條件，結(jié)合圖形，聯(lián)想正方形的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)通過證明△DCF≌△BCH可得DF=BH，AF=AH，然后運用“等腰三角形‘三線合一”的性質(zhì)得到AC⊥FH.

2. 問題（2）的分析與簡解

要證明四條線段成比例，通常聯(lián)想“三點定形法——證明四條線段所在的兩個三角形相似”或“平行線分線段成比例定理及其推論”. 因為A，K，C三點在同一條直線上，所以不能直接證明兩個三角形相似. 面對這一問題，常見的策略有三種：第一種，在“平行線分線段成比例定理及其推論”的啟發(fā)下添加平行線構(gòu)造“真A”型圖形（如圖4所示）；第二種，在圖形中尋找或構(gòu)造一條線段來替換KH，通過三角形相似來證明結(jié)論成立（如圖5所示）；第三種，用三角函數(shù)表示AC，AK，HC，KH的長度，計算它們的比值證明結(jié)論成立. 因篇幅所限，這里僅根據(jù)上述三種策略列舉三種方法，其他方法請讀者自己探索.

方法1：如圖4所示，過點K作KG∥AB交CH于點G，所以∠GKH=∠PHA，∠KGH=∠CHB.

因為四邊形AHPF是☉E的內(nèi)接四邊形，所以∠DFC=∠AHP. 由問題（1）可知∠DFC=∠CHB，所以∠GKH=

3. 問題（3）的分析與簡解

由于K是AC的中點（即為定點），所以圖3中各線段的比值是確定的. 為探個究竟，不妨從下面兩個角度進(jìn)行思考.

第一，從作圖的角度進(jìn)行思考. 由問題（2）可知∠PHA=∠CHB，因此不難聯(lián)想到構(gòu)造△CHB關(guān)于AB的對稱圖形. 基于這個思路，解答如下：

第二，由中點聯(lián)想三角形的中位線. 過點K作KM∥CH交AB于點M.因為K是AC的中點，所以M是AH的中點，AB=3BH，然后運用勾股定理、相似三角形的性質(zhì)（或三角函數(shù)）表示CP，PF的長度，最后計算出它們的比值. 解答如下：

如圖7所示，過點K作KM∥CH交AB于點M，連接KB. 由正方形ABCD的性質(zhì)以及K是AC的中點，可得AK=KB，∠KAB=∠KBA=45°. 由問題（2）可知∠KMH=∠KHA，從而易證△AKH≌△BKM，于是AH=BM，得AM=BH. 由KM∥CH以及K是AC的中點，可知AM=MH=HB.

結(jié)合上述結(jié)論，下面給出兩種方法.

解題反思

1. 考查“四基”

該題是該卷的壓軸題，突出考查基本知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想、基本解題經(jīng)驗，難易適中，能夠助力義務(wù)教育提質(zhì)增效. 具體來說，該題以正方形、共頂點的等腰直角三角形為背景，設(shè)計三個問題，著力考查正方形、等腰（直角）三角形、全等三角形、三角形中位線定理、相似三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)、圓的基本性質(zhì)、計算與推理能力以及轉(zhuǎn)化思想等，具有較強的綜合性和靈活性（問題（2）的解法多樣），各小題呈遞進(jìn)關(guān)系，由易到難，層次分明，具有較強的區(qū)分度，在確保中考選拔功能的基礎(chǔ)上，能有效考查不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學(xué)思想.

2. 聚焦核心素養(yǎng)

教學(xué)啟示

1. 解題需要原始積累

皮亞杰的認(rèn)知建構(gòu)理論要求教師在平時教學(xué)中，重視學(xué)生頭腦中原有知識和經(jīng)驗的作用，重視學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的主觀能動性. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》也強調(diào)，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志. 因此，在平時教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過作數(shù)學(xué)筆記、寫數(shù)學(xué)日記、解題反思、自主復(fù)習(xí)等行為養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以促進(jìn)學(xué)生積累數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想、解題方法、解題經(jīng)驗（策略）、基本圖形、基本題型和基本結(jié)論，幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，自主構(gòu)建認(rèn)知體系.

2. 解題需要充分聯(lián)想

聯(lián)想是指由于某人或某事物而想起其他相關(guān)的人或事物；由于某概念而引起其他相關(guān)的概念. 聯(lián)想是解題的關(guān)鍵，在數(shù)學(xué)解題中，可以由已知條件聯(lián)想到相關(guān)的知識點、定義、定理；由結(jié)論聯(lián)想到相關(guān)的基本圖形、基本結(jié)論或要得到結(jié)論所需要的條件和可能的方法.

3. 解題需要“學(xué)科一般觀念”的指導(dǎo)

章建躍博士指出：“學(xué)科一般觀念是指對本學(xué)科學(xué)習(xí)和研究具有廣泛、持久、深刻影響的基本數(shù)學(xué)思想方法和基本思維策略方法，是數(shù)學(xué)研究的方法論，對學(xué)生用數(shù)學(xué)來觀察和分析世界，提出并解決問題具有指路明燈的作用.” 筆者竊以為：數(shù)學(xué)解題教學(xué)，教師應(yīng)潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生形成有效的解題思維策略（思維過程如圖8所示），培養(yǎng)學(xué)生的審題意識，在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，通過充分聯(lián)想、類比，喚醒已有的解題經(jīng)驗，建立條件與結(jié)論以及前后小題間的聯(lián)系，制定解題方案，優(yōu)化解題方法，最后總結(jié)反思，形成新的經(jīng)驗，提高解題能力.