郭永生

? 山東省菏澤市定陶區(qū)第一中學(xué)

一套成功的試卷總是不乏好題,立意新穎,典型突出,亮點(diǎn)十足,引人注目.這類試題往往知識(shí)融合自然,考點(diǎn)科學(xué)交匯,具有良好的教研價(jià)值,倍受眾多數(shù)學(xué)愛好者青睞,非常值得我們深入思考、分析與探究.

1 問題呈現(xiàn)

(1)求軌跡E的方程.

(2)設(shè)過點(diǎn)A(0,-1)且斜率為k1的動(dòng)直線與軌跡E交于C,D兩點(diǎn),且點(diǎn)B(0,2),直線BC,BD分別交圓x2+(y-1)2=1于異于點(diǎn)B的點(diǎn)P,Q,設(shè)直線PQ的斜率為k2,問是否存在實(shí)數(shù)λ,使得k2=λk1成立?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

2 問題解答

上述問題的解答如下.

(2)由題意知,直線CD的方程為y=k1x-1.設(shè)C(x1,k1x1-1),D(x2,k1x2-1).

將y=k1x-1與x2+2y2-8=0聯(lián)立,消去y,得

設(shè)直線PQ的方程為y=k2x+m,P(x3,k2x3+m),Q(x4,k2x4+m).

3 問題探究

經(jīng)過初步探究,發(fā)現(xiàn):

設(shè)M(dy1+t,y1),N(dy2+t,y2),則

特別地,可得以下結(jié)論:

當(dāng)TM⊥TN時(shí),則直線AB恒過點(diǎn)(0,0).

(注:上述e為相應(yīng)曲線的離心率.)

4 拓廣探索

再進(jìn)一步深入研究拋物線,發(fā)現(xiàn)類似性質(zhì):

特別地:

(1)當(dāng)TM⊥TN時(shí),時(shí),直線MN恒過定點(diǎn)(2p+x0,-y0);

(2)當(dāng)x0=y0=0,且TM⊥TN時(shí),直線MN恒過定點(diǎn)(2p,0).

5 鏈接高考

(1)求C的方程;

(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

圖1

當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨新教材、新課程、新高考所引領(lǐng)的三新環(huán)境,單純從學(xué)科教與學(xué)的角度來看,學(xué)習(xí)探究應(yīng)該成為適應(yīng)新時(shí)代下教與學(xué)的新常態(tài),特別是像學(xué)習(xí)圓錐曲線等一類難度較大的內(nèi)容時(shí),教師更有必要下功夫思考與探究.圓錐曲線的性質(zhì)十分豐富,可供探究的方面十分廣泛,以上筆者所探討的這些只不過是圓錐曲線性質(zhì)中的冰山一角,滄海一粟,期盼早日見到新時(shí)代同行們更多、更好的教學(xué)研究成果,以期同學(xué)習(xí)、共進(jìn)步!Z