■鄧建兵

以集合為背景的創(chuàng)新問題,常常以“問題”為核心,以“探究”為途徑,以“發(fā)現(xiàn)”為目的,以集合為依托,考查同學(xué)們理解問題、解決創(chuàng)新問題的能力。常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等,這類試題中集合只是基本的依托。

聚焦1：集合中的“新定義”問題

例1設(shè)集合A={-1,0,2},集合B={-x|x∈A且2-x?A},則B=( )。

A.{1} B.{-2}

C.{-1,-2} D.{-1,0}

解：抓住新定義集合B={-x|x∈A且2-x?A}的代表元素的屬性求解。若x=-1,則2-x=3?A,此時-x=1滿足其屬性;若x=0,則2-x=2∈A,此時不符合要求;若x=2,則2-x=0∈A,此時不符合要求。故集合B={1}。應(yīng)選A。

反思：集合中的新定義問題,要抓住代表元素的屬性進(jìn)行驗證,注意集合中元素的確定性與互異性的應(yīng)用。

例2設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集,對于k∈A,如果k-1?A,且k+1?A,那么稱k是A的一個“孤立元”。給定集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有____個。

解：依據(jù)A的一個“孤立元”的定義求解。對于k∈A,k-1?A,且k+1?A,由給定集合S的3個元素構(gòu)成的所有集合中不含“孤立元”,這三個元素一定是連續(xù)的三個自然數(shù)。故這樣的集合為{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6}{5,6,7},{6,7,8},即不含“孤立元”的集合共有6個。

反思：理解新定義的最好辦法就是特殊化處理和列舉法嘗試。如題中S={6,7,8}不含孤立元,S={2,3,5}含孤立元5,三個元素構(gòu)成的集合不含“孤立元”,這三個元素一定是連續(xù)的三個自然數(shù)。

聚焦2：集合中的“新運算”問題

例3對于集合A,定義一種運算“⊕”,使得集合A中的元素間滿足條件:如果存在元素e∈A,使得對任意a∈A,都有e⊕a=a⊕e=a,則稱元素e是集合A對運算“⊕”的單位元素。如A=R,運算“⊕”為普通乘法,存在1∈R,使得對任意a∈R,都有1×a=a×1=a,所以元素1是集合R 對普通乘法的單位元素。下面給出兩個集合及相應(yīng)的運算“⊕”:

(1)A=R,運算“⊕”為普通減法。

(2)A={x|x?M}(其中M是任意非空集合),運算“⊕”為求兩個集合的交集。

其中對運算“⊕”有單位元素的集合為_____。

解：依據(jù)給定的運算,驗證單位元素的運算滿足交換律或舉反例說明不成立。

(1)若A=R,運算“⊕”為普通減法,而普通減法不滿足交換律,故沒有單位元素。

(2)A={x|x?M}(其中M是任意非空集合),運算“⊕”為兩個集合的交集,故單位元素為集合M。

反思：集合中的新運算問題,按照運算法則逐一進(jìn)行驗證,不成立舉出反例,成立說明原因。本題實質(zhì)就是驗證單位元素是否存在且滿足交換律的問題。

例4對于集合M,定義函數(shù)fM(x)=對于兩個集合A,B,定義集合運算AΔB={x|fA(x)·fB(x)=-1},已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,12},則用列舉法寫出集合AΔB的結(jié)果為____。

解：結(jié)合題設(shè)中集合元素的運算和分段函數(shù)的意義求解。要使fA(x)·fB(x)=-1,必有x∈{x|x∈A且x?B}∪{x|x∈B且x?A}={6,10}∪{1,12}={1,6,10,12},所以AΔB={1,6,10,12}。

反思：本題實質(zhì)為特殊函數(shù)自變量的集合, 由 定 義 函 數(shù)fM(x) =,可轉(zhuǎn)化為兩個特殊集合的并集運算求解。

聚焦3：創(chuàng)新集合問題

例5設(shè)S是實數(shù)集R 的非空子集,如果?a,b∈S,都有a+b∈S,a-b∈S,則稱S是一個“和諧集”。下面命題中的假命題是( )。

A.存在有限集S,S是一個“和諧集”

B.對任意無理數(shù)a,集合{x|x=ka,k∈Z}都是“和諧集”

C.若S1≠S2,且S1,S2均是“和諧集”,則S1∩S2≠?

D.對任意兩個“和諧集”S1,S2,若S1≠R,S2≠R,則S1∪S2=R

解：依據(jù)“和諧集”的性質(zhì)對選項逐一驗證。對于A,如S={0},顯然該集合滿足0+0=0∈S,0-0=0∈S,A 正確。對于B,設(shè)任意x1∈{x|x=ka,k∈Z},x2∈{x|x=ka,k∈Z},則存在k1∈Z,k2∈Z,使得x1=k1a,x2=k2a,x1+x2=(k1+k2)a∈{x|x=ka,k∈Z},x1-x2=(k1-k2)a∈{x|x=ka,k∈Z},因此對任意無理數(shù)a,集合{x|x=ka,k∈Z}都是“和諧集”,B 正確。對于C,當(dāng)S1,S2均是“和諧集”時,若a∈S1,則a-a∈S1,即0∈S1,同理0∈S2,此時S1∩S2≠?,C正確。對于D,如取S1={0}≠R,S2={x|x=k,k∈Z}≠R,易知集合S1,S2均是“和諧集”,此時S1∪S2≠R,D 不正確。應(yīng)選D。

反思：創(chuàng)新集合中的新性質(zhì)問題,關(guān)鍵是應(yīng)用創(chuàng)新性質(zhì)和其他相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識來推理驗證,正確結(jié)論需推理,不成立只需舉反例即可。

例6設(shè)P是一個數(shù)集,且至少含有兩個數(shù),若對任意a,b∈R,都有a+b、a-b、(除數(shù)b≠0),則稱P是一個數(shù)域。如有理數(shù)集Q 是數(shù)域,數(shù)集b∈Q}也是數(shù)域?，F(xiàn)有下列命題:①數(shù)域必含有0,1兩個數(shù);②整數(shù)集是數(shù)域;③若有理數(shù)集Q?M,則數(shù)集M必為數(shù)域;④數(shù)域必為無限集。其中正確命題的序號是____。

解：根據(jù)數(shù)域的四個性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷。①若a=b≠0,則a-b=0∈P,=1∈P,所以數(shù)域必含有元素0,1,①正確。②1,2∈Z,但?Z,②錯誤。③令M=Q∪{π},則1,π∈M,1+π?M,③錯誤。④如果a,b在P中,那么a+b,a+2b,…,a+kb(k為整數(shù)),…都在P中,且整數(shù)有無窮多個,故數(shù)域必為無限集,④正確。正確命題的序號為①④。

反思：本題主要考查同學(xué)們準(zhǔn)確理解和快速掌握新知識的能力。

聚焦4：集合的創(chuàng)新應(yīng)用問題

例7若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四個關(guān)系:①a=1,②b≠1,③c=2,④d≠4有且只有一個是正確的,則符合條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)的個數(shù)是____。

解：抓住①②③④有且只有一個是正確的,進(jìn)行合理推理。若①正確,則②③④都不正確,可得b≠1不正確,即b=1,與a=1矛盾,①不正確。若②正確,則①③④都不正確,由④不正確得d=4,由a≠1,b≠1,c≠2,得滿足條件的有序數(shù)組為a=3,b=2,c=1,d=4或a=2,b=3,c=1,d=4。若③正確,則①②④都不正確,由④不正確,得d=4,由②不正確,得b=1,則滿足條件的有序數(shù)組為a=3,b=1,c=2,d=4。若④正確,則①②③都不正確,由②不正確,得b=1,由a≠1,c≠2,d≠4,得滿足條件的有序數(shù)組為a=2,b=1,c=4,d=3或a=3,b=1,c=4,d=2或a=4,b=1,c=3,d=2。綜上所述,符合條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)的個數(shù)是6。

反思：解題時,根據(jù)題意,在合理的假設(shè)下用類似反證法的方法進(jìn)行邏輯推理與判斷。