王加林

摘 要：教學(xué)“多邊形的面積”后，設(shè)計(jì)一節(jié)復(fù)習(xí)（拓展）課，引導(dǎo)學(xué)生重新推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形的面積公式，梳理多邊形面積公式之間的關(guān)系，進(jìn)而歸納發(fā)現(xiàn)面積的二維屬性，類比發(fā)現(xiàn)周長的一維屬性，并發(fā)散認(rèn)識(shí)空間的維度，從而幫助學(xué)生更好地理解面積概念，區(qū)分周長與面積，發(fā)展空間觀念。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；面積；周長；空間維度；多邊形的面積

一、教前思考

周長和面積是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較容易混淆的兩個(gè)概念。學(xué)生（使用蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材）在三年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)周長概念以及長方形和正方形的周長，在三年下學(xué)期學(xué)習(xí)面積概念以及長方形和正方形的面積，然后在五年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形等多邊形的面積。教學(xué)面積概念后，可以從定義和度量兩個(gè)角度，引導(dǎo)學(xué)生比較辨析周長和面積的聯(lián)系和區(qū)別。時(shí)隔一年半，教學(xué)“多邊形的面積”后，學(xué)生對(duì)“周長和面積的聯(lián)系和區(qū)別”掌握得如何？筆者在課后作業(yè)中設(shè)計(jì)了一道有關(guān)周長和面積的練習(xí)：

把一個(gè)用鐵絲圍成的長方形框架拉成一個(gè)平行四邊形，該框架的周長和面積發(fā)生了什么變化？

對(duì)此，筆者所教班級(jí)以及同年級(jí)其他班級(jí)學(xué)生的答題情況統(tǒng)計(jì)如下頁表1所示?？梢?，學(xué)生的錯(cuò)誤率不低，這反映出他們對(duì)周長和面積的聯(lián)系和區(qū)別掌握得不是很好。進(jìn)一步訪談得知：學(xué)生知道周長和面積的描述性定義、度量方法以及計(jì)算方法（數(shù)或算出度量單位的個(gè)數(shù)），有比較好的量感；但是，對(duì)二者度量本質(zhì)（聯(lián)系）下的空間維度屬性（區(qū)別）理解得不透徹。

實(shí)際上，“幾何學(xué)起源于圖形大小的度量……根據(jù)圖形的維數(shù)，把度量一維圖形大小的數(shù)稱為長度，將二維圖形的大小用面積來表示……”［1］。但是，小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)長度、面積等的維度屬性介紹得并不多。張奠宙先生就曾指出：小學(xué)教材中對(duì)長度、面積和體積的維度屬性認(rèn)識(shí)不足，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)線段、平面、立體的區(qū)分及關(guān)聯(lián)有些疏漏，甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤。［2］

因此，教學(xué)“多邊形的面積”后，筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)復(fù)習(xí)（拓展）課，引導(dǎo)學(xué)生重新推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形的面積公式，梳理多邊形面積公式之間的關(guān)系，進(jìn)而歸納發(fā)現(xiàn)面積的二維屬性，類比發(fā)現(xiàn)周長的一維屬性，并發(fā)散認(rèn)識(shí)空間的維度，從而幫助學(xué)生更好地理解面積概念，區(qū)分周長與面積，發(fā)展空間觀念。

二、教學(xué)過程

（一）重新推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形的面積公式

教材引導(dǎo)學(xué)生通過剪拼的方法把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，從而得到平行四邊形的面積公式；然后，通過拼接兩個(gè)相同的三角形的方法把三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，從而得到三角形的面積公式；最后，通過拼接兩個(gè)相同的梯形的方法把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，從而得到梯形的面積公式。這樣做有幾個(gè)不自然的地方：三角形更簡單、更基本，為什么不先推導(dǎo)三角形的面積公式？推導(dǎo)平行四邊形的面積公式時(shí)，為什么要沿著高剪下（分割）？剪下后，為什么還要移拼？這并不容易想到。推導(dǎo)三角形、梯形的面積公式時(shí)，怎么想到“加倍”后拼接？這和推導(dǎo)平行四邊形面積公式的思路并不一致。其中最關(guān)鍵的是：高的得出不自然。這不容易讓學(xué)生感受到高的重要性，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)面積的二維屬性：兩個(gè)互相垂直的線段的長度（一維度量）相乘的結(jié)果。

因此，筆者引導(dǎo)學(xué)生重新推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形的面積公式：回到由面積單位度量得到的長方形面積公式，發(fā)現(xiàn)直角三角形的面積是其一半；對(duì)于一般三角形，想到作高將其分割為兩個(gè)直角三角形；對(duì)于平行四邊形，想到作高將其分割為兩個(gè)直角三角形和一個(gè)長方形；對(duì)于梯形，想到作高將其分割為兩個(gè)直角三角形和一個(gè)長方形。這樣不僅使思路更自然，而且凸顯了高的重要性，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)面積的二維屬性。

（二）歸納總結(jié)，發(fā)現(xiàn)面積的二維屬性

師 我們學(xué)習(xí)了長方形、三角形、平行四邊形以及梯形的面積公式。（出示圖1）觀察這幾個(gè)圖形及其面積公式，說一說它們有什么相同之處？

生 我發(fā)現(xiàn)，長方形和平行四邊形的面積公式都是將水平方向的長度與垂直方向的長度相乘。比如，長方形的長表示圖形水平方向的長度，寬表示垂直方向的長度，相乘得到面積；平行四邊形的底表示圖形水平方向的長度，高表示垂直方向的長度，相乘得面積。

生 我發(fā)現(xiàn)，三角形的面積公式也有這樣的特點(diǎn)：將兩個(gè)互相垂直的長度，也就是底和高相乘。

師 那為什么計(jì)算三角形的面積還要除以2呢？

生 三角形的面積是轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長方形來計(jì)算的，它的面積是轉(zhuǎn)化后的平行四邊形或長方形的一半。

師 很好！那梯形的面積公式呢？是不是也有這樣的特點(diǎn)？

生 我覺得，梯形的面積公式也可以這樣理解：“上底+下底” 其實(shí)是一個(gè)量，就是水平方向的長度；高則是垂直方向的長度。它除以2的原因和三角形是一樣的。

師 沒錯(cuò)！由此，我們可以發(fā)現(xiàn)面積的二維屬性：所有平面圖形的面積歸根到底都是其中互相垂直的兩個(gè)線段的長度（即兩個(gè)維度）相乘的結(jié)果。

有了多個(gè)平面圖形的面積公式，歸納總結(jié)其共性，發(fā)現(xiàn)面積概念度量本質(zhì)下的二維屬性，正當(dāng)其時(shí)。由此，學(xué)生可以深刻理解面積概念，特別是面積的量綱，以及說平面是二維的、稱平面圖形為二維圖形的道理。

（三）類比遷移，發(fā)現(xiàn)周長的一維屬性

師 同學(xué)們，我們發(fā)現(xiàn)了平面圖形面積的二維屬性。那我們之前學(xué)習(xí)過的周長呢？（出示圖2，省去了平行四邊形、梯形的周長計(jì)算）來回顧一下周長公式，其中有什么秘密？

生 我發(fā)現(xiàn)，長方形的周長是長與寬的和乘2，公式中有長與寬兩個(gè)相關(guān)量；正方形的周長是邊長乘4，公式中只有邊長這一個(gè)相關(guān)量；三角形的周長是三條邊相加，有三個(gè)相關(guān)量。這三個(gè)圖形的周長公式好像沒有什么共同點(diǎn)。

……

師 同學(xué)們，其實(shí)周長就是圖形一周的長度之和。（出示圖3）我們可以把長方形、正方形、三角形的周長像這樣展開，得到一條長長的線。類比面積的二維屬性，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生 周長就是一些線段的長度之和。雖然這些線段的方向不同，但是我們可以把這些線段像這樣展開到同一個(gè)方向，如此，周長就是這些線段連起來后的線段的長度了。

師 是的。也即是說，周長歸根到底是一條線段的長度。這就是周長的一維屬性。現(xiàn)在，你能很好地區(qū)分周長和面積了嗎？

生 面積是二維的，它是圖形中互相垂直的兩個(gè)長度相乘的結(jié)果。周長是一維的，它是圖形中一些線段的長度之和。

認(rèn)識(shí)了面積的二維屬性，類比遷移到周長的維度屬性，發(fā)現(xiàn)其是一維的，能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解面積（二維）與周長（一維）的區(qū)別，掌握?qǐng)D形維度的含義。在學(xué)生觀察公式?jīng)]有發(fā)現(xiàn)共性的情況下，教師適時(shí)演示周長的展開，激活了學(xué)生的思維，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)周長一維屬性的理解。

（四）發(fā)散聯(lián)系，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)空間的維度

師 同學(xué)們，大約在五六千年前，古埃及人在測(cè)量土地時(shí)，就認(rèn)識(shí)到要從長和寬兩個(gè)維度來認(rèn)識(shí)面積，由此慢慢地產(chǎn)生了幾何學(xué)。后來，《幾何原本》中，就有“線段是一維的，以長度來度量；平面圖形是二維的，以面積來度量；立體圖形是三維的，以體積來度量”的內(nèi)容，初步有了維度概念。那么，你在生活中有沒有看到過或聽到過有關(guān)維度的內(nèi)容？

生 我經(jīng)常去電影，3D電影就是三維的，因?yàn)榭雌胀娪皶r(shí)，我們只能從屏幕上感受到上下、左右兩個(gè)維度的方向；而看3D電影時(shí)，還能感受到前后這個(gè)方向，有的人物就像是從畫面上走出來的，離你越來越近。

生 我有一次看科學(xué)展，看到了3D打印機(jī)，它打印出來的東西不像普通打印機(jī)打印出來的那樣只在平面上，而是立體的，很真實(shí)，也就是三維的，有前后、左右和上下三個(gè)維度的方向。

師 其實(shí)，我們的數(shù)學(xué)教材中也有許多關(guān)于一維、二維、三維的知識(shí)，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

生 我們學(xué)過確定位置，一年級(jí)學(xué)習(xí)的確定位置只在一個(gè)方向上，是一維的；四年級(jí)學(xué)習(xí)的是在平面上確定位置，是二維的，用數(shù)對(duì)表示——數(shù)對(duì)中一個(gè)數(shù)表示行，是水平方向的；另一個(gè)數(shù)表示列，是垂直方向的。我覺得，將來還會(huì)學(xué)習(xí)在立體空間中確定位置，即三維的。

師 是的。在立體空間中確定位置要用到三個(gè)維度，不僅要表示前后、左右，還要表示上下。

認(rèn)識(shí)了一維和二維，自然可以拓展到三維。學(xué)生在生活中早就看到過或聽到過維度以及一維、二維、三維的說法，但是對(duì)它們的理解還不是很到位。因此，本環(huán)節(jié)聯(lián)系歷史、生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解維度，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，為中學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)有關(guān)維度的知識(shí)（如平面直角坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系、平面向量的基底和空間向量的基底）做好鋪墊。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 吳正憲，劉勁苓，劉克臣.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本概念解讀［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2014：325.

［2］ 張奠宙.淺而不錯(cuò)、分而不碎，著眼于數(shù)學(xué)素質(zhì)的養(yǎng)成——以“維度”概念為例［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2014（12）：4-6.