林 越

(無錫市積余實驗學校,江蘇 無錫 214043)

圓是數(shù)學中一個重要的幾何圖形,在實際生活和數(shù)學理論中都具有廣泛的應用.與圓有關的最值問題作為初中數(shù)學的一部分,是培養(yǎng)學生解決實際問題和培養(yǎng)數(shù)學思維的關鍵內(nèi)容之一.然而,由于其涉及圓的特殊性質(zhì),求解過程較為復雜,許多學生在解題過程中常常感到困惑和迷茫,因此,教師研究圓中最值問題的解題技巧,對于提高學生的數(shù)學能力和解決實際問題具有重要意義[1].

1 緊扣概念,垂線段求最值

在初中數(shù)學中,圓的垂線段是指從圓上的一個點向圓的直徑或半徑所引的線段.這條線段與所引的直徑或半徑垂直相交,被稱為垂線段,在圓的解題中,垂徑是一個特殊的位置,對圓的最值問題可以造成一定的影響,因此,教師在課堂中可以引入垂線段求圓的最值的技巧.

垂線段的特點是它的兩個端點分別位于圓上和圓心上,并且與圓的直徑或半徑垂直相交.在課堂上,教師可以帶領學生研讀教材,緊扣概念,理解圓的特殊位置.通過緊扣概念求解圓中垂線段的最值,教師可以通過提供一些實際問題,引發(fā)學生的思考和討論.例如,給定一個圓,學生可以思考如何找到圓中垂線段的最大值或最小值,或者如何確定垂線段的長度在什么條件下取得最值.教師可以指導學生從幾何角度出發(fā),利用相似三角形或勾股定理等數(shù)學工具進行推理和證明.學生思考完如何找到圓中垂線段的最大值或最小值后,教師可以引導他們從幾何角度出發(fā),利用相似三角形和勾股定理等數(shù)學工具進行推理和證明.首先,教師可以考慮如何找到圓中垂線段的最大值,可以假設圓的半徑為r,垂線段的長度為x,然后通過相似三角形來解決這個問題,教師可以在圓上選擇一個點A,連接圓心O和點A,并假設點B為垂線段的另一端點.根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可以得到比例關系x:r=r:(r+x),從而可以得到一個關于x的一元二次方程x2-rx-r2=0,解這個方程,便得到兩個解.根據(jù)實際意義,垂線段的長度必須為正值,因此需要取正解.接下來,教師可以帶領學生考慮如何確定垂線段的長度在什么條件下取得最小值.在了解基本概念后,教師可以帶領學生實戰(zhàn)演練.

例1如圖1,在圓O中,弦AB=1,點C在AB上移動,連接OC,過點C作CD⊥OC,且與圓O相交于點D,則CD的最大值為多少?

圖1 圓作垂線段的示意圖

通過這樣的教學方法,學生不僅可以掌握解決圓中垂線段最值問題的方法,還能培養(yǎng)學生幾何圖形的空間感,讓學生在圖形的動態(tài)與靜態(tài)的轉(zhuǎn)化中找到臨界點,幫助學生提高對數(shù)學圓圖形的全面認識,找到解題的多重技巧,并突破數(shù)學學習瓶頸,找到數(shù)學學習的自信心.

2 位置轉(zhuǎn)化,對稱點求最值

對稱點是指平面上的兩個點,它們相對于某個中心點或某條直線對稱,即以這個中心點為對稱中心或以這條直線為對稱軸,兩個點的位置互相鏡像,對稱點在平面幾何中起到重要作用,常常用于解決對稱性相關的問題.圓圖形本身屬于對稱圖形,因此,教師可以在課堂中為學生滲透豐富的對稱知識,幫助學生學習轉(zhuǎn)化特殊點、特殊線段的位置,從而求解最值[2].

對稱方法在圓中求最值可以幫助學生降低計算的難度,由于圓具有旋轉(zhuǎn)對稱性,其任意一點的性質(zhì)都與其對稱點相同,因此,在使用對稱方法時,只需計算部分圓內(nèi)的點,然后通過對稱性推斷出其它對應點的值,而無需逐個計算所有點.通過利用對稱性,教師可以將問題簡化為只需考慮部分圓內(nèi)的點,從而減少了可能出錯的計算步驟,這樣一來,學生能夠更加準確地求得圓中的最值,避免了由于繁瑣的計算過程導致的誤差累積.此外,通過觀察和利用圓的對稱性,學生還可以更加直觀地理解問題,并通過圖形化表示來幫助自己解決問題,從而更加清晰地把握問題的本質(zhì),更好地求得圓中的最值.教師可以帶領學生探索例題解法,促進學生領悟?qū)ΨQ求最值的奧秘.

例2 如圖2,AB是圓O的直徑,點M在圓O上,且AB=8,∠MAB=20°.N點是弧MB的中點,P是直徑AB上的一個動點,如果MN=1,則△MNP周長的最小值為多少?

圖2 圓中作對稱的示意圖

教師可以在圖形中作出輔助線,如圖2所示.作N關于AB的對稱點N′,連接MN′,NN′,ON′和ON.根據(jù)圖形可以看出,MN′與AB的交點P′即為△PMN周長的最小時的點,并且又因為N是弧AB的中點,此時有學生回答,這一步得出了∠A=∠NOB=∠MON=20°,也就進一步推出了∠MON′=60°,所以根據(jù)等邊三角形的特點,可以推論出周長的最小值為5.

利用作對稱的方法求最值,有利于降低計算過程的復雜性,提高學生的計算效率,減少出錯可能性,增強問題的可視化.同時,這種方法還能夠簡化問題,形成簡單的模型,幫助學生提高解決問題的效率和準確性,讓學生更好地應用數(shù)學原理和工具解決實際問題,培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

3 技巧升格,阿氏圓求最值

阿氏圓是一個由希臘數(shù)學家阿波羅尼烏斯在數(shù)學中引入的概念,它是由三個互相切于一點的圓構成的,這些圓可以是內(nèi)切或外切的,這些圓的切點和切線之間存在一些特定的關系.教師可以在數(shù)學課堂中為學生引入阿氏圓的概念,幫助學生求解隱圓的最值難題.

在初中數(shù)學中,學生通常會在幾何學的學習中接觸到阿氏圓,學生需要學習如何構造阿氏圓、確定它們的性質(zhì)以及探索它們的幾何關系.首先,教師可以帶領學生了解阿氏圓的定義,教師需要讓學生了解阿氏圓是由三個互相切于一點的圓構成的,并且這些圓可以是內(nèi)切或外切的,然后帶著學生探索阿氏圓的性質(zhì),學生可以通過構造阿氏圓,觀察它們的性質(zhì).為了更深入地理解與阿氏圓相關的問題,教師可以帶領學生嘗試解決一些與阿氏圓相關的問題,如給定一些切點和切線的條件,求解阿氏圓的半徑和圓心的坐標等,幫助學生逐漸認識和理解阿氏圓,并掌握與之相關的概念和技巧.

例3如圖3,圓O的半徑為r,點A和點B都在圓O外,點P為圓O上的動點,已知r=k·AO,連接PB與PA,則當PB+k·PA的值最小時,P點的位置如何確定?

圖3 阿氏圓的示意圖

經(jīng)過前期的教學鋪墊,教師可以讓學生分析題意,有學生指出兩條線段的最值問題可以轉(zhuǎn)化成兩點之間的線段來解決,如圖3所示.本題的關鍵在于如何確定待定系數(shù)k與AP乘積的大小.此時,另一位學生指出,可以根據(jù)題目中給出的條件得到關系式PB+k·PA,然后可以將PA表示為PO+OA,其中PO為圓心O到點P的距離,OA為點A到圓心O的距離.因此PB+k·PA=PB+k(PO+OA),PA是圓O上的動點,所以PA的長度是固定的,即PA=2r.將其代入上式得PB+k·PA=PB+k(PO+2r).接下來,需要分析PB和PO之間的關系.由于點B在圓O外,所以PB的長度是固定的,即PB=2r.將其代入上式得PB+k·PA=2r+k(PO+2r).再確定k的值,使得PB+k·PA的值最小,就可以將上式化簡為2r+k(PO+2r)=2r+k·PO+2kr,由題意可以發(fā)現(xiàn),PO是圓心O到點P的距離,而我們知道,圓心O到圓上的任意一點的距離是固定的,即PO=r.將其代入上式得2r+k·r+2k·r=(2+k+2k)·r,然后只需要確定k的值,使得(2+k+2k)·r的值最小.由于r是圓O的半徑,是固定的,所以只需要確定k的值即可,為了使(2+k+2k)·r的值最小,我們需要使k的值盡可能小.由于k是待定系數(shù),可以取任意實數(shù),所以我們可以取k=0這樣,(2+k+2k)·r的值就達到了最小值.因此,當k=0時,P點的位置可以確定為圓O上與點A相對的點.

通過阿氏圓求最值的方法,學生可以更好地理解圓的概念,讓圓的概念突破傳統(tǒng)的題目設定的框架,阿氏圓的概念將幾何圖形與代數(shù)式結(jié)合了起來,有利于學生找到兩者中的平衡關系,提升思維品質(zhì),從而更好地求解圓中最值問題[3].

綜上所述,學生學習圓的最值問題具有重要性和意義,圓的最值問題涉及如何通過數(shù)學方法確定圓的最大值或最小值,如何通過建立數(shù)學模型、推理和計算,找到最優(yōu)解.這種思維方式可以培養(yǎng)學生的邏輯思維、數(shù)學思維和問題解決的能力.學生掌握了圓的最值問題,不僅可以培養(yǎng)分析和解決問題的能力,還能夠發(fā)展數(shù)學建模和抽象推廣的能力,為學生的學習和未來的發(fā)展打下堅實的數(shù)學基礎.