張喬妹

解三角形是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)必考的知識(shí).通過(guò)對(duì)近幾年高考試題的分析，可發(fā)現(xiàn)解三角形問(wèn)題主要有：三角形的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、三角形的面積問(wèn)題以及三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，且不同題目的考查形式和考查知識(shí)點(diǎn)均有所不同，同學(xué)們應(yīng)注意區(qū)分與鑒別.本文結(jié)合例題，對(duì)這三類解三角形問(wèn)題的特點(diǎn)和解法進(jìn)行介紹，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助.

一、三角形的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題

解三角形是指已知三角形的某些邊、角，求其他邊、角.三角形的解有一個(gè)、二個(gè)或者無(wú)數(shù)個(gè).在解答三角形的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)，先要仔細(xì)審題，明確哪些邊、角是已知的，哪些是未知的；然后靈活運(yùn)用正余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義來(lái)解三角形.一般地，若已知的角較多，則運(yùn)用正弦定理來(lái)建立關(guān)系式；若已知的邊較多，則運(yùn)用余弦定理進(jìn)行求解；若三角形為直角三角形，可直接運(yùn)用勾股定理和三角函數(shù)的定義解題.

例1.根據(jù)下列條件判斷三角形的解的情況，正確的個(gè)數(shù)是（? ? ?）.

[①] [a=8，b=16， A=30°]，該三角形有2個(gè)解

[②] [b=18，c=20，B=60°]，該三角形有1個(gè)解

[③] [a=15，b=2， A=90°]，該三角形無(wú)解

[④] [a=40，b=30， A=120°]，該三角形有1個(gè)解

[A.1][B.2][C.3][D.4]

而[B∈0，π]，所以[B]只有[1]個(gè)解，

故三角形只有[1]個(gè)解，所以①錯(cuò)誤；

因?yàn)閇bB=60°]，則[C]有[2]個(gè)解，

故三角形有[2]個(gè)解，所以②錯(cuò)誤；

故三角形只有[1]個(gè)解，所以④正確；

綜上可知，本題的正確答案為[A]項(xiàng).

①②③④中都給出了三角形的兩邊長(zhǎng)和其中一個(gè)角的度數(shù)，只需根據(jù)正弦定理建立關(guān)系式，再結(jié)合正弦函數(shù)的值域和三角形內(nèi)角的取值范圍，判斷角的可能取值，即可確定三角形的解的個(gè)數(shù).

二、三角形的面積問(wèn)題

解：由余弦定理可得[b2=a2+c2-2accosB]，

因?yàn)閇asinA-sinC=bsinB-csinC]，

由正弦定理可得[a2-ac=b2-c2]，

可得[a2+c2-b2=ac]，

由余弦定理可得[b2=a2+c2-2accosB=a+c2-2ac-2accosB]，

則[16=64-3ac]，解得[ac=16]，

三、三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題

哪些是要求的；再根據(jù)正弦定理、余弦定理列式，通過(guò)計(jì)算，求得邊長(zhǎng).

解答本題，要先在銳角△ABC中，根據(jù)正弦定理求得AC的長(zhǎng)以及cos C；然后在△ACD中，根據(jù)余弦定理求得AD的長(zhǎng)和cos∠DAC，即可在Rt△AFE中，根據(jù)勾股定理求得AF的長(zhǎng).

解答三角形問(wèn)題，要注意：（1）要靈活運(yùn)用正余弦定理、勾股定理進(jìn)行邊角互化；（2）挖掘有關(guān)三角形的邊、角的隱含條件；（3）選用合適的公式、定理進(jìn)行求解；（4）學(xué)會(huì)借助圖形來(lái)輔助解題.