史淑敏

不等式問題有很多種，常見的有線性規(guī)劃問題、一元二次不等式問題、抽象函數(shù)不等式問題、證明不等式問題等.每種不等式問題的特點、命題形式、解法均有所不同.下面結(jié)合實例進(jìn)行探討.

一、線性規(guī)劃問題

線性規(guī)劃問題往往會給出一組二元一次不等式，要求在線性約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.解答這類問題，要先將不等式所對應(yīng)的二元一次方程看作一條直線，根據(jù)二元一次不等式組畫出可行域；然后挖掘目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將其看作直線的斜率、截距、距離等；再在可行域內(nèi)尋找目標(biāo)函數(shù)取得最值時的點、線段，從而求得最值.

解：不等式組表示的可行域如圖1中陰影部分所示．

解答線性規(guī)劃問題，需在平面直角坐標(biāo)系中，畫出不等式所對應(yīng)的方程所表示的直線；然后確定不等式所表示的平面區(qū)域在直線的哪一側(cè)，畫出可行域.值得注意的是，若不等式中無等號，則直線應(yīng)畫成虛線；有等號，則直線應(yīng)畫成實線.

將三個方程[x-y+1=0]，[x-2y=0]，[x+2y-2=0]，兩

二、一元二次不等式問題

一元二次不等式問題常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).此類問題側(cè)重于考查函數(shù)、集合、不等式的性質(zhì).解答一元二次不等式問題，需首先根據(jù)一元二次不等式ax2+bx+c>（<）0，建立方程ax2+bx+c=0；然后利用求根公式，或通過因式分解求得方程ax2+bx+c=0的根；再畫出一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，根據(jù)△與0的關(guān)系，圖象上的點與x軸的位置關(guān)系，確定不等式的解集.

解：畫出[y=xx+4]的圖象，如圖3所示，可知[A=x-4

∵[x<0]，

∴[A?B=-4，-3]，∴正確答案為[B]項.

先畫出[y=xx+4]的圖象，即可確定[x]軸下方的圖象上的點的集合，即為A的解集；然后根據(jù)基本不等式，求得y的取值范圍，即可求得集合B.

例4.若不等式[x2-5x+6<0]的解集滿足關(guān)于[x]的不等式[2x2-9x+a<0]，則[a]的取值范圍為_____.

解：解一元二次不等式[x2-5x+6<0]得[2

即不等式的解集為[2，3]，

令[fx=2x2-9x+a]，

∵不等式[2x2-9x+a<0]的解集滿足[2

解不等式組可得[a≤9]，即[a]的取值范圍為[-∞，9].

首先求得一元二次不等式[x2-5x+6<0]的解集；然后根據(jù)“不等式[2x2-9x+a<0]的解集滿足[2

三、抽象函數(shù)不等式問題

抽象函數(shù)不等式問題的難度一般較大，由于問題中沒有給出具體的解析式，所以往往需重點研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的對稱性、周期性、奇偶性將不等式兩側(cè)式子的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，根據(jù)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性來解不等式.

[A.-2，0?2，+∞] [B.-3，-1?0，1]

[C.-2，0?2，+∞] [D.-2，0?0，2]

解：∵定義在[R]上的奇函數(shù)[fx]在[-∞，0]上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)[fx]在[0，+∞]上單調(diào)遞減，

∵[f2=0]，∴[f-2=0]， [f0=0]，

當(dāng)[x∈-∞，-2?0，2]時， [fx>0]，

當(dāng)[x∈-2，0?2，+∞]時， [fx<0]，

∴正確答案為[D]項.

解答本題，要先根據(jù)函數(shù)的奇偶性，判斷出當(dāng)[-∞，0]和[0，+∞]時函數(shù)的單調(diào)性，以及在各個區(qū)間上函數(shù)值的符號；然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，去掉函數(shù)在x>0、x<0時的符號“f ”，得到關(guān)于[x]的不等式，從而求得不等式的解集.

可見，解答不等式問題需注意：（1）將問題與函數(shù)、方程關(guān)聯(lián)起來，將問題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化；（2）靈活運用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想來輔助解題；（3）熟練運用解一元一次不等式、一元二次不等式的技巧.