吳飛鵬

立體幾何問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的抽象思維和空間想象能力有較高的要求.在解答立體幾何問(wèn)題時(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想等能有效地提升解題的效率.下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行探討.

一、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是指采用某些手段，如換元、構(gòu)造函數(shù)、添加輔助線等手段，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化，以從另一個(gè)角度尋找到解題的思路.在解答立體幾何問(wèn)題受阻時(shí)，可運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將問(wèn)題與向量的運(yùn)算法則、函數(shù)的單調(diào)性、方程的根等關(guān)聯(lián)起來(lái)，通過(guò)添加輔助線，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)、向量、方程等問(wèn)題來(lái)求解.這樣就能另辟蹊徑，快速獲得問(wèn)題的答案.

例1.如圖1所示，四棱錐[A-BCDE]滿足棱長(zhǎng)[AB=CD=2BE=22]，[AC=BC=2]，[BE]∥[CD]，側(cè)棱[DA]的中點(diǎn)是[F]，且[CD⊥]平面[ABC].

（Ⅰ）證明：[EF]∥平面[ABC]；

（Ⅱ）證明：平面[ACD⊥]平面[BCDE].

（Ⅲ）求直線[BD]與平面[AED]的夾角[θ]的正弦值.

解：（Ⅰ）設(shè)[M]是側(cè)棱[AC]的中點(diǎn)，連接[FM，BM]，

因?yàn)閭?cè)棱[DA]的中點(diǎn)是[F]，側(cè)棱[AC]的中點(diǎn)是[M]，

所以△[ACD]的中位線是[MF]，

從而可知四邊形[EFMB]是平行四邊形，因此[EF]∥[BM].

所以[AC2+BC2=AB2]，因此[AC⊥BC].

而[CD⊥]平面[ABC]，[AC?]平面[ABC]，則[CD⊥AC].

而[BC?CD=C]，則[AC⊥]平面[BCDE].

又[AC?]平面[ACD]，故平面[ACD⊥]平面[BCDE].

（Ⅲ）因?yàn)閇CD⊥]平面[ABC]，所以[CD⊥CA]，[CD⊥CB].

所以[AC2+BC2=AB2]，所以[AC⊥BC].

因此三條直線[CA，CB，CD]兩兩互相垂直，分別以[CB，CA，CD]為[x，y，z]軸，建立空間直角坐標(biāo)系[C-xyz]，如圖2.

我們先根據(jù)線面平行的判定定理證明[EF]∥平面[ABC]，并根據(jù)面面垂直的判定定理證明平面[ACD⊥]平面[BCDE]，即可得到三條互相垂直的直線[CA，CB，CD]，據(jù)此建立空間直角坐標(biāo)系，求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題；然后通過(guò)空間坐標(biāo)運(yùn)算，求得[BD]的方向向量以及平面[AED]的法向量，即可根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得夾角.運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解答立體幾何問(wèn)題，需尋求問(wèn)題與其他知識(shí)之間的聯(lián)系，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化.

二、分類(lèi)討論思想

有些立體幾何問(wèn)題比較復(fù)雜，需要分多種情況進(jìn)行討論，此時(shí)可靈活運(yùn)用分類(lèi)討論思想，將問(wèn)題中點(diǎn)的位置、直線與平面所成的夾角、圖形的形狀等視為討論對(duì)象，按照一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)討論.在運(yùn)用分類(lèi)討論思想解題時(shí)，要細(xì)致地劃分并討論每一個(gè)類(lèi)別，不重復(fù)、不遺漏任何情況，最后還需注意對(duì)各種討論結(jié)果進(jìn)行匯總.

例2.如圖3所示，已知正方體[ABCD-A1B1C1D1]的棱長(zhǎng)為[1]，側(cè)面[AA1D1D]的中心是點(diǎn)[F]，棱[C1D1，BB1]的中點(diǎn)分別為[E，G]，求空間四邊形[BGEF]在該正方體各面上的最大射影面積．

解：分下列三種情況進(jìn)行討論、分析.

由于正方體具有對(duì)稱(chēng)性，所以只需考慮空間四邊形[BGEF]在正方體的三個(gè)相鄰面上的投影面積，運(yùn)用分類(lèi)討論思想，分別討論下底面、右側(cè)面、前面上的射影面積，即可獲解.

三、數(shù)形結(jié)合思想

解答立體幾何問(wèn)題通常需用到數(shù)形結(jié)合思想.在解答立體幾何問(wèn)題時(shí)，可先畫(huà)出相應(yīng)的幾何圖形；然后把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)分析，根據(jù)圖形的性質(zhì)建立數(shù)量關(guān)系，或者把數(shù)量關(guān)系以圖形之間的位置關(guān)系呈現(xiàn)出來(lái)，這樣可使抽象問(wèn)題具體化，能快速找到解題的思路.

例3.如圖7，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，求點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值.

解：如圖8，建立空間直角坐標(biāo)系[D-xyz]，

則[D1（0，0，2），E（1，2，0）]，[C（0，2，0），C1（0，2，2）]，

從正方體的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，很容易建立空間直角坐標(biāo)系，求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量運(yùn)算問(wèn)題，從而通過(guò)數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，快速求得最小值.

總之，在解答立體幾何問(wèn)題時(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，能有效地提升解題的效率.但是同學(xué)們需熟練掌握這些數(shù)學(xué)思想的特點(diǎn)、適用情形、用法以及注意事項(xiàng)，這樣才能在解題時(shí)信手拈來(lái).