楊 祺,金惠吉,陳海濤,楊厚發(fā),施夢麗,鄭永剛

(1.云南師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,云南 昆明 650092;2.昆明市第八中學(xué),云南 昆明 650032)

當(dāng)1束光照射到金屬或半導(dǎo)體上時(shí),由于光與載流子之間的相互作用,金屬或半導(dǎo)體的電導(dǎo)率會發(fā)生顯著變化,包括光電效應(yīng)(光子與金屬中的束縛電子相互作用,導(dǎo)致電子脫離金屬晶體,然后躍遷到自由態(tài)電子)、光導(dǎo)效應(yīng)、光伏效應(yīng)等[1]. 1887年赫茲發(fā)現(xiàn)光電效應(yīng),1905年愛因斯坦提出的光量子假說成功解釋了光電效應(yīng)[2]. 在光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中,利用光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)研究儀可以得到光電管中的光電效應(yīng)伏安特性曲線. 光電效應(yīng)伏安特性曲線顯示隨著極板加速電壓的增大,光電流趨于飽和[3]. 本文對電子的運(yùn)動過程進(jìn)行理論分析,數(shù)值計(jì)算光電流的伏安特性曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到結(jié)果較為符合.

1 光電相互作用和光電流

光和電子相互作用的哈密頓量為[4-6]

(1)

其中,Z為原子序數(shù),Aij為不同電子之間的相互作用系數(shù),E為外電場強(qiáng)度,D為量子電偶極矩算符.在光子的作用下,電子從束縛態(tài)|i〉躍遷到自由態(tài)|k〉,在脫離束縛影響后,對外形成光電流.電子在脫離金屬受光面時(shí),躍遷到自由態(tài)的概率時(shí)間變化率的方向分布為[4,7]

(2)

(3)

其中,

當(dāng)νR→0時(shí),光電子的分布函數(shù)穩(wěn)定后(t→∞)趨于常量;對于νR≠0,電子空間分布概率隨時(shí)間變化存在振蕩行為[4].

由于電子需要脫離表面勢壘的束縛,根據(jù)費(fèi)米統(tǒng)計(jì)規(guī)律,可以得到出射電流密度為[8]

(4)

2 光電流的計(jì)算

2.1 電子陽極分布函數(shù)

電子脫離陰極以后,假設(shè)電子的運(yùn)動分成3部分:電子受光子作用,脫離金屬束縛;電子在真空中受加速電場的作用,到達(dá)光電管的接收極板上;到達(dá)極板上的電子透射進(jìn)入電極內(nèi)部,與接收材料的導(dǎo)帶電子發(fā)生相互作用形成電流. 當(dāng)電子從束縛態(tài)變成自由態(tài)時(shí)(即脫離電極后電子在真空中的運(yùn)動,對應(yīng)圖1中的AK段的運(yùn)動),其電荷密度和電流密度可以按照出現(xiàn)的概率來定義;由于脫離束縛態(tài)的自由電子在真空中的運(yùn)動可以用粒子軌跡來描述,因此采用非量子的近似方法描述電子的運(yùn)動情況. 當(dāng)電子到達(dá)接收極板后,由于受到極板的原子和電子的影響,近似等效為有限勢壘,電荷按照一定比例透射入材料.

圖1 光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)儀器電路(AK段為光電管,接受光的照射,其余為外電路,為電子提供加速電壓)

電子因?yàn)楣怆娦?yīng)的影響而脫離極板K后,在加速電場的作用下沿拋物線運(yùn)動,初始時(shí)的速度v0由愛因斯坦光電效應(yīng)方程決定[2]:

(5)

其中,WI一般與溫度、材料的費(fèi)米能級相關(guān),νL為光頻率,me為電子的靜止質(zhì)量.脫離金屬板后,電子在光電管的板A和板B間的真空中運(yùn)動,初速度和兩板法線方向(定義為z軸方向)的夾角為θ(稱為方向角),則按照電子運(yùn)動方程有

(6)

r=v0tsinθ,

(7)

其中,r為接收板法線垂直方向上的運(yùn)動距離,圖2(a)所示的BC段;L為光電管發(fā)射板和接收板之間的間距,如圖2(a)所示的AB段.聯(lián)立式(6)和式(7)消去t,得到

(8)

(a) (b)

(9)

(10)

當(dāng)k<0時(shí),由于cos2θ+2k>0,所以

(11)

(12)

(13)

(14)

其中

(15)

由式(11)可以得到,當(dāng)初始速度v0和z軸的方向角θ變化時(shí),導(dǎo)致接收屏上的電子分布改變.自由態(tài)光電子在光電管中被加速電場加速的運(yùn)動軌跡如圖2所示.假定受光板A與接收板B之間為真空,在加速電場的作用下,電子的軌跡為拋物線.圖2(a)和(c)為電子沿方向角θ的運(yùn)動軌跡,由于初始方向?yàn)檠乩@z軸的任意方向φ(方位角),因此電子的運(yùn)動軌跡為旋轉(zhuǎn)拋物面.圖2(b)和(d)為從原點(diǎn)處逃逸的電子在加速電場的作用下,方向角為θ和θ+dθ的運(yùn)動軌跡及軌跡沿不同方向角形成的旋轉(zhuǎn)拋物面.因?yàn)殡妶龅挠绊?加速后的電子改變了運(yùn)動狀態(tài)分布,在接收板B上的分布函數(shù)與自由態(tài)時(shí)的分布有所不同.

從光電管受光板A[坐標(biāo)為(x′,y′,0)]逃逸出的電子沿空間分布在立體角dΩ的概率為

(16)

(17)

由于A板與B板平行,所以取相同的空間方位角,利用極坐標(biāo)面積元變換得到

dP=w(r,φ)rdrdφ=w(x-x′,y-y′)dxdy,

(18)

(19)

至此,通過經(jīng)典理論給出了電子沿空間運(yùn)動的概率分布函數(shù),通過計(jì)算機(jī)繪制得到分布函數(shù)如圖3所示.

(a)L=10 mm,k=0.5

2.2 陽極電流

電子從板A脫離形成自由態(tài)電子的概率分布滿足式(2),因此在板A上點(diǎn)(x′,y′,0)附近單位時(shí)間內(nèi)逃逸的電子數(shù)正比于光電子從束縛態(tài)到自由態(tài)躍遷的概率

(20)

(21)

(22)

所以有

(23)

(24)

所以接收板B點(diǎn)(x,y,L)處的電流密度矢量為

(25)

其中Σ′為對板A受光面的積分域.

(26)

當(dāng)w→δ(x-x′,y-y′),得到Ic=Imax=eIτM,所以有

(27)

下面利用式(27)數(shù)值計(jì)算光電流,其中材料參量M和τ、光電管大小參量未知.可以利用優(yōu)化算法,選擇合適的參量擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

3 數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合

圖4所示的實(shí)驗(yàn)儀器用于測量普朗克常量[10].接通電源,光電管接收到不同光闌濾過的光,在光電管上形成電流,從而測量得到光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)的伏安特性曲線.由于入射光強(qiáng)和光闌孔徑的平方成正比,因此可以利用該實(shí)驗(yàn)裝置測量光電伏安特性曲線在不同光強(qiáng)下的性質(zhì).也可以用來得到材料的功函數(shù)[11],這樣材料的功函數(shù)可以直接代入式(27).

圖4 LB-PH3A光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)儀

表1 伏安特性曲線的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

(28)

利用Matlab遺傳算法工具箱,調(diào)節(jié)未知參量Imax,L和積分區(qū)域面積(A1,A2),使d0最小[13].如圖5所示,調(diào)整模型參量可得到較好的擬合數(shù)據(jù). 3次擬合R2=0.989 6,0.990 5,0.990 3. 這里用到了儀器材料的功函數(shù),對于不同的材料只需選擇合適的功函數(shù)就可很好地?cái)M合截止電壓,因此本文的工作具有普遍性. 由于積分步長無法自適應(yīng),大于16 V的數(shù)值計(jì)算結(jié)果,需要改變數(shù)值算法來完成.

(a)波長557 nm、光闌孔徑2 mm

4 結(jié)束語

本文考慮了光電效應(yīng)的光電流產(chǎn)生過程,通過計(jì)算電子在陽極的分布函數(shù),得到了光電流的解析表達(dá)式. 利用優(yōu)化算法(遺傳算法)調(diào)節(jié)光電流解析表達(dá)式中的未知參量獲得光電流值,并將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與光電流伏安特性曲線實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,結(jié)果表明:數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果一致. 本文為數(shù)值計(jì)算光電效應(yīng)伏安特性曲線提供了理論方案,也為開發(fā)相關(guān)實(shí)驗(yàn)儀器和教學(xué)儀器提供了計(jì)算模型. 光電效應(yīng)伏安特性曲線和溫度之間的關(guān)系以及材料參量的具體計(jì)算方法,將在后續(xù)的工作中進(jìn)行研究.