王小鋒

圓錐曲線最值問題側重于考查圓錐曲線的定義、幾何性質、方程，以及直線與圓錐曲線的位置關系.圓錐曲線問題的命題形式較多，常見的有求某條線段的最值、圖形面積的最值、參數(shù)的最值、離心率的最值、點到曲線的最小距離等.下面結合幾道例題，來談一談解答此類問題的“妙招”.

一、利用幾何圖形的性質

圓錐曲線中的圓、直線、橢圓、雙曲線、拋物線均為平面幾何圖形.在解答圓錐曲線最值問題時，可根據(jù)題意畫出幾何圖形，并添加合適的輔助線，將問題看作平面幾何問題，利用平面幾何圖形的性質，如圓錐曲線的幾何性質、等腰三角形的性質、平行四邊形的性質，以及正余弦定理、勾股定理等來解題.

解：設P（x1，y1），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），

由橢圓的焦點弦公式得，|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1，

在△PF1F2中，由余弦定理可得：

解：設橢圓的右焦點為E，連接BE，AE，如圖所示.

由橢圓的定義得：AF+AE=BF+BE=2a，

貝C△FAB=AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）

=4a+AB-AE-BE.

在△AEB中，AE+BE≥AB，

所以AB-AE-BE≤0，當AB過點E時取等號.

所以AB+BF+AF=4a+AB-BE≤4a，

即直線x=m過橢圓的右焦點E時，△FAB的周長最大.

即AB=3.

因此，當△FAB的周長最大時，S△FAB=3.

我們首先根據(jù)題意作圖，并添加合適的輔助線，即可根據(jù)橢圓的定義建立線段AF、AE、BF、BE之間的幾何關系；然后根據(jù)三角形的性質：兩邊之和大

于第三邊，建立不等關系式，從而確定△FAB的周長最大時的情形：直線x=m過橢圓的右焦點E，進而求得問題的答案.

二、利用三角函數(shù)的有界性

在解答圓錐曲線問題時，可以將曲線上的動點用圓錐曲線的參數(shù)方程表示出來，或將問題中的角用參數(shù)表示出來，這樣便將圓錐曲線最值問題轉化為三角函數(shù)最值問題.再利用三角函數(shù)的基本公式來化簡函數(shù)式，即可根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的有界性解題.

在用角的三角函數(shù)表示出目標式后，需根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式、兩角和公式等將目標式化為余弦函數(shù)式，即可根據(jù)余弦函數(shù)的有界性求得最值.一般地，在用三角函數(shù)的有界性解答圓錐曲線最值問題時，通?？衫萌呛瘮?shù)的單調性和圖象來確定函數(shù)的最值，以確定三角函數(shù)的有界性.

三、構造函數(shù)

在求得目標式后，我們可以將其中一個變量視為自變量，將目標式看作函數(shù)式，即可將圓錐曲線最值問題轉化為函數(shù)最值問題.然后根據(jù)函數(shù)單調性的定義，或對函數(shù)求導，根據(jù)導函數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系判斷出函數(shù)的單調性，直接根據(jù)函數(shù)的單調性求最值.

解：設過原點且傾斜角為θ的直線為y=xtanθ，

可見，解答圓錐曲線最值問題，可以從幾何和代數(shù)兩個角度入手，分別運用平面幾何圖形的性質、三角函數(shù)的有界性、函數(shù)的單調性來解題.同學們要學會靈活運用數(shù)形結合思想和轉化思路來輔助解題，這樣才能有效地提升解題的效率.