錢桂紅

二元最值問題中通常含有兩個(gè)變量，我們無法直接運(yùn)用基本初等函數(shù)的單調(diào)性求得最值，需靈活運(yùn)用基本不等式、柯西不等式、判別式法、構(gòu)造法等，才能順利解題.下面結(jié)合一道例題，探討一下求解二元最值問題常用的幾種方法.

該目標(biāo)式較為復(fù)雜，含有一次式、常數(shù)項(xiàng)、二次項(xiàng)，且涉及了兩個(gè)變量.要求該式的最值，需靈活運(yùn)用基本不等式、柯西不等式，根據(jù)一元二次方程的根的判別式進(jìn)行分析.

一、基本不等式法

解法1.不妨設(shè)y=kx，

二、利用柯西不等式

三、判別式法

運(yùn)用判別式法解答二元二次最值問題，需先引入?yún)?shù)，構(gòu)造出二元二次方程；然后以其中一個(gè)變量為主元，根據(jù)一元二次方程有解，建立不等式Δ≥0，通過解不等式，求得參數(shù)的取值范圍，即可確定目標(biāo)式的最值.

則方程的根的判別式Δ=（y-m）2-4·2·（y2-my+3）≥0，

整理得7y2-6my+24-m2≤0.

設(shè)f（y）=7y2-6my+24-m，要使函數(shù)的值小于或等于0，需使函數(shù)的圖象都與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即Δ=36m2-4·7（24-m2）≥0，

我們將目標(biāo)式看作關(guān)于x的函數(shù)式，此時(shí)y，m為系數(shù)，根據(jù)一元二次方程2x2+x（y-m）+y2-my+3=0有解，得出判別式Δ≥0，即可得到關(guān)于y的不等式. 此時(shí)還需再次構(gòu)造函數(shù)f（y）= 7y2-6my+24-m，根據(jù)其函數(shù)的圖象判定Δ≥0，從而求得m的取值范圍.

可見，解答二元最值問題，需靈活運(yùn)用基本不等式、柯西不等式等工具，同時(shí)要學(xué)會(huì)將問題與函數(shù)、方程關(guān)聯(lián)起來，根據(jù)一元二次方程的根的判別式、函數(shù)的性質(zhì)來建立關(guān)系式.