史珍亮

求數(shù)列的前n項和問題具有較強的綜合性，此類問題側(cè)重于考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)、前n項和公式.求數(shù)列前n項和的技巧很多，如裂項相消、錯位相減、分組求和、并項求和等.下面結(jié)合實例談一談下列三種技巧.

一、裂項相消

例1.設數(shù)列{an}，其前n項和Sn=-3n2，{bn}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，b1b2b3=512，a1+b1=a3+b3.

（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

二、錯位相減

錯位相減法是求數(shù)列前n項和常用的方法之一.該方法主要運用于求形如{an·bn}的數(shù)列的前n項和，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列.先將數(shù)列{an·bn}的每一項乘以數(shù)列{bn}的公比；然后將其與數(shù)列{an·bn}的前n項和錯位相減，即可將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和問題.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）設數(shù)列{bn}滿足3bn+（n-4）an=0（n∈N*），記{bn}的前n項和為Tn，求Tn.

例3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an-2（n∈N*），數(shù)列{bn}的首項b1=1，點P（bn，bn+1）滿足2+bn=bn+1.

（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；

（2）記Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，求Tn.

解：（1）an=2n，bn=2n-1；（過程略）

（2）Tn=a1b1+a2b2+…+anbn

=1×2+3×22+5×23+…+（2n-3）2n-1+（2n-1）2n，2Tn=1×22+3×23+5×24+…+（2n-3）2n+（2n-1）2n+1，

=（3-2n）·2n+1-6.

故Tn=（2n-3）·2n+1+6.

由問題（1）可知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，則{anbn}的各項由等差、等比數(shù)列的對應項的積構(gòu)成，于是采用錯位相減法，首先列出Tn的表達式；然后列出2Tn的表達式；再將兩式作差，通過錯位相減求得-Tn.

三、分組求和

若問題中出現(xiàn)形如an=bn±cn的數(shù)列，其中{bn}、{cn}為等差、等比或常數(shù)列，便可以采用分組求和法，將數(shù)列中的各項進行拆分，再重新組合成幾組，使得每一組為等差、等比或常數(shù)列，即可根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項和公式進行求和.

例4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，a2=2，且an+2=3Sn-3Sn+1+3，n∈N*.

（1）求證：an+2=3an；

（2）求Sn.

解：（1）過程略；

求出a2n-1=3n-1，a2n=2×3n-1后，可以發(fā)現(xiàn)在n取奇數(shù)、偶數(shù)時，對應的Sn不同，需采用分組求和法，將數(shù)列中的項分成兩組，一組由奇數(shù)項構(gòu)成，一組由偶數(shù)項構(gòu)成，分別根據(jù)等比數(shù)列的前n項公式進行求和，得S2n、S2n-1，最后用分段式表示Sn.

裂項相消、錯位相減、分組求和的適用情形以及用法均不相同，同學們在解題時要重點研究數(shù)列的通項公式，對其進行合理的變形，可將其拆分、裂項、乘以公比等，以便將復雜的數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為簡單的計算問題，這樣便能化難為易、化繁為簡.