陳榮海

圓錐曲線問題的顯著特點是解題過程中的運算量較大.如何簡化運算是同學(xué)們需重點思考的問題.事實上，對于一些與直線有關(guān)的圓錐曲線問題，可運用直線的參數(shù)方程來簡化運算.

若直線l上任意兩點AB所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則A（x0+t1cosα，y0+t1sinα）、B（x0+t2cosα，y0+t2sinα）.由直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義可知，|t1|=|P0A|，|t2|=|P0B|，顯然t1、t2、|t1|、|t2|的大小均由點P0與點A，B的相對位置決定，那么|P0A|±|P0B|=|t1|±|t2|，

下面結(jié)合實例，談一談如何運用直線的參數(shù)方程解答與直線有關(guān)的圓錐曲線問題.

解：（1）設(shè)直線AP的傾斜角為α，

所以直線l的斜率為-1.

（2）設(shè)α為銳角，由于直線AP，AQ的斜率之和為0，故直線AP，AQ的傾斜角互補，

所以2α+∠PAQ=π，即∠PAQ=π-2α.

我們先根據(jù)題意設(shè)出直線AP、AQ的參數(shù)方程；然后將其代入雙曲線的方程中，構(gòu)造出關(guān)于t的一元二次方程，即可將AP、AQ對應(yīng)的參數(shù)t1、t2看作方程的兩個根，根據(jù)韋達定理建立關(guān)于兩根t1、t2的關(guān)系式；再根據(jù)t1、t2的關(guān)系，利用直線的斜率公式、三角形的面積公式進行求解即可.運用直線的方程來解答圓錐曲線問題，能有效地減少運算量，降低解題的難度.

（1）求橢圓E的方程；

（2）如圖2，過點P（-2，1）作斜率為k的直線，與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N.若|MN|=2，求k的值.

化簡得-4sinαcosα=sin2α，且sinα≠0，

故tanα=-4.

所以k的值為-4.

先設(shè)出直線BC的參數(shù)方程，將其與橢圓的方程聯(lián)立；然后構(gòu)造出一元二次方程，并將AP、AQ所對應(yīng)的參數(shù)t1、t2看作方程的兩個根，即可根據(jù)韋達定理建立關(guān)于t1、t2的關(guān)系式；再用t1、t2表示出|MN|，便能將問題轉(zhuǎn)化，快速獲得問題的答案.

（2）設(shè)α為直線PN的傾斜角，

=1，

故N，H，A三點共線，所以直線HN過定點A.

我們利用直線的參數(shù)方程，根據(jù)韋達定理得到t1、t2的關(guān)系，即可將M、N、T三點的坐標用t1、t2以及三角函數(shù)表示出來.再根據(jù)向量的共線定理判定N、H、A三點共線，就能確定點A與直線HN的位置關(guān)系.

一般來說，對于一些動直線過定點問題、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題、與直線有關(guān)的圖形面積問題、圓錐曲線中的距離問題，巧用直線的參數(shù)方程來求解，不僅能大大地減少運算量，還能化繁為簡，達到事半功倍的效果.