初 穎,吳玉琪,高艷超

(長春理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 長春 130022)

0 引言

考慮了如下四階雙曲型方程:

(1)

其中:Ω?n(n≥1)是具光滑邊界?Ω的有界區(qū)域;

含有對數(shù)非線性項(xiàng)的雙曲型方程在物理學(xué)的許多分支,如核物理學(xué)、光學(xué)和地球物理學(xué)中有很多應(yīng)用[1-4].它也被應(yīng)用于量子場論,這種非線性項(xiàng)自然出現(xiàn)在宇宙膨脹和超對稱場論中.T.Cazenave和A.Haraux[5]研究了方程utt-Δu=uln|u|k在3中的柯西問題解的存在唯一性;W.Lian等[6]利用位勢井結(jié)合對數(shù)型Sobolev不等式,推導(dǎo)出該方程在有限維情況下解的無限時間爆破;H.Di等[7]研究了具有非線性對數(shù)源項(xiàng)的半線性波動方程utt-Δu-Δut=ulog|u|,利用位勢井理論和Galerkin方法討論了整體弱解的存在唯一性,并且得到了弱解在有限時刻的爆破結(jié)果,給出了弱解爆破時間的上界、下界.受上述文獻(xiàn)啟發(fā),本文討論問題(1)弱解的局部存在性和解在無窮遠(yuǎn)處的爆破性.

1 預(yù)備知識

為了獲得本文主要結(jié)果,首先引入一些記號、基本定義和重要引理.

(2)

(3)

通過直接計(jì)算易知

(4)

定義Nehari流形N={u∈V0|I(u)=0},其中V0={(u,ut)|u∈H{0},ut∈L2(Ω){0}}.

定義集合

W1={(u,ut)∈V0|E(t)

井深

(5)

本文考慮問題(1)的弱解,定義如下.

定義1令T>0,稱u(x,t)是問題(1)在Ω×[0,T)上的弱解,如果

u∈C([0,T],H)∩C1([0,T],L2(Ω))∩C2([0,T],H-2),

且對任意φ∈H,有

引理1[8-9]假設(shè)Ω是n中的有界光滑區(qū)域,則對任意u∈H和任意a>0,有

其中λ1>0是-Δ在Ω上滿足齊次Dirichlet邊界條件的第一特征值.

引理2設(shè)u∈H0},有:

此引理的證明見文獻(xiàn)[10].

引理3假設(shè)(u0,u1)∈W-,(u0,u1)>0,則對于?t>0,有(u,ut)∈W-.

證明利用反證法證明對于?t>0,有(u,ut)∈W-.假設(shè)在t=t0時,(u,ut)?W-,那么有

E(u(t0))>d或I(u(t0))≥0.

由E(u,ut)=E(u0,u1)≤d,可知E(u(t0))>d不成立.另一方面,I(u(t0))>0不可能;如果I(u(t0))=0,由d的定義和式(4),可得

同時

J(u(t0))≥d,

引理4假設(shè)(u0,u1)∈W-,則I(u)<2[J(u)-d].

2 主要結(jié)果及證明

定理1(局部存在性) 假設(shè)u0∈H,u1∈L2(Ω),則存在常數(shù)T>0,使得問題(1)在Ω×[0,T]中存在一個局部弱解u,且滿足u∈C([0,T],H)∩C1([0,T],L2(Ω))∩C2([0,T],H-2).

(6)

(7)

(8)

基于標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程存在性理論[11],方程組(8)在[0,tm)上存在局部解um,其中0

由引理1有

(9)

不失一般性,取C2≥1得

其中C4是不依賴于m和t的常數(shù).這表明

所以逼近解是一致有界的,與m和t無關(guān).由上述不等式容易得到

由上式可知,存在函數(shù)um的收斂子序列{uμ}(仍記為{um}),使得

(10)

由式(10)和Aubin-Lions緊致性定理可知,um→u,在C([0,T];L2(Ω))中強(qiáng)收斂,則

umln|um|→uln|u|,a.e.in(0,T)×Ω,

(11)

通過直接計(jì)算和Sobolev嵌入定理有

(12)

(13)

對于問題(8)第一個等式兩端在(0,t)上積分,對任意的w∈Vm有

(14)

由式(7),(10)和(13),在式(14)中令m→+∞有

(15)

這表明式(15)對于任意的w∈H也成立.式(15)兩端關(guān)于t微分,對于幾乎處處t∈(0,T),w∈H有

因此,u是問題(1)的弱解.

這表明[13]utt∈L2(0,T;H-2(Ω)),由ut∈L2(0,T;L2(Ω))可知ut∈C([0,T],H-2(Ω)),則umt(x,0)→ut(x,0)于H-2(Ω),同時,umt(x,0)=u1m→u1(x)于L2(Ω),因此ut(x,0)=u1(x).

M′(t)=2(u,ut),

(16)

借助于Cauchy-Schwarz不等式有

(17)

由式(4)、(16)和(17)推斷出

由于(u0,u1)∈W-,即E(0)≤d,結(jié)合引理3有(u,ut)∈W-,E(t)≤d,那么,由引理4得

2E(t)-2J(u)+I(u)<2d-2J(u)+2(J(u)-d)=0.

因此M″(t)M(t)-[M′(t)]2>0.設(shè)y(t)=ln|M(t)|,則

(18)

因此y′(t)關(guān)于t是單調(diào)遞增的.結(jié)合這個事實(shí),式(18)在[0,t]上積分得

(19)

3 結(jié)論

本文主要研究了一類具有對數(shù)源項(xiàng)的四階雙曲方程的初邊值問題.利用Galerkin逼近結(jié)合先驗(yàn)估計(jì)和修正的對數(shù)型Sobolev不等式得到了該問題弱解的局部存在性;利用位勢井方法證明了一定條件下該問題弱解無窮遠(yuǎn)處的爆破性.