徐 寶,趙仲達,華志強

(1.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,吉林 四平 136000;2.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043)

0 引言

Lomax分布作為指數(shù)伽瑪分布的混合分布由K.S.Lomax[1]而提出,也稱為第二型Pareto分布,該分布的概率密度函數(shù)以及分布函數(shù)分別為:

(1)

其中λ為尺度參數(shù),θ為形狀參數(shù).易知Lomax的期望為

方差為

1954年,K.S.Lomax[1]首次引進Lomax分布,由于Lomax分布在生物科學(xué)、分析醫(yī)學(xué)和工程科學(xué)等實際生產(chǎn)生活中有著廣泛的應(yīng)用,因此該分布的統(tǒng)計推斷理論被許多統(tǒng)計學(xué)者密切關(guān)注.損失函數(shù)形式的選取在研究統(tǒng)計決策問題的過程中起著非常重要的作用,在很大程度上決定了統(tǒng)計決策以及參數(shù)估計的優(yōu)劣性.姚惠[2]研究了在Linex損失下Lomax分布形狀參數(shù)的Bayes估計;周明元[3]研究了在對稱熵?fù)p失函數(shù)下兩參數(shù) Lomax分布形狀參數(shù)的Bayes估計;葛露娟等[4]研究了在Mlinex損失函數(shù)下Lomax分布的幾種Bayes估計.

本文所考慮的加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)[5]為

(2)

其中δ為待估參數(shù)θ的估計量,可以看出交換二者以及p,q的位置,不影響此損失函數(shù)的形式.當(dāng)p=q時損失函數(shù)(2)具有與絕對損失和平方損失一樣的對稱性[6].

下面將基于此損失函數(shù)來研究Lomax分布形狀參數(shù)的Bayes估計及其性質(zhì).

1 加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)下Lomax分布形狀參數(shù)θ的Bayes估計

在Bayes框架下,基于損失函數(shù)(2)來研究Lomax分布形狀參數(shù)θ的Bayes估計的形式及其性質(zhì).首先推導(dǎo)出任意先驗分布下參數(shù)θ的Bayes估計.

定理1設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)是來自Lomax總體(1)的一個簡單隨機樣本,假設(shè)尺度參數(shù)λ已知的,在加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)下,對任意先驗分布,形狀參數(shù)θ的Bayes估計為

證明設(shè)π(θ|x)為后驗密度,則決策函數(shù)δ的后驗風(fēng)險為

由于后驗風(fēng)險最小的決策函數(shù)是貝葉斯風(fēng)險,用微積分求極小值點的方法,對后驗風(fēng)險R(δ|x)關(guān)于δ求導(dǎo)得

解方程得

由于

下面選取參數(shù)θ的無信息先驗分布即廣義先驗分布π(θ)=1來討論參數(shù)θ的Bayes估計的精確形式.

定理2設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)是來自Lomax總體(1)的一個簡單隨機樣本,設(shè)尺度參數(shù)λ已知,形狀參數(shù)θ的先驗分布為廣義先驗分布π(θ)=1,則在加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)下,參數(shù)θ的Bayes估計為

證明此時參數(shù)θ的后驗密度函數(shù)為

由定理1可知在損失函數(shù)(2)下,形狀參數(shù)θ基于任意先驗分布的Bayes估計為

而

同理可以得到

則

下面考慮當(dāng)先驗分布為Gamma分布時參數(shù)θ的Bayes估計的精確形式.

定理3設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)是來自Lomax總體(1)的一個簡單隨機樣本,設(shè)尺度參數(shù)λ是已知的,形狀參數(shù)θ的先驗分布為Gamma分布Γ(a,b),a>0,b>0,則在加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)下,參數(shù)θ唯一的Bayes估計為

證明參數(shù)θ的先驗密度為π(θ)=Γ-1(a)baθa-1e-bθ,樣本X=(X1,X2,…,Xn)的概率函數(shù)為f(x|θ)=λ-nθne-t(θ+1),后驗密度為

則

同理可得

故在加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)下,參數(shù)θ有唯一的Bayes估計為

下面討論參數(shù)θ的Bayes估計的性質(zhì).行文需要,列出如下引理.

引理1[7]設(shè)統(tǒng)計判決問題的損失函數(shù)為L(θ,δ),參數(shù)θ的先驗分布為π(θ),G為非隨機化決策函數(shù)X～f(x;θ),θ∈Θ,若損失函數(shù)L(θ,δ)為G上的嚴(yán)格凸函數(shù),則該統(tǒng)計判決問題的貝葉斯解幾乎處處唯一.

引理2[8]在給定的貝葉斯決策問題中,若在給定先驗分布π(θ)下,參數(shù)的貝葉斯估計是唯一的,則它是可容許的.

定理4在加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)下,Lomax分布形狀參數(shù)θ的Bayes估計是可容許的.

證明在定理1中已經(jīng)證明了對于δ求二階偏導(dǎo)結(jié)果大于零,即Lomax分布參數(shù)的Bayes估計是關(guān)于δ的嚴(yán)格凸函數(shù),根據(jù)引理1推得該貝葉斯估計具有唯一性.最后由引理2得到Lomax分布參數(shù)θ在加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)下基于Γ(a,b)先驗分布的Bayes估計是容許性的.

2 加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失下Lomax分布形狀參數(shù)θ的多層Bayes估計

在Bayes統(tǒng)計推斷中,經(jīng)常會遇到含有超參數(shù)的先驗分布,當(dāng)不能確定先驗分布中的超參數(shù)時,可以對超參數(shù)再給出一個先驗,第二個先驗稱為超先驗,由先驗和超先驗決定的一個新先驗稱為多層先驗.

上一節(jié)所選取的形狀參數(shù)θ的共軛先驗分布Γ(a,b)中含有超參數(shù)a和b,本節(jié)對參數(shù)a和b再給一個先驗分布,進而討論參數(shù)在多層先驗分布下的Bayes估計即多層Bayes估計.根據(jù)文獻[9]考慮Bayes估計的穩(wěn)健性最終確定00,c是常數(shù)).取超參數(shù)a和b的先驗分布分別為均勻分布U(0,1)和U(0,c)上,其密度函數(shù)分別為

(3)

定理5若Lomax分布形狀參數(shù)的先驗分布為Γ(a,b),超參數(shù)的a和b先驗分布為(3),則在加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)下,參數(shù)的多層Bayes估計為

證明前面給出了超參數(shù)a和b的先驗分布分別為π(a)和π(b),假設(shè)a和b獨立,參數(shù)θ的多層先驗密度為

進而得到參數(shù)θ的后驗密度為

同理得到E(θ-q|x)的精確表達式為

最終得到參數(shù)θ的多層Bayes估計的精確表達式為

3 加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失下Lomax分布形狀參數(shù)θ的E-Bayes估計

從上一節(jié)的討論中可以看出多層Bayes估計的應(yīng)用較為復(fù)雜,其結(jié)果需要通過大量的積分計算才能得到.E-Bayes估計的出現(xiàn)解決了此問題,下面將結(jié)合定義來研究Lomax分布形狀參數(shù)θ的E-Bayes估計.

從定義中可以看出參數(shù)θ的E-Bayes估計

是θ的Bayes估計對超參數(shù)a和b的數(shù)學(xué)期望.

定理6若Lomax分布形狀參數(shù)θ的先驗分布為Γ(a,b),則在加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)下參數(shù)θ的E-Bayes估計為

其中超參數(shù)a,b的先驗分布為π(a)=U(0,1),π(b)=U(0,c).

證明由定理1知,參數(shù)θ在損失函數(shù)(2)下的Bayes估計為

則

從定理5和定理6中可以明顯看出參數(shù)θ的E-Bayes估計的表達式比多層Bayes估計簡單,解決了估計方法的易算性,是對多層Bayes估計的修正.

5 數(shù)值模擬

為驗證本文所研究內(nèi)容的準(zhǔn)確性,下面運用MATLAB進行隨機模擬計算,通過比較在不同情況下所模擬計算出估計的均值、均方誤差以及偏差絕對值的變化情況,從而驗證估計的準(zhǔn)確性與所使用的方法的合理性.

設(shè)定Gamma分布中參數(shù)a=1,b=1;加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)中的p=1,q=1;令尺度參數(shù)λ=1;形狀參數(shù)θ=1,5,10;分別計算當(dāng)樣本容量n為5,25,50,75,100時參數(shù)θ在加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)下的Bayes估計;重復(fù)模擬1 000次,并計算出參數(shù)θ的Bayes估計的均值、均方誤差以及估計的偏差絕對值,分別用GB、MSE、Abs表示.隨機模擬結(jié)果見表1—3.

表1 加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)下參數(shù)的Bayes估計的模擬結(jié)果(θ=1)

表2 加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)下參數(shù)的Bayes估計的模擬結(jié)果(θ=5)

表3 加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)下參數(shù)的Bayes估計的模擬結(jié)果(θ=10)

由表1—3的模擬結(jié)果可以看出:無論參數(shù)θ取何值時,隨著樣本容量的增大,在加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)下,參數(shù)的Bayes估計的均方誤差和偏差絕對值都在減小,估計值逐漸遞增地接近真值.從表中還可以看出當(dāng)參數(shù)θ取值較大時,選取較小容量的樣本空間所產(chǎn)生的估計結(jié)果誤差較大,因此,當(dāng)參數(shù)值較大時,選取較大的樣本容量才能使估計的效果最好.

下面對參數(shù)θ的E-Bayes估計進行隨機模擬.設(shè)定Gamma分布中超參數(shù)a,b的先驗分布為π(a)=U(0,1),π(b)=U(0,c);令c=1,加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)中的p=1,q=1;令尺度參數(shù)λ=1;形狀參數(shù)θ=1,5;分別計算當(dāng)樣本容量n為5,25,50,75,100時參數(shù)θ在加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)下的E-Bayes估計;重復(fù)模擬1 000次,并計算出參數(shù)θ的E-Bayes估計的均值、均方誤差以及估計的偏差絕對值,分別用EB、MSE、Abs表示.隨機模擬結(jié)果見表4—5.

表4 加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)下參數(shù)的E-Bayes估計的模擬結(jié)果(θ=1)

從表4—5的模擬結(jié)果可以看出:選取較大的樣本容量能使估計效果更好,無論參數(shù)取1或5,隨著樣本容量的增大,其E-Bayes估計值都逐漸遞增地接近估計的真值,其均方誤差和偏差絕對值也逐漸減小.因此,在下面模擬實驗中令樣本容量n=100固定不變,研究c值的變化對隨機模擬結(jié)果所產(chǎn)生的影響,為考慮估計結(jié)果的穩(wěn)健性,令c=0.1,0.3,0.5,0.7,0.9.模擬結(jié)果見表6—7.

從表6—7的模擬結(jié)果可以看出:當(dāng)固定樣本容量n=100不變,改變c時,形狀參數(shù)θ的E-Bayes估計的均方誤差和偏差絕對值相比表4和表5的模擬結(jié)果都比較小,并且精度較高,因此,在對Lomax分布下形狀參數(shù)θ的深入研究與探索中可選用此方法.

表5 加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)下參數(shù)的E-Bayes估計的模擬結(jié)果(θ=5)

表6 加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)下參數(shù)的E-Bayes估計的模擬結(jié)果(θ=1)

表7 加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)(2)下參數(shù)的E-Bayes估計的模擬結(jié)果(θ=5)

6 結(jié)語

本文基于加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù),當(dāng)尺度參數(shù)λ已知時,討論了兩參數(shù)Lomax分布的形狀參數(shù)θ在不同先驗分布下的Bayes估計.同時討論了在加權(quán)p,q對稱熵?fù)p失函數(shù)下Lomax分布形狀參數(shù)θ的多層Bayes估計以及E-Bayes估計.最后,對所得到的結(jié)論運用MATLAB進行隨機模擬研究,驗證了本文所使用方法以及結(jié)論的合理性.