杜潤梅,門天嬌

(長春工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 長春 130012)

1 預(yù)備知識

本文考慮如下退化方程:

(1)

其中:QT=Ω×(0,T);Ω是N中的非空有界區(qū)域;邊界?Ω充分光滑;u∈L2(QT)是控制函數(shù);函數(shù)滿足a(x)>0,x∈Ω.注意到a(x)可能在邊界為零,因此方程(1)是在邊界退化的退化拋物方程.文獻(xiàn)[1]根據(jù)a(x)的退化程度,把?Ω分為三部分,即非退化部分Γ1、弱退化部分Γ2和強(qiáng)退化部分Γ3,具體定義如下:

Γ1={x∈?Ω:a(x)>0};

Γ3={?Ω(Γ1∪Γ2)}.

其中Bδ(x)是N中以x為中心,δ為半徑的鄰域.定義Σ=(Γ1∪Γ2)×(0,T).由文獻(xiàn)[1-2]可知,方程(1)的解在Γ3×(0,T)上無跡,因此研究在初邊值條件

y(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

(2)

y(x,0)=y0(x),x∈Ω

(3)

下的解,其中y0∈L2(Ω).

退化拋物方程(1)來源于很多學(xué)科領(lǐng)域,例如金融學(xué)中的Black-Scholes模型[3]和氣候?qū)W的Budyko-Sellers模型[4].由于退化拋物方程具有廣泛的應(yīng)用背景,關(guān)于退化拋物方程的控制理論的研究成果有很多.例如,在能控性方面的研究結(jié)果可以參看文獻(xiàn)[5-7].然而,退化拋物方程在最優(yōu)控制方面的結(jié)果還很少[8].本文研究的最優(yōu)控制問題如下:

設(shè)yd∈L2(QT)是期望值,想尋找一個(gè)控制函數(shù)u使得問題(1)—(3)的解y與yd充分接近,同時(shí)希望控制u的成本也較小.

定義泛函

u∈Uad={u∈L∞(QT);α≤u(x,t)≤β,x∈Q},

其中k>0是一個(gè)比例因子.目標(biāo)是尋找一個(gè)控制函數(shù)u∈Uad,使得泛函J在Uad中達(dá)到最小值.

由于方程在邊界退化,該方程的解的正則性較弱,因此解空間不再是經(jīng)典的Sovolev空間.引入一個(gè)加權(quán)空間作為方程的解空間,在該加權(quán)空間內(nèi)有關(guān)Sobolev空間中的緊嵌入定理不再適用,為此,通過某些不等式估計(jì)得到證明所需要的收斂性.

本文先通過對極小化序列取極限證明了最優(yōu)控制的存在性,其次通過變分方法得到了最優(yōu)控制存在的必要條件及最優(yōu)控制的表達(dá)式,最后通過優(yōu)化系統(tǒng)的解的唯一性得到最優(yōu)控制的唯一性.

2 主要結(jié)果及其證明

首先給出問題(1)—(3)解的適定性.

下的閉包.

引理1對于任意的u∈L2(QT),y0∈L2(Ω),問題(1)—(3)存在唯一弱解y,且滿足

其中C2>0是僅依賴于Ω,T的常數(shù).

證明首先證明存在性.對于任意的正整數(shù)k,考慮系統(tǒng)

(4)

y(k)(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

(5)

y(k)(x,0)=y0(x),x∈Ω.

(6)

根據(jù)拋物方程經(jīng)典理論,式(4)—(6)存在唯一弱解y(k),在式(4)兩端乘y(k),并在QT上積分,可得

利用分部積分公式有

利用H?lder不等式和Gronwall不等式,可得

于是

即

同理

即

(7)

φ(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

φ(x,T)=0,x∈Ω

?QTwgdxdt=0.

因此w(x,t)=0,a.e.于QT.由g(x,t)的任意性,因此

綜上,存在唯一弱解.

下面證明泛函J(u)的極小值點(diǎn)的存在性.

證明令{u(n)}?Uad是J(u)的極小化序列,即

由引理1有

其中C與n無關(guān).由于L2(QT)的有界集是弱列緊的,存在y*∈L2(QT)和w*∈L2(QT;N),使得

y(n)?y*于L2(QT),

(8)

(9)

因此有

由式(9)可知

由弱解定義,對任意的φ∈L∞((0,T);L2(Ω))∩L2(0,T;B),有

令n→∞,有

因此y*是式(1)—(3)在u=u*時(shí)的解.由L2范數(shù)的弱下半連續(xù)性有

定理2給出了u*是J(u)在Uad中的極小值點(diǎn)的必要條件.

定理2設(shè)u*是J(u)在Uad中的極小值點(diǎn),y*是問題(1)—(3)當(dāng)u=u*時(shí)的解.令p*是問題

(10)

p*(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

(11)

p*(x,T)=0,x∈Ω

(12)

的解,則u*可以表示為

證明對任意v∈Uad,設(shè)yε是問題(1)—(3)相應(yīng)于u=u*+εv的弱解.注意到y(tǒng)ε-y*是問題(1)—(3)當(dāng)u=0,y0=0時(shí)的解,由引理1有

yε→y*于L2(QT),ε→0.

(13)

令

(14)

則ω是問題

(15)

ω(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

(16)

ω(x,0)=0,x∈Ω

(17)

的弱解,注意到

(18)

由式(13)—(14)、式(18),

(19)

由于ω是式(15)—(17)的弱解,取弱解定義中的檢驗(yàn)函數(shù)為p*,可得

(20)

由于p*是式(4)—(6)的弱解,取弱解定義中的檢驗(yàn)函數(shù)為ω,可得

(21)

由式(20)—(21)可得

?QT(y*-yd)ωdxdt=?QTvp*dxdt.

(22)

由u*是J(u)在Uad中的極小值點(diǎn),因此,

由式(19)、(22)可得

?QT(p*+ku*)vdxdt≥0.

由文獻(xiàn)[9]中第二章定理2.28可知

定理2優(yōu)化系統(tǒng)

(23)

(24)

y(x,t)=p(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

(25)

y(x,0)=y0(x),p(x,T)=0,x∈Ω.

(26)

至多存在一個(gè)解.

(y1-y2)(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

(y1-y2)(x,0)=0,x∈Ω

的弱解,取弱解定義中的檢驗(yàn)函數(shù)為p1-p2,有

(27)

再由p1-p2是問題

(28)

(p1-p2)(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

(29)

(p1-p2)(x,T)=0,x∈Ω

(30)

的弱解,取弱解定義中的檢驗(yàn)函數(shù)為y1-y2,有

(31)

由式(27)和(31)可知

?QT(y1-y2)2dxdt=?QT(p1-p2)(u1-u2)dxdt≤0.

因此y1=y2,a.e.于QT.由式(28)—(30)的解的唯一性,可得p1=p2,a.e.于QT.因此系統(tǒng)式(23)—(26)至多存在一個(gè)解.

由定理2和定理3可知J(u)在Uad中存在唯一的最小值點(diǎn)u*.