吳秀蘭,楊曉新

(長(zhǎng)春理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130000)

0 引言

本文主要研究如下帶有奇異項(xiàng)的一類非局部拋物方程:

(1)

其中:0

近年來,具有非局部源的拋物方程在不同的領(lǐng)域中被廣泛地應(yīng)用,取得了豐富的研究成果[1-6].2018年,馮敏和周軍[7]研究了一類非局部源的拋物方程:

(2)

給出了方程解的全局存在性及解在有限時(shí)刻爆破的性質(zhì).當(dāng)k(t)=1時(shí),文獻(xiàn)[8-11]利用修正的位勢(shì)井方法研究了一類具有奇異項(xiàng)的拋物方程問題:

(3)

給出了弱解的全局存在性及爆破性.問題(3)中當(dāng)k(t)≠1時(shí),韓玉柱[12]給出了方程弱解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的性質(zhì).此外給出了爆破時(shí)間的上界和下界估計(jì).

當(dāng)問題(1)中的s=0時(shí),L.J.Yan等[13]研究了非局部源拋物型方程

(4)

利用對(duì)Sobolev不等式和能量估計(jì),在適當(dāng)?shù)臈l件下給出了解的爆破結(jié)果.

對(duì)于具有奇異項(xiàng)和對(duì)數(shù)非局部源的拋物型方程解的性質(zhì)的研究較少.本文受問題(4)啟發(fā),研究了問題(1)解的性質(zhì),值得提出的是具有奇異項(xiàng)的對(duì)數(shù)非局部源拋物型方程弱解的性質(zhì)研究目前還沒有任何結(jié)果,這是本文的主要研究?jī)?nèi)容,由于奇異項(xiàng)的存在,具有對(duì)數(shù)非局部源的拋物型方程的經(jīng)典方法不再適用,例如上下解,比較原理等.受文獻(xiàn)[14-23]啟發(fā),利用截?cái)嗪瘮?shù),位勢(shì)井法、函數(shù)逼近思想和對(duì)數(shù)Sobolev不等式等,證明了弱解的局部存在性,弱解的全局存在性和衰退估計(jì),此外還給出了爆破結(jié)果.

1 準(zhǔn)備工作

(5)

(6)

(7)

接下來給出幾個(gè)引理.

引理1設(shè)μ是一個(gè)正數(shù),則有下列不等式成立:

splns≤(eμ)-1sp+μ,s≥1,

|splns|≤(ep)-1,0

引理2[15]假設(shè)Ω是N中的有界光滑區(qū)域,則對(duì)任意和任意a>0,有

其中HN=H(N,Ω).

引理5[25]設(shè)f:+→+是一個(gè)非增函數(shù),σ是一個(gè)非負(fù)常數(shù),使得下述不等式成立:

則

(ⅰ) 當(dāng)σ=0時(shí),對(duì)于任意t≥0,有f(t)≤f(0)e1-ωt;

(ⅲ) 在λ∈(0,λ*)上J(λu)遞增,在λ∈(λ*,+∞)上J(λu)遞減,且λ=λ*處J(λu)取得最大值;

(ⅳ) 在λ∈(0,λ*)上I(λu)>0,在λ∈(λ*,+∞)上I(λu)<0且I(λ*u)=0.

下面給出問題(1)的弱解定義.

2 局部存在性

(8)

證明證明分為三個(gè)步驟:

步驟1弱解的存在性

由引理7知un∈L∞(0,T;H),且滿足

(9)

在式(9)中取φ=un,有

(10)

對(duì)式(10)右端進(jìn)行估計(jì),設(shè)Ω1={x∈Ω:|un|>1},Ω2={x∈Ω:|un|≤1},結(jié)合引理1、引理4、Young不等式和Sobolev不等式有

(11)

另一方面經(jīng)過計(jì)算有

(12)

其中|x|≤L.結(jié)合式(10)—(12)可得

(13)

其中C1=(eμ)-1CGC(ε)(min{Ls,L-s,n-1})α.

(14)

在問題(1)兩端同時(shí)乘unt,在Ω×(0,t)上積分并結(jié)合式(5)有

(15)

J(un0)≤C,?n∈+.

(16)

另一方面結(jié)合式(1)和式(11)可知

(17)

由式(15)—(17)可得

(18)

其中C(T,ε)是只依賴于T,ε的正常數(shù).

由式(18)可得估計(jì)

(19)

(20)

類似式(12)可得

(21)

(22)

(23)

結(jié)合估計(jì)式(19)、式(21)和Aubin-lions緊致性定理可知,存在函數(shù)u,使得當(dāng)n→∞時(shí)有

un→u,在C(0,T;L2(Ω)) 中強(qiáng)收斂.

(24)

所以根據(jù)式(24),當(dāng)n→∞時(shí)有un(x,0)→u(x,0),a.e.于Ω.由注意1及極限的唯一性得u(x,0)=u0.式(24)蘊(yùn)含了unln|un|→uln|u|,a.e.(x,t)∈Ω×(0,T).另一方面經(jīng)直接計(jì)算并結(jié)合引理1及式(18)得

(25)

unln|un|→uln|u|在L∞(0,T;L2(Ω)) 中弱*收斂.

(26)

結(jié)合H?lder不等式有估計(jì)

這意味著

借助式(22)、式(23)、式(26),在式(9)中令n→+∞,有

則易知u是問題(1)在Ω×[0,T) 上的一個(gè)弱解.

步驟2能量等式

在問題(1)兩端同時(shí)乘ut,在Ω×(0,t)上積分并結(jié)合式(5)有

(27)

步驟3唯一性

(28)

下面取

作為檢驗(yàn)函數(shù),結(jié)合式(28)有

其中M(u)=uln|u|在+→+上Lipschitz連續(xù),結(jié)合Gronwall’s不等式得到解的唯一性.

3 整體存在性和衰減估計(jì)

證明證明分為兩種情形:

(29)

J(u(t0))=d,

(30)

或者

I(u(t0))=0.

(31)

借助上述不等式,將式(5)和式(29)結(jié)合有

注意到上述不等式的右端常數(shù)不依賴于T,故對(duì)任意T>0,可取Tmax=T=+∞.借助上述不等式可知問題(1)在Ω×(0,∞)上有一個(gè)整體弱解u(x,t).

(32)

結(jié)合問題(1)的第一個(gè)等式、式(5)和引理3有

(33)

結(jié)合式(32)—(33),可得

令上述不等式中的T→∞,利用引理5,得到衰減估計(jì)

4 無窮遠(yuǎn)處爆破結(jié)果

(34)

J(u(t1))=d,

(35)

或者

I(u(t1))=0.

(36)

由引理6(ⅳ)和I(u(t))<0,存在一個(gè)λ*<1使得I(λ*u)=0.那么有

(37)

(38)

(39)

(40)

接下來結(jié)合引理1與式(6)得到

(41)

另一方面結(jié)合式(38)可以發(fā)現(xiàn)存在t1∈(0,t),使得

(42)

其中|x|

對(duì)上述不等式運(yùn)用Gronwall’s不等式可以得出

ln(L(t))

即

(43)

5 結(jié)語

本文研究了一類具有奇異項(xiàng)和對(duì)數(shù)非局部源的拋物方程的初邊值問題.利用截?cái)嗪瘮?shù)和極限逼近思想得到問題弱解的局部存在性;利用修正位勢(shì)井及對(duì)數(shù)Sobolev不等式和Hardy-Sobolev不等式給出了問題弱解的整體存在性及衰退估計(jì),并在適當(dāng)?shù)臈l件下得到了問題弱解在無窮遠(yuǎn)處爆破.