丁江 盧蒙恩 曾梓洋 鄧愛平 江賽華

（1.廣西大學 機械工程學院，廣西 南寧 530004；2.華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣東 廣州 510640）

近年來，隨著無線傳感器等低功耗電子元件的興起，微小能量的收集得到了廣泛關注，尤其是日常生活中振動能量的收集已經(jīng)成為當前新能源研究領域的熱點［1-3］。其中，壓電能量采集器具有結(jié)構(gòu)簡單、無電磁干擾、響應快速等優(yōu)點，可以將環(huán)境中的振動能轉(zhuǎn)換為電能，是采集振動能量的重要選擇，有望替代傳統(tǒng)電池為無線傳感器、可穿戴電子設備等低功耗產(chǎn)品供電。然而，傳統(tǒng)的壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)僅能在其諧振頻率附近有限的帶寬內(nèi)產(chǎn)生較高的功率［4］，當環(huán)境振動頻率遠離采集器的諧振頻率時，能量采集效率將顯著降低［5-6］。為拓寬采集器的工作頻帶范圍，有效提升振動能量的收集效率，學者們提出了多種改進辦法，例如多模態(tài)結(jié)構(gòu)、多峰陣列、非線性系統(tǒng)等。其中，通過添加磁鐵改變系統(tǒng)剛度可以快速改變系統(tǒng)的非線性特征，實現(xiàn)不同模態(tài)下的寬頻帶能量采集，是當前拓寬采集器共振頻帶的有效方法之一［7］。

目前，學者們提出了多種非線性磁式壓電能量采集器。例如，Stanton等［8］提出了一種非線性磁相互作用可調(diào)裝置，利用系統(tǒng)的軟、硬剛度特性，實現(xiàn)了頻率帶寬的雙向增加；Yang等［9］提出了一種帶有磁鐵的梁-滑塊結(jié)構(gòu)的混合非線性能量采集器，該結(jié)構(gòu)結(jié)合了非線性和內(nèi)部共振機制，與具有固定磁鐵的雙穩(wěn)態(tài)相比，頻率帶寬擴大了兩倍；Mansour 等［10］提出了一種具有磁性可調(diào)節(jié)諧振頻率的能量采集器結(jié)構(gòu)，利用懸臂梁左端螺釘?shù)妮S向移動，改變磁鐵的間隙來調(diào)整系統(tǒng)的諧振頻率，實現(xiàn)系統(tǒng)的諧振頻率與外界振源匹配；Ferrari等［11］設計了一種單磁體雙穩(wěn)態(tài)壓電采集器結(jié)構(gòu)，利用垂直磁鐵對單個磁鐵懸臂梁產(chǎn)生的吸引力來實現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)，改善輸出電壓；Wang 等［12］建立了非線性三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器模型，通過改進的磁偶極子模型準確地計算了非線性磁力、勢能和系統(tǒng)的躍遷機理，從而更具體地分析采集器的輸出特性；Wu 等［13］在線性雙梁結(jié)構(gòu)的基礎上，利用永磁鐵引入非線性磁力，設計一種多模態(tài)結(jié)構(gòu)與非線性結(jié)合的能量采集器，使其具有比線性二自由度系統(tǒng)更好的能量采集效果；Firoozy等［14］通過研究一種帶有末端磁鐵和非線性邊界條件的單晶壓電采集器結(jié)構(gòu)，給出了一個非線性寬頻帶壓電能量采集器動力學模型的完整推導過程；唐煒等［15］通過系統(tǒng)研究非線性磁式壓電結(jié)構(gòu)的建模與分析方法，利用諧波平衡分析法，給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應的解析表達式；吳義鵬等［16］利用一組帶有末端磁鐵的非對稱壓電懸臂梁設計了一種共振頻率可調(diào)式非線性壓電振動能量收集器，可實現(xiàn)在較大頻率范圍內(nèi)的頻率匹配；杜小振等［17］利用非線性磁力調(diào)頻設計了一種壓電電磁復合發(fā)電系統(tǒng)，可采集低頻環(huán)境下的振動能量。

為了提升調(diào)節(jié)采集器諧振頻率的便捷性，擴大能量收集的共振頻帶范圍，本文通過一對可快速移動的磁鐵結(jié)構(gòu)，設計了一種諧振頻率可調(diào)的非線性磁式壓電能量采集器，有效構(gòu)建了其動力學模型，并通過仿真與實驗分析了磁鐵間距、阻尼、負載等參數(shù)對輸出功率和末端磁鐵位移的影響，比較了采集器在單、雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)下的性能優(yōu)劣，擬為可調(diào)諧壓電能量采集器的設計與分析提供理論指導。

1 壓電能量采集器結(jié)構(gòu)

圖1所示為壓電能量采集器樣機結(jié)構(gòu)，其由壓電懸臂梁和3個磁鐵A、B、C構(gòu)成。其中，一個磁鐵固定在懸臂梁的自由端；兩個移動磁鐵分別固定在末端磁鐵的頂部和底部，呈對稱分布。一對壓電片對稱地粘貼在懸臂梁的上下表面，壓電片和懸臂梁長度同為L。末端磁鐵沿垂直負方向磁化，兩個移動磁鐵沿垂直正方向磁化。為了方便調(diào)節(jié)，壓電懸臂梁上下兩個擋板固定在可垂直移動的螺栓上，可以通過螺栓便捷地調(diào)節(jié)移動磁鐵和末端磁鐵之間的距離，從而改變系統(tǒng)磁斥力大小，實現(xiàn)系統(tǒng)在更寬頻率范圍內(nèi)的能量收集。

圖1 壓電能量采集器的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of piezoelectric energy harvester

2 壓電能量采集器動力學模型

如圖1所示，以懸臂梁根部的中心位置為原點構(gòu)建坐標系，水平方向設為x軸，垂直方向設為z軸。基底層和壓電層的長度為L，基底層厚度為hb，壓電層厚度為hp，末端磁鐵的邊長為2g，末端磁鐵與移動磁鐵之間的距離為d，壓電層與基底層的寬度分別為wb、wp。系統(tǒng)受到大小為z（t）的諧波激勵，沿z方向的位移用w（x，t）表示，忽略其他方向的應變。

2.1 壓電懸臂梁的本構(gòu)方程

根據(jù)Euler-Bernoulli 理論，假設壓電層和基底層的應變保持一致，只考慮軸向應變，忽略其他方向的應變。記x軸方向為下標1，z軸方向為下標3，系統(tǒng)的應變γ1和電位移D3可以由壓電材料的第一類本構(gòu)方程給出：

式中：σ1為軸向應力；E3為電場強度；d31為壓電應變常數(shù)；為常應力下的介電常數(shù)；為彈性柔順常數(shù)。

2.2 Lagrange函數(shù)

利用Euler-Bernoulli 理論建立非線性磁式壓電懸臂梁的運動方程。該系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)可以表示為

式中，T為系統(tǒng)的動能，W為系統(tǒng)的電能，U為系統(tǒng)的勢能。系統(tǒng)的動能T包括基底層的動能Tb、壓電層的動能Tp和末端磁鐵的動能TM。其中，基底層的動能Tb表示為

式中：ρb為基底層密度；Ab為基底層橫截面面積；(t)為系統(tǒng)的振動速度；w（x，t）為懸臂梁相對于初始位置的z方向位移。

壓電層的動能Tp表示為

式中：ρp為壓電層密度；Ap為壓電層橫截面面積。

末端磁鐵的動能TM表示為

式中：Mt為末端磁鐵的質(zhì)量；It為末端磁鐵的轉(zhuǎn)動慣量。

在本研究中，兩個壓電片對稱粘貼在梁的上下表面，極化方向相反，因此機電耦合系數(shù)符號相反。系統(tǒng)的輸出端采用串聯(lián)連接，假定每個壓電片的電場強度在z方向上均勻分布。因此系統(tǒng)的電能為壓電片的電能Wp，可以表示為

式中：v（t）為壓電片的電壓；e31為壓電片的機電耦合系數(shù)；Cp=b/hp。系統(tǒng)的勢能U包括基底層的勢能Ub、壓電層的勢能Up和磁鐵間的排斥力產(chǎn)生的勢能UAB、UAC?；椎膹椥詣菽躑b表示為

式中：Yb為基底層的彈性模量；Ib為基底層的截面慣性矩，其中Ib=wb/12。

壓電片的彈性勢能Up表示為

式中，Ip為壓電片的截面慣性矩，

磁場勢能UAB、UAC的計算涉及到磁力的分析，是本文研究的重點，將在下節(jié)敘述其分析過程。

2.3 磁力分析

如圖2所示，根據(jù)磁鐵之間的幾何關系，本文通過偶極子模型描述非線性磁力。

圖2 磁場勢能分析Fig.2 Magnetic potential energy analysis

考慮雙磁鐵來推導出垂直或平行于磁偶極子的分離矢量，引入mA、mB和mC來分別表示磁鐵A、B 和C 的磁矩矢量。磁矩矢量的取向如圖2 所示，可以寫成：

式中，M為磁化強度，代表磁鐵材料內(nèi)所有微觀磁矩的矢量和，V為磁鐵的體積。

使用rAB、rAC表示磁鐵B、C 到磁鐵A 的距離，e1、e2表示x、y方向的單位矢量。由于g?L，則α約等于0°，末端磁鐵和移動磁鐵之間的距離關系可表示為

磁鐵A、B、C的磁矩可以表示為

磁鐵A 在磁鐵B、C 處產(chǎn)生的磁通密度BBA、BCA可表示為

式中：‖ · ‖2為歐幾里得2 范數(shù)；?為矢量梯度算子；μ0為真空磁導率。

磁鐵間的勢能UAB、UAC可以表示為

由偏轉(zhuǎn)角α和撓度w（l，t）的關系可得：

由于g?L，α≈0°，則sinαcosα≈0、sin2α≈0、sin3α≈0。聯(lián)立式（11）-（15），勢能UAB、UAC可以表示為

式中，q為與時間相關的廣義模態(tài)坐標，系數(shù)分別為

其中φ（·）為懸臂梁的特征函數(shù)。

2.4 Lagrange函數(shù)的空間離散化

為了得到Lagrange 函數(shù)的降階模型，采用Galerkin離散方法，梁的橫向位移近似為［18-19］

式中，?i(x)為懸臂梁的第i個特征函數(shù)，qi（t）為與時間相關的廣義模態(tài)坐標。

根據(jù)Friswell 等［20］的研究，可以由一階模態(tài)來獲取系統(tǒng)的降階方程，通過考慮單模近似，式（17）可以簡化為

式中，?1(x)可以通過求解帶有末端磁鐵的無阻尼線性懸臂梁的特征值問題獲得，其中一階模態(tài)可以表示為［21］

其中，k'為常數(shù)項系數(shù)，

λ為一階模態(tài)的特征值，mp、mb分別為壓電片、懸臂梁質(zhì)量。

通過在x=0 和x=L處的邊界條件來確定振型中的系數(shù)：

式中，YI為懸臂梁的整體抗彎剛度，根據(jù)梁的模態(tài)頻率關系可得

式中，m為懸臂梁的質(zhì)量。

將式（19）代入式（20）中，結(jié)合式（21）可得到A1η1=0 的等式，其中A1為2×2 的系數(shù)矩陣，η1=|AC|T。為得到系統(tǒng)的非平凡解，需要令系數(shù)矩陣的模為零，據(jù)此計算出多階模態(tài)頻率ωi，并根據(jù)ωi計算特征向量d，從而求出各階模態(tài)振型系數(shù)。

為保證各階振型的唯一性，模態(tài)振型函數(shù)還應滿足下列正交條件：

式中，當r=h時，δrh=1，當r≠h時，δrh=0。

2.5 機電耦合動力學方程

為了表示壓電采集器連接電路后的耦合行為，接下來推導壓電振子的輸出電壓v（t）的表達式，電路如圖3所示。

圖3 壓電能量采集器等效電路模型Fig.3 Equivalent circuit model of piezoelectric energy harvester

根據(jù)式（1）可得［22］：

壓電懸臂梁中的電荷可表示為

式中，Yp為壓電層的彈性模量，hpc為壓電片到中性軸的距離。

根據(jù)電荷和電流的關系可得：

連接電路后，根據(jù)電壓-電流方程，可以得到電壓表達式：

將式（18）代入式（16），并進行泰勒展開得：

將式（18）代入式（3）、（4）、（5）可得動能表達式：

將式（18）代入式（9）得：

將式（18）代入式（7）、（8）、（28）得勢能表達式：

為了獲得動力學方程的一階模態(tài)近似函數(shù)，Lagrange函數(shù)可以表示為

將式（28）-（30）代入式（31），并考慮粘性阻尼系數(shù)cv的影響，采集器的非線性運動方程以廣義坐標的形式可表示為

其中，K1=2N1+2N3+2N5，K2=2(N7+N8-3s2)，K3=-9s3，K4=4s4，K5=N9+θ1，K6=2(N2+N4+N6)，K7=s1。

令K2/K1=s，K4/K1=k，式（32）已化簡成達芬尼方程的形式。由式（30）、（32）可知，磁勢能導致非線性剛度k的出現(xiàn)，同時改變了線性剛度s的大小，因此磁勢能是造成能量采集器系統(tǒng)非線性的根源。由式（27）可以看出，磁性勢能由磁鐵強度、磁鐵體積、梁的模態(tài)振型和磁鐵間距等參數(shù)決定。其中，磁鐵間距d因便于調(diào)整，可以被用來調(diào)節(jié)采集器的諧振頻率。

2.6 諧波平衡法求解

為了便于分析系統(tǒng)的各種因素對輸出的影響，本文利用諧波平衡法求系統(tǒng)的解析表達式，假設基座加速度為=a0cos(ωt)，ω為外激勵頻率，式（26）、（32）中機電耦合方程的穩(wěn)態(tài)解可以表示為

式中，a2表示系統(tǒng)的平衡位置。

令式（33）中的sin項、cos項和常數(shù)項的系數(shù)相同可得：

式中，η0為系統(tǒng)的位移幅值。

根據(jù)式（34），可得到穩(wěn)態(tài)情況下系統(tǒng)的平均輸出功率：

3 采集器的仿真分析

為了驗證可調(diào)諧非線性磁式壓電能量采集器的性能，本節(jié)將依據(jù)式（35）-（37），針對采集器的單、雙穩(wěn)態(tài)快速切換和輸出等問題進行研究，采用的物理參數(shù)如表1所示。

表1 采集器的材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Material and structural parameters of harvester

磁力大小是影響壓電能量采集器非線性的主要因素，通過改變磁鐵間距d的大小，可以調(diào)整采集器非線性行為的強弱。為量化這種影響，利用表1數(shù)據(jù)，通過仿真分析給出了采集器線性剛度和非線性剛度隨d變化的曲線，如圖4 所示。當d=d0=17.8 mm 時，線性剛度為零，因此d0為臨界點，當d＜d0時，s＜0，k＞0，系統(tǒng)表現(xiàn)為雙穩(wěn)態(tài)特性；當d＞d0時，k＞0，s＞0，系統(tǒng)表現(xiàn)為單穩(wěn)態(tài)漸硬特性。

圖4 能量采集器線性剛度、非線性剛度隨磁鐵間距的變化Fig.4 Change of linear stiffness and nonlinear stiffness of energy harvester with magnet spacing

3.1 雙穩(wěn)態(tài)特性

由圖4可知，當d＜17.8 mm時，系統(tǒng)表現(xiàn)為雙穩(wěn)態(tài)特性。為分析系統(tǒng)的雙穩(wěn)態(tài)特性，本文討論加速度幅值、頻率、磁鐵間距和負載阻抗等參數(shù)對系統(tǒng)響應和輸出的影響。首先分析了采集器末端磁鐵的幅頻響應曲線，如圖5所示。假設負載RL=1 000 kΩ，阻尼為0.1，對比磁鐵間距d分別為10、15 mm 以及激勵加速度a分別為1、2 m/s2情況下的幅頻響應曲線。圖5中的幅頻響應曲線中包括小幅阱內(nèi)運動和大幅阱間運動，當η0＜3.5 mm 時，屬于小幅阱內(nèi)運動，當η0＞3.5 mm 時，屬于大幅阱間運動。由圖5 可知，小幅阱內(nèi)運動的幅頻響應曲線向左傾倒，與單穩(wěn)態(tài)軟特性的幅頻響應曲線類似；大幅阱間運動的幅值隨外激勵頻率的增大而增大，在低頻附近也會有較大的幅值響應，適用于低頻環(huán)境下的振動能量采集。對比圖5（a）和5（b）或?qū)Ρ葓D5（c）和5（d）可知，加速度幅值增加將明顯擴大阱間運動頻帶范圍，略微增加小幅阱內(nèi)運動頻帶范圍；對比圖5（a）和5（c）或?qū)Ρ葓D5（b）和5（d）可知，磁鐵間距d對大幅阱間運動幅值和頻帶的影響并不顯著，對小幅阱內(nèi)運動的頻帶影響較為明顯，隨著d的增大，阱內(nèi)運動的頻帶右移。

圖5 采集器的幅頻響應曲線Fig.5 Amplitude-frequency response curve of harvester

為了分析負載阻抗對系統(tǒng)輸出功率的影響，圖6 給出了d=15 mm 時，系統(tǒng)處于雙穩(wěn)態(tài)阱間運動時輸出功率隨負載的變化。其中，圖6（a）對比ω分別為35、40、45 和50 Hz 4 種不同激勵頻率下，輸出功率與負載的關系?？梢钥闯觯糠N激勵頻率都存在各自的最優(yōu)阻值，在此阻值下系統(tǒng)將獲得最大輸出功率，且最大輸出功率隨激勵頻率的增加而增加，但最優(yōu)阻值隨激勵頻率的增加而降低。圖6（b）對比a分別為0.5、1.0、1.5和2.0 m/s24 種不同激勵加速度下，輸出功率與負載的關系。可以看出，最大輸出功率隨加速度幅值的增加而增加，但是最優(yōu)阻值并不隨加速度幅值改變而發(fā)生顯著變化，始終保持在830 kΩ附近。

圖6 d=15 mm時阱間負載阻抗-輸出功率關系曲線Fig.6 Relationship curve between load impedance and output power between wells when d=15 mm

為分析負載對系統(tǒng)輸出功率的影響，圖7給出了d=15 mm時，系統(tǒng)處于雙穩(wěn)態(tài)阱內(nèi)運動時輸出功率隨負載變化的曲線。其中，圖7（a）對比了ω分別為35、40、45和50 Hz 4種不同激勵頻率下，輸出功率與負載的關系?？梢钥闯?，每種激勵頻率都存在最優(yōu)阻值，在此阻值下系統(tǒng)將獲得最大輸出功率，且最大輸出功率隨激勵頻率的增加而降低，同時最優(yōu)阻值隨激勵頻率的增加而減少。圖7（b）對比a分別為0.5、1.0、1.5和2.0 m/s24種不同激勵加速度下，輸出功率與負載的關系。可以看出，最大輸出功率隨加速度幅值的增加而增加，但是最優(yōu)阻值并不隨激勵大小發(fā)生顯著變化，始終保持在620 kΩ附近。

圖7 d=15 mm時阱內(nèi)負載阻抗-輸出功率關系曲線Fig.7 Relationship curve between in well load impedance and output power when d=15 mm

3.2 單穩(wěn)態(tài)特性

由圖4 可知，當d＞17.8 mm 時，系統(tǒng)表現(xiàn)為單穩(wěn)態(tài)漸硬特性。圖8給出了系統(tǒng)處于單穩(wěn)態(tài)時輸出功率隨負載變化的關系，對比了不同磁鐵間距d和末端磁鐵質(zhì)量Mt對輸出功率的影響。假設外激勵加速度a=2 m/s2，阻尼為0.1，對比磁鐵間距d分別為20、25 mm以及末端磁鐵質(zhì)量Mt分別為7、14 g情況下的頻率響應曲線。由圖8（a）可知，對于質(zhì)量相同的末端磁鐵，通過增加磁鐵間距，系統(tǒng)的最優(yōu)阻值向右移動，輸出功率增加；由圖8（b）可知，對于相同的磁鐵間距，通過增加末端磁鐵的質(zhì)量，最優(yōu)阻值向右移動，輸出功率增加。

圖8 系統(tǒng)處于單穩(wěn)態(tài)時負載阻抗-輸出功率關系曲線Fig.8 Relationship curve between load impedance and output power when the system is in monostable state

圖9給出了系統(tǒng)處于單穩(wěn)態(tài)時末端位移隨頻率變化的關系，并對比了不同末端磁鐵質(zhì)量Mt和磁鐵間距d對位移的影響。假設外激勵加速度a=2 m/s2，阻尼為0.1，對比磁鐵間距d分別為20、25 mm 以及末端磁鐵質(zhì)量Mt分別為7、14 g 情況下的幅頻響應曲線。由圖9（a）可知，在末端磁鐵質(zhì)量不變的情況下，隨著磁鐵間距的增加，采集器的最大位移幅值降低，有效頻帶范圍減小，同時系統(tǒng)的非線性行為降低。由圖9（b）可知，在磁鐵間距不變的情況下，隨著末端磁鐵質(zhì)量的增加，采集器的末端位移幅值隨之增加，同時系統(tǒng)的諧振頻率向左移動，可以采集低頻下的能量，但系統(tǒng)的有效工作頻帶范圍不會發(fā)生明顯改變。

圖9 系統(tǒng)處于單穩(wěn)態(tài)時采集器的幅頻響應曲線Fig.9 Amplitude-frequency response curve of harvester when the system is in monostable state

如圖10 所示，取阻尼為0.1，磁鐵間距d=20 mm，負載RL=400 kΩ，末端磁鐵質(zhì)量Mt=7 g，研究在加速度a為1、2 和3 m/s23 種不同情況下，位移和輸出電壓隨頻率的變化。從圖10 可以看出，采集器在a為1、2 和3 m/s23 種不同激勵水平下的最大位移幅值分別為4.96、6.59和7.26 mm，最大輸出電壓分別為2.78、4.73 和5.91 V?？梢钥闯?，隨著加速度幅值的增加，末端磁鐵的位移幅值和系統(tǒng)的輸出電壓隨之增加，且最優(yōu)諧振頻率向右移動。

圖10 不同加速度對系統(tǒng)末端位移和輸出電壓的影響Fig.10 Influence of different accelerations on end displacement and output voltage

如圖11 所示，取加速度a=2 m/s2，d=20 mm，R=400 kΩ，Mt=7 g，研究阻尼ε=0.025，0.05，0.1 3 種不同情況下，系統(tǒng)末端位移和輸出電壓隨頻率變化的響應。由圖11可知，采集器在3種阻尼下的最大位移幅值分別為8.31、7.16和6.96 mm，最大輸出電壓分別為7.20、5.31 和4.73 V?？梢钥闯?，通過增加機械阻尼，系統(tǒng)的非線性行為開始降低，并且最大位移幅值和最大輸出電壓都在下降，最優(yōu)諧振頻率向左移動；通過增加機械阻尼，系統(tǒng)的非線性硬化特性逐漸減弱。

圖11 不同阻尼對末端位移和輸出電壓的影響Fig.11 Effect of different damping on end displacement and output voltage

為分析有無末端磁鐵對系統(tǒng)位移和輸出電壓的影響，取加速度a=2 m/s2，阻尼ε=0.1，磁鐵間距d=20 mm，負載RL=400 kΩ，研究了系統(tǒng)在不存在末端磁鐵和末端磁鐵質(zhì)量Mt=7 g 情況下的輸出響應。如圖12所示，在不存在末端磁鐵的情況下，系統(tǒng)的最大位移幅值為5.18 mm，最大輸出電壓為3.07 V；在末端磁鐵Mt=7 g的情況下，系統(tǒng)的最大位移幅值為6.59 mm，最大輸出電壓為4.73 V。可以看出，磁鐵的存在增加了系統(tǒng)的輸出，改變了系統(tǒng)的有效工作頻帶范圍，系統(tǒng)的最優(yōu)諧振頻率右移，同時增加了系統(tǒng)的非線性行為，系統(tǒng)的非線性硬化特性明顯。

圖12 有無磁鐵對末端位移和輸出電壓的影響Fig.12 Effect of presence or absence of magnet on end displacement and output voltage

為分析負載阻抗對系統(tǒng)輸出功率的影響，圖13研究了d=20 mm時，系統(tǒng)單穩(wěn)態(tài)輸出功率隨負載變化的曲線關系。圖13（a）對比了ω=40，45，50，55 Hz 4 種不同激勵頻率下，功率隨負載變化的曲線?？梢钥闯觯糠N激勵頻率都存在各自的最優(yōu)阻值，在此阻值下系統(tǒng)將獲得最大輸出功率，且最大輸出功率隨激勵頻率的增加而增加，但最優(yōu)阻值隨激勵頻率的增加而減少。圖13（b）對比了a=0.5，1.0，1.5，2.0 m/s24 種不同激勵加速度下，功率隨負載變化的曲線。可以看出，最大輸出功率隨加速度的增加而增加，但是最優(yōu)阻值并不隨加速度變化而發(fā)生顯著變化，始終保持在400 kΩ附近。

圖13 d=20 mm時負載阻抗-系統(tǒng)單穩(wěn)態(tài)輸出功率關系曲線Fig.13 Relationship curve between load impedance and output power of the system in monostable state when d=20 mm

4 實驗分析

為了驗證提出的可調(diào)諧非線性磁式壓電能量采集器的發(fā)電性能，通過實驗測試驗證仿真分析與理論分析的正確性，實驗平臺如圖14 所示。實驗測試系統(tǒng)主要的硬件設施包括Tektronix AFG2021 函數(shù)信號發(fā)生器、世傲SA-PA010 功率放大器、世傲SA-JZ002 模態(tài)激振器、澄科NI 多功能USB-6002 DAQ 數(shù)據(jù)采集卡、世敖加速度傳感器、世敖CT5204 恒流適配器以及計算機等設備。實驗原理為：函數(shù)信號發(fā)生器產(chǎn)生正弦激勵信號，經(jīng)過功率放大器傳給模態(tài)激振器產(chǎn)生振動，然后作用于可調(diào)諧非線性磁式壓電能量采集裝置上，加速度信號經(jīng)過恒流適配器傳給示波器，利用示波器分析加速度傳感器輸送的信號。非線性磁式壓電能量采集裝置將振動能量轉(zhuǎn)換為電能，同時外接一個純電阻，通過數(shù)據(jù)采集卡收集負載電阻上的電壓信號，并由計算機進行分析。

圖14 實驗測試平臺Fig.14 Experimental test platform

4.1 磁鐵間距及外部磁鐵對系統(tǒng)特性的影響

為研究采集器諧振頻率與磁鐵間距的關系，記錄了不同磁鐵間距下的諧振頻率，測試結(jié)果如圖15所示。結(jié)果顯示通過調(diào)節(jié)磁鐵間距可以使采集器在36～55 Hz范圍內(nèi)擁有有效的共振頻帶。在0～20 mm內(nèi)，當磁鐵間距逐漸增加時，磁斥力可以增加系統(tǒng)剛度，采集器的諧振頻率逐漸增加，并在磁鐵間距為20 mm 時達到最大調(diào)節(jié)值；在20～30 mm 內(nèi)，當磁鐵間距逐漸增加時，由于磁斥力減弱，系統(tǒng)剛度逐漸降低，采集器的諧振頻率從55 Hz 逐漸減小。

圖15 磁鐵間距與采集器諧振頻率的關系Fig.15 Relationship between magnetic distance and resonant frequency of harvester

為研究末端磁鐵對采集器輸出性能的影響，分別記錄了存在、不存在末端磁鐵情況下采集器的電壓值。其中，取加速度a=2 m/s2，磁鐵間距d=20 mm，負載R=400 kΩ，調(diào)整信號發(fā)生器使其輸出頻率為10～70 Hz，測試結(jié)果如圖16 所示。在沒有外部磁鐵的情況下，采集器為一個經(jīng)典線性壓電懸臂梁系統(tǒng)，系統(tǒng)的最大輸出電壓為3.13 V，此時的頻率為35 Hz；在有外部磁鐵的情況下，壓電發(fā)電系統(tǒng)表現(xiàn)出非線性硬化現(xiàn)象，最大輸出電壓為4.74 V，此時頻率為55 Hz，隨后產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象。而仿真分析的結(jié)果表明，系統(tǒng)的最大輸出電壓為3.07、4.73 V，此時頻率為36.64、55.36 Hz?？梢?，在實驗誤差允許范圍內(nèi)，實驗結(jié)果與仿真結(jié)果分析一致。當外激勵頻率超過55 Hz 后，采集器的幅頻響應曲線產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象。這是因為幅值響應較小，壓電片變形較小，導致產(chǎn)生的電壓較低。

圖16 外部磁鐵對采集器輸出電壓的影響Fig.16 Influence of external magnet on output voltage of harvester

4.2 雙穩(wěn)態(tài)性能測試

為測試采集器在雙穩(wěn)態(tài)阱間下的輸出性能，驗證了不同加速度下采集器的功率響應。調(diào)整擋板以維持磁鐵間距d=15 mm，調(diào)整信號發(fā)生器使其輸出頻率為50 Hz、振幅分別為1和2 m/s2的正弦波信號，測得不同加速度幅值下負載電阻功率與負載電阻值的關系，如圖17 所示。從圖17 可以看出，增加外激勵加速度可以提升采集器的輸出功率，在外激勵加速度分別為1 和2 m/s2時，采集器的最大輸出功率分別為0.035和0.055 mW，此時的負載電阻值約為800 kΩ。而仿真分析的結(jié)果表明，系統(tǒng)的最大輸出功率分別為0.035、0.056 mW，此時的負載電阻值約為830 kΩ。從上述數(shù)據(jù)可以看出，改變外激勵強度不影響采集器的最優(yōu)阻值，且在實驗誤差允許范圍內(nèi)，實驗結(jié)果與仿真分析結(jié)果一致。

圖17 雙穩(wěn)態(tài)阱間下不同加速度時輸出功率與負載電阻值的關系Fig.17 Relationship between output power and load resistance value under different accelerations between bistable wells

為測試采集器在雙穩(wěn)態(tài)阱間下的輸出性能，驗證了不同激勵頻率下的功率響應。調(diào)整擋板以維持磁鐵間距d=15 mm，調(diào)整信號發(fā)生器使其輸出頻率為40和50 Hz、振幅為2 m/s2的正弦波信號，測得不同激勵頻率下負載電阻功率與負載電阻值的關系，如圖18所示。

圖18 雙穩(wěn)態(tài)阱間下不同激勵頻率時輸出功率與負載電阻值的關系Fig.18 Relationship between output power and load resistance value under different excitation frequencies between bistable wells

4.3 單穩(wěn)態(tài)性能測試

為測試采集器在單穩(wěn)態(tài)下的輸出性能，驗證了不同加速度下采集器的電壓響應。調(diào)整擋板以維持磁鐵間距d=20 mm，將外部負載電阻值選為400 kΩ，調(diào)整信號發(fā)生器使其輸出頻率為10～70 Hz、振幅分別為1、2和3 m/s2的正弦波信號，通過數(shù)據(jù)采集卡采集負載電阻的電壓，結(jié)果如圖19 所示。從圖19 可以看出，隨著外激勵加速度的增加，采集器的輸出電壓逐漸增加。在外激勵加速度分別為1、2 和3 m/s2時，采集器的最大輸出電壓分別為2.6、4.5和5.9 V，此時的激勵頻率分別為46、56 和62 Hz。從實驗結(jié)果可以看出，增加外激勵加速度可以提升采集器的輸出性能，且系統(tǒng)的諧振頻率全部位于線性諧振頻率的右側(cè)。而仿真分析的結(jié)果表明，在此條件下系統(tǒng)的最大輸出電壓分別為2.78、4.73、5.91 V，此時頻率為47.16、55.36、60.64 Hz。由此可見，在實驗誤差允許范圍內(nèi)，實驗結(jié)果與仿真分析結(jié)果一致。

圖19 單穩(wěn)態(tài)下負載電阻電壓與外激勵加速度的關系Fig.19 Relationship between load resistance voltage and external excitation acceleration under monostable state

為測試采集器在單穩(wěn)態(tài)下的輸出性能，驗證了不同加速度下采集器的功率響應。調(diào)整擋板以維持磁鐵間距d=20 mm，調(diào)整信號發(fā)生器使其輸出頻率為55 Hz、振幅分別為1 和2 m/s2的正弦波信號，測得不同外激勵加速度下負載電阻功率與負載電阻值的關系如圖20 所示。從圖20 可以看出，增加外激勵加速度可以增加采集器的輸出功率，在外激勵加速度分別為1 和2 m/s2時，采集器的最大輸出功率分別為0.035和0.054 mW，此時的負載電阻值約為400 kΩ。從上述數(shù)據(jù)可以看出，改變外激勵加速度不影響采集器的最優(yōu)阻值。而仿真分析的結(jié)果表明，在此條件下系統(tǒng)的最大輸出功率分別為0.034、0.055 mW，此時的負載電阻值為400 kΩ?？梢姡趯嶒炚`差允許范圍內(nèi)，實驗結(jié)果與仿真分析結(jié)果一致。

圖20 單穩(wěn)態(tài)下不同加速度時輸出功率與負載電阻值的關系Fig.20 Relationship between output power and load resistance value under different accelerations in monostable state

為測試采集器在單穩(wěn)態(tài)下的輸出性能，驗證了采集器的電壓、功率響應。調(diào)整擋板以維持磁鐵間距d=20 mm，調(diào)整信號發(fā)生器使其輸出頻率為55 Hz、振幅為2 m/s2的固定正弦波信號，測得負載電阻功率、電壓與負載電阻值的關系如圖21 所示。從圖21可以看出，實驗結(jié)果顯示采集器的輸出功率隨著負載電阻值的增加呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢，在400 kΩ附近達到最大值，此時輸出功率為0.054 mW，電壓值為4.6 V；電壓首先隨著負載電阻值的增加而增加，當負載電阻值超過最優(yōu)阻值后，電壓增加緩慢，隨后趨于平緩。

圖21 單穩(wěn)態(tài)下采集器輸出功率、電壓與負載電阻的關系Fig.21 Relationship between output power，voltage，and load resistance of harvester in monostable state

5 結(jié)論

本文設計了一種可調(diào)諧非線性磁式壓電能量采集器結(jié)構(gòu)，對采集器進行分布參數(shù)動力學分析，建立了系統(tǒng)動力學方程，利用諧波平衡法得到方程的解析表達式，并通過仿真分析與實驗得到以下結(jié)論：

（1）通過改變磁鐵間距，可改變系統(tǒng)的諧振頻率，并可使系統(tǒng)進行單、雙穩(wěn)態(tài)的轉(zhuǎn)換，當d＜17.8 mm 時，系統(tǒng)表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)特性，可以采集低頻環(huán)境下的振動能量；當d＞17.8 mm時，系統(tǒng)表現(xiàn)出單穩(wěn)態(tài)漸硬特性，可以采集高頻環(huán)境下的振動能量。

（2）系統(tǒng)的最優(yōu)阻值受到懸臂梁末端磁鐵質(zhì)量、磁鐵間距和外激勵頻率的影響。其中，隨著末端磁鐵質(zhì)量的增加，系統(tǒng)的最優(yōu)阻值也隨之增加；隨著磁鐵間距的增加，系統(tǒng)的最優(yōu)阻值隨之增加；對于單、雙穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)的最優(yōu)阻值都是隨著外激勵頻率的增加而減??；外激勵加速度的大小對于系統(tǒng)的最優(yōu)阻值影響較小。

（3）對于單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，通過增加磁鐵間距，會降低系統(tǒng)的非線性行為，減小系統(tǒng)的位移響應幅值，同時減小有效工作頻帶范圍；通過增加末端磁鐵質(zhì)量，可以增加系統(tǒng)的位移響應幅值，并降低系統(tǒng)的諧振頻率，可用于采集低頻環(huán)境下的能量。

（4）改變系統(tǒng)的阻尼和外激勵加速度會對系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生影響。其中，通過減小阻尼系數(shù)可以增加系統(tǒng)的位移幅值及輸出電壓，非線性行為也更加明顯；通過增加外激勵加速度會增加系統(tǒng)的位移幅值及輸出電壓，并提升系統(tǒng)的最優(yōu)諧振頻率，可用于采集高頻環(huán)境下的能量。