伍建軍,周敏,章仕磊

(1.天府新能源研究院,成都 610000; 2.江西理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,贛州 341000)

柔順機(jī)構(gòu)利用柔性鉸鏈代替裝配復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié),不僅無摩擦、靈敏度高,且一次加工成型,特別適用于精密微動(dòng)領(lǐng)域。但柔性鉸鏈通過形變產(chǎn)生運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)范圍受限,需要位移放大機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)相關(guān)功能[1-2]。

目前研究的放大機(jī)構(gòu)有多級(jí)杠桿放大機(jī)構(gòu)、差動(dòng)杠桿放大機(jī)構(gòu)、三角放大機(jī)構(gòu)和橋式放大機(jī)構(gòu)等,它們都具有各自的特點(diǎn),如Li等[3]和Iqbal等[4]設(shè)計(jì)的多級(jí)杠桿放大機(jī)構(gòu)雖然原理簡單,在一定條件下也能實(shí)現(xiàn)較大的放大倍數(shù)和負(fù)載能力,但是往往需要多級(jí)杠桿才能達(dá)到需要的放大倍數(shù),這也造成了誤差累積和整體結(jié)構(gòu)笨重。Fan等[5]設(shè)計(jì)的差動(dòng)式杠桿放大機(jī)構(gòu)雖然具有6.5倍的放大倍數(shù)和較高的固有頻率,但是體積大而且分析較為復(fù)雜。Lu等[6]設(shè)計(jì)的非對(duì)稱三角放大機(jī)構(gòu)也存在著體積大,放大倍數(shù)不足等缺點(diǎn)。反觀Huang等[7]和Wu等[8]設(shè)計(jì)的橋式放大機(jī)構(gòu)不僅結(jié)構(gòu)緊湊,且機(jī)構(gòu)所得到的放大倍數(shù)和固有頻率都較大。在力學(xué)研究方面,郝云鋒等[9]設(shè)計(jì)了多級(jí)的嵌套菱形結(jié)構(gòu),并對(duì)其進(jìn)行了分析與計(jì)算。閆洪波等[10]采用計(jì)算鉸鏈中心點(diǎn)偏移量的方法來近似得出輸入輸出位移以計(jì)算放大倍率。林超等[11]通過能量守恒方法和彈性梁理論推導(dǎo)出了放大比公式和剛度計(jì)算解析式,并根據(jù)拉格朗日方程得出固有頻率計(jì)算方法。Ling等[12]綜合橋式和杠桿式柔順機(jī)構(gòu),提出一種結(jié)構(gòu)緊湊的新型混合三級(jí)兼容位移放大器,不僅在放大效率上有所提升,而且結(jié)構(gòu)尺寸僅為57 mm×50 mm×10 mm。Chen等[13]基于偽剛體法計(jì)算輸入變量與輸出變量的關(guān)系,通過仿真分析驗(yàn)證了理論計(jì)算的正確性。

但是,傳統(tǒng)許多針對(duì)橋式放大機(jī)構(gòu)的力學(xué)研究中,沒有明確菱形結(jié)構(gòu)與橋式結(jié)構(gòu)的區(qū)別,簡單地把橋式結(jié)構(gòu)簡化成用連桿代替的菱形結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析,這種不適當(dāng)?shù)暮喕赡軐?dǎo)致柔順機(jī)構(gòu)的理論預(yù)測不準(zhǔn)確。

為了說明和澄清菱形機(jī)構(gòu)和橋式機(jī)構(gòu)之間靜態(tài)建模的混淆。現(xiàn)給出位移放大比的精確解析,以提高柔順機(jī)構(gòu)的輸出位移的預(yù)測精度。然后,對(duì)橋式放大機(jī)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)度分析和動(dòng)態(tài)特性分析,并通過ANSYS仿真驗(yàn)證理論模型的正確性。最后基于最優(yōu)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法獲取數(shù)據(jù),通過徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和多島遺傳算法(multi-island genetic algorithm,MIGA)對(duì)橋式放大機(jī)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。預(yù)想通過靜力學(xué)分析對(duì)橋式放大機(jī)構(gòu)的放大倍數(shù)有更加精確預(yù)測,通過參數(shù)優(yōu)化能進(jìn)一步提高橋式放大機(jī)構(gòu)的放大倍率和固有頻率,擴(kuò)大橋式放大機(jī)構(gòu)的使用范圍和響應(yīng)速度。

1 結(jié)構(gòu)模型

圖1所示為橋式放大機(jī)構(gòu),該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)對(duì)稱,由8個(gè)柔性鉸鏈、4個(gè)連梁、2個(gè)平移桿,1個(gè)輸出塊和1個(gè)固定塊組成[14]。在兩個(gè)輸入端各產(chǎn)生Δx的輸入位移,相應(yīng)的在輸出塊位置產(chǎn)生2Δy的輸出位移。

t為柔性鉸鏈的厚度;t1為連接梁的厚度;d為橋式放大機(jī)構(gòu)的寬度;l1和l2分別為柔性鉸鏈和連接梁的長度;h為兩個(gè)柔性鉸鏈的間距;m1、m2、m3為連接梁的質(zhì)量;PZT為壓電陶瓷;Δx為壓電陶瓷的驅(qū)動(dòng)位移

2 靜力學(xué)分析

2.1 位移放大比分析

2.1.1 歐拉-伯努利梁模型

根據(jù)如圖1所示的橋式放大機(jī)構(gòu)取如圖2所示的一部分結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)分析,連接梁及柔性鉸鏈的受力方程為

圖2 部分結(jié)構(gòu)受力圖

fA=fB=fx=fPZT

(1)

2Mr=fxh

(2)

式中:fA和fB為連接梁所受的水平力;fx為柔性鉸鏈?zhǔn)艿睦?Mr為柔性鉸鏈?zhǔn)艿牧?fPZT為壓電陶瓷產(chǎn)生的輸入力。

根據(jù)能量守恒原理,力fPZT所做的功轉(zhuǎn)化為柔性鉸鏈的彎曲勢能和拉伸變形能。

(3)

式(3)中:Δx為輸入位移;Mr(x)為柔性鉸鏈?zhǔn)艿牧?fx(x)為柔性鉸鏈?zhǔn)艿妮S向力;A(x)和I(x)為柔性鉸鏈橫截面積和慣性矩;E為楊氏模量。

根據(jù)胡克定律,可以得到

fx=Kl1Δl1

(4)

式(4)中:fx為柔性鉸鏈所受的軸向拉力;Kl1、Δl1分別為柔性鉸鏈的拉伸剛度和軸向伸長量。

將式(4)代入式(3)并求解積分得到橋式放大機(jī)構(gòu)的軸向位移為

(5)

式(5)中:Kθ1為柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。

使用歐拉-伯努利梁理論計(jì)算變形梁的擾度作為輸出位移Δy,即

(6)

式(6)中:E1為修正后的楊氏模量。

對(duì)式(6)求解積分得到輸出位移為

(7)

式(7)中:l1、l2分別為柔性鉸鏈、連接梁的長度。

因此,聯(lián)立式(5)和式(7)得到歐拉-伯努利梁模型的放大比為

(8)

2.1.2 考慮連接梁變形的歐拉-伯努利梁模型

考慮連接梁的變形,則輸入力fPZT所做的功轉(zhuǎn)化為柔性鉸鏈和連接梁的彎曲勢能與拉伸變形能,得到橋式放大機(jī)構(gòu)的輸入位移為

(9)

式(9)中:Kθ2和Kl2為連接梁的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和拉伸剛度。

由剛度矩陣可知Kl1、Kθ1、Kθ2和Kl2的值分別為[15]

(10)

式(10)中:d為柔性鉸鏈的寬度;t為柔性鉸鏈的厚度。

當(dāng)d>10t時(shí),楊氏模量E應(yīng)修正為E1[15],即

(11)

式(11)中:v為泊松比。

柔性鉸鏈和連接梁的擾度之和作為橋式放大機(jī)構(gòu)的輸出位移Δy為

(12)

對(duì)式(12)求解積分得到輸出位移為

(13)

因此,聯(lián)立式(5)和式(13)得到考慮連接梁變形的歐拉-伯努利梁模型的放大比為

(14)

2.1.3 二自由度模型

Δy為輸出位移;fN為連接梁所受的拉力;α為變形前桿AB與水平線的夾角;α′為變形后桿AB與水平線的夾角;Δα=α-α′圖3 橋式機(jī)構(gòu)簡化原理圖

將橋式放大機(jī)構(gòu)簡化為如圖3所示的類似菱形的連桿結(jié)構(gòu)[16],機(jī)構(gòu)在輸入力的作用下從實(shí)線位置變?yōu)樘摼€位置,橋式放大機(jī)構(gòu)變形前連接梁兩端的柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A和點(diǎn)B,變形后連接梁兩端的柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)中心變成了點(diǎn)A′和點(diǎn)B′,桿AB的水平夾角α在輸入力作用下變?yōu)棣痢洹?/p>

由式(1)可知fA=fB=fx,根據(jù)圖3在連桿端點(diǎn)A處建立力矩和力方程為

fxh=2Mr=2Kθ1Δα

(15)

(16)

根據(jù)虛工原理,建立能量方程

fxΔx=fNΔl1+2MrΔα

(17)

聯(lián)立式(15)～式(17)可得橋式放大機(jī)構(gòu)的軸向位移Δx為

(18)

根據(jù)圖3可得

ly=lABsinα

(19)

式(19)中:lAB為點(diǎn)A和B之間的長度。

對(duì)式(19)兩邊求全微分得到

dly=lABcosαdα+sinαdlAB

(20)

用微小增量代替微分得

Δy=lABcosαΔα+sinαΔlAB

(21)

由式(15)和式(16)得到Δα和Δl1,并代入式(21)得

(22)

因此,聯(lián)立式(18)和式(22)得到二自由度模型的放大比為

(23)

將3種放大比模型以及單自由度模型[17]的計(jì)算結(jié)果與軟件Workbench17.0的仿真結(jié)果做比較。從圖4可以看出考慮連接梁變形的歐拉-伯努利梁模型的輸出位移值與仿真值最接近,說明考慮連接梁變形的歐拉-伯努利梁模型具有更高的預(yù)測精度。

圖4 各模型的放大比

2.2 應(yīng)力分析

要保證材料在彈性變形范圍內(nèi)產(chǎn)生形變,需要滿足最大應(yīng)力小于許用應(yīng)力,應(yīng)力為

(24)

式(24)中:W為柔性鉸鏈的抗彎截面系數(shù);A為柔性鉸鏈的截面面積。

3 動(dòng)態(tài)特性分析

對(duì)橋式放大機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性分析,因其只有y方向上一個(gè)自由度的輸出,取輸入位移為廣義坐標(biāo)q,根據(jù)圖1機(jī)構(gòu)模型,橋式放大機(jī)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)能可以表示為

(25)

式(25)中:q為輸入位移;d為輸出位移,根據(jù)式(23)求出d=Ramp2q。

根據(jù)拉格朗日方程[18],橋式放大機(jī)構(gòu)的等效質(zhì)量M和等效剛度K分別為

(26)

橋式放大機(jī)構(gòu)固有頻率為

(27)

4 理論模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證理論模型,采用ANSYS對(duì)放大機(jī)構(gòu)進(jìn)行有限元仿真,機(jī)構(gòu)尺寸如表1所示,材料選用AL-7075鋁合金,其彈性模量為71.7 GPa,泊松比為0.33,密度為2 810 kg/m3,屈服強(qiáng)度為503 MPa。根據(jù)放大機(jī)構(gòu)的尺寸選擇網(wǎng)格密度為0.5 mm。

將固定塊固定,在x軸兩端各輸入10 μm的位移,得到橋式放大機(jī)構(gòu)的輸出位移、固有頻率和應(yīng)力,應(yīng)力分布如圖5所示,將仿真值與理論值對(duì)比,對(duì)比結(jié)果如表2所示。

表2 仿真值與理論值比較分析

圖5 應(yīng)力分布圖

根據(jù)圖5的應(yīng)力分布圖可知,最大應(yīng)力產(chǎn)生在柔性鉸鏈中間處,最大應(yīng)力為40.58 MPa,遠(yuǎn)小于屈服極限,強(qiáng)度符合要求。從表2對(duì)比結(jié)果可以看出各性能的理論值誤差均在7%以內(nèi),證明了理論模型的正確性。

5 參數(shù)優(yōu)化

5.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的建立

由于橋式放大機(jī)構(gòu)的響應(yīng)與參數(shù)的關(guān)系難以用顯式函數(shù)擬合,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型屬于非線性模型,能夠通過有限的樣本點(diǎn)建立響應(yīng)與參數(shù)之間的關(guān)系模型,利用該模型預(yù)測非樣本點(diǎn)的響應(yīng)值,為橋式放大機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)提供優(yōu)化模型。以橋式放大機(jī)構(gòu)的放大倍數(shù)和固有頻率作為性能指標(biāo),柔性鉸鏈的長度l1和厚度t,連接梁的長度l2和厚度t1以及兩個(gè)鉸鏈的間距h尺寸作為參數(shù),各參數(shù)的取值范圍如表3所示,根據(jù)表3的取值范圍使用最優(yōu)拉丁超立方抽樣確定試驗(yàn)點(diǎn)并計(jì)算對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值,結(jié)果如表4所示。

表3 參數(shù)取值范圍

表4 試驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)表

(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是具有3層結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)類型,分別為輸入層、隱含層和輸出層。輸入層接收輸入信號(hào)并傳遞到隱含層,輸入層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)取決于輸入變量個(gè)數(shù),隱含層也稱中間層,該層中的隱元素使用非線性變換函數(shù)將輸入映射至新的空間。輸出層常用線性函數(shù)作為傳遞函數(shù),輸出層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)取決于響應(yīng)個(gè)數(shù)。根據(jù)本文5個(gè)參數(shù)兩個(gè)響應(yīng),構(gòu)建RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如圖6所示。

圖6 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

對(duì)于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),使用高斯函數(shù)[19]作為徑向基函數(shù),函數(shù)形式為

(28)

式(28)中:Fi為隱含層的輸出;X為n維輸入向量;Ci為權(quán)值向量,與X具有相同的維數(shù);σi為第i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)變量,其確定了基函數(shù)半徑;‖X-Ci‖為向量X-Ci的歐幾里德范數(shù);m為隱含層的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

5.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型擬合精度檢驗(yàn)

將表4中的數(shù)據(jù)當(dāng)作訓(xùn)練樣本,應(yīng)用MATLAB自帶工具箱中的newrb函數(shù)建立RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。采用最優(yōu)拉丁超立方抽樣設(shè)計(jì)10組檢驗(yàn)樣本點(diǎn),通過ANSYS仿真獲得橋式放大機(jī)構(gòu)這10組檢驗(yàn)樣本的放大倍數(shù)和固有頻率值列于表5,通過這10組檢驗(yàn)樣本點(diǎn)驗(yàn)證模型的擬合精度。

表5 檢驗(yàn)樣本

調(diào)用MATLAB中的sim函數(shù),輸入變量是表5中的10組數(shù)據(jù),得到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)放大倍數(shù)和固有頻率的預(yù)測,預(yù)測值分別用R′amp2和f′表示,如表6所示。

表6 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測結(jié)果

可決系數(shù)可以用來評(píng)價(jià)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的擬合精度,其計(jì)算公式[20]為

(29)

式(29)中:R2為可決系數(shù);Xi為預(yù)測值;Yi為模擬值;n為試驗(yàn)次數(shù);li為模擬值的平均值。

將表5檢驗(yàn)樣本中的響應(yīng)值與表6中的響應(yīng)預(yù)測值代入式(29),分別計(jì)算得到放大倍數(shù)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的可決系數(shù)R2=0.948 1和固有頻率RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的可決系數(shù)R2=0.941 2,R2均接近1,說明RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的擬合精度較高。圖7放大倍數(shù)與圖8固有頻率的仿真值和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測值非常接近,直觀地證明了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的擬合精度較高。

圖7 放大倍數(shù)模擬值與預(yù)測值對(duì)比圖

圖8 固有頻率模擬值與預(yù)測值對(duì)比圖

5.3 基于多島遺傳算法(MIGA)的多目標(biāo)優(yōu)化

MIGA將種群分成多個(gè)島嶼共同并行進(jìn)化,相比于其他算法,它適用于參數(shù)較多的尋優(yōu)。具有全局性,能避免陷入局部最優(yōu),而且求解速度快。在建立的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型內(nèi)進(jìn)行全局尋優(yōu),各結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍如表3所示,MIGA的參數(shù)值設(shè)置如表7所示。尋優(yōu)得到的參數(shù)值如表8所示。

表7 MIGA參數(shù)

表8 優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)

將參數(shù)優(yōu)化前與參數(shù)優(yōu)化后的性能指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比分析,對(duì)比結(jié)果如表9所示。由表9可知優(yōu)化后的放大倍數(shù)7.34,相比優(yōu)化前的6.33倍提高了16.0%,優(yōu)化后的固有頻率237 Hz,相比優(yōu)化前的198 Hz提高了19.7%,優(yōu)化結(jié)果符合預(yù)期,證明建立的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和采用的MIGA是準(zhǔn)確可靠的。

表9 橋式放大機(jī)構(gòu)優(yōu)化前與優(yōu)化后性能指標(biāo)

6 結(jié)論

(1)通過對(duì)比分析可知,將變形梁的擾度作為輸出位移,考慮連接梁變形的歐拉-伯努利梁模型對(duì)放大比的預(yù)測精度最高,通過仿真分析驗(yàn)證,放大倍數(shù)、固有頻率和最大應(yīng)力的理論值與仿真值的誤差均在7%以內(nèi),驗(yàn)證了理論模型的正確性。

(2)使用最優(yōu)拉丁超立方抽樣確定試驗(yàn)點(diǎn),用ANSYS仿真獲得試驗(yàn)點(diǎn)的放大倍數(shù)和固有頻率,采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論建立關(guān)鍵參數(shù)與響應(yīng)之間的非線性模型,為橋式放大機(jī)構(gòu)的尋優(yōu)提供近似模型,最后通過多島遺傳算法尋優(yōu),結(jié)果表明放大倍數(shù)提高了16.0%,固有頻率提高了19.7%,證明了所采用的優(yōu)化方法具有明顯效果。