祁燕茹

(浙江師范大學 數(shù)學與計算機科學學院，浙江金華 321004)

0 引言

設(shè)X和Y是Banach空間，有界線性算子T：X→Y的本性范數(shù)是它與將X映射為Y的緊算子集K的距離，即：

其中‖‖X→Y為算子范數(shù).

(1)

構(gòu)成，其中f∈H()，μ∈M.空間Fα關(guān)于范數(shù)

(2)

為Banach空間，其中μ∈M為滿足式(1)的所有復Borel測度.當α=1時，稱F1為Cauchy積分變換空間.分形Cauchy空間與規(guī)范化單葉函數(shù)空間S有密切的聯(lián)系，且對α>2，有E?Fα成立.[2]近年來，學者在一般分形Cauchy空間Fα上就復合算子、微分算子和乘積算子及其算子差分中有廣泛研究.[12-14]

設(shè)β>0，Bloch型空間Bβ為上使∞成立的解析函數(shù)全體構(gòu)成，且關(guān)于范數(shù)為Banach空間.小β-Bloch空間為Bβ的子空間，由所有f∈H()，且使得成立的函數(shù)全體組成.B1為Bloch空間，記為B.關(guān)于Bloch空間的更多內(nèi)容及定理見文獻[15].

DCφf(z)=φ′(z)f′(φ(z)) ，CφDf(z)=f′(φ(z)).

顯然，算子DCφ、CφD為復合算子Cφ和微分算子D的推廣.微分算子D在很多熟悉的全純函數(shù)空間上通常是無界的.具體算子(如復合算子、乘法算子、加權(quán)復合算子、Toeplitz算子和Hankel算子)的一個主要問題是將算子理論性質(zhì)與函數(shù)理論性質(zhì)聯(lián)系起來.

對任意φ∈S()，由Schwarz-Pick引理，得到算子Cφ在Bloch空間上有界.1995年，Madigan和Matheson證明了Cφ：B→B緊當且僅當年，Montes-Rodrieguez得到了Cφ：B→B的本性范數(shù)的確切值

近年來，人們對單位圓盤上的一些全純函數(shù)空間上的乘積型算子越來越關(guān)注.文獻[11]首次刻畫了Bergman空間和Hardy空間之間算子DCφ的有界性和緊性.文獻[28]研究了加權(quán)函數(shù)空間和Bloch空間到Zygmund空間算子DCφ的有界性和緊性.文獻[29]考慮了Hardy空間H2上算子CφD的有界性和緊性.Ohno對Bloch空間以及小Bloch上的復合算子與微分算子的乘積DCφ和算子CφD的有界性和緊性進行了刻畫，相關(guān)結(jié)果參見文獻[9].文獻[10]考慮了作用于加權(quán)Bergman空間和Bloch型空間之間的算子DCφ和CφD.最近，文獻[4]對于算子DCφ和算子CφD在分形Cauchy空間Fα和Bloch型空間Bβ中進行研究，對DCφ：Fα→Bβ和CφD：Fα→Bβ有界性和緊性給出了一些充分必要條件，相關(guān)結(jié)果如定理1、定理2所示.

定理1 固定α>0，且假設(shè)β≥2.設(shè)φ∈S()，假設(shè)DCφ：Fα→Bβ有界，則下列陳述等價：

(1)DCφ：Fα→Bβ緊；

定理2 固定α>0，且假設(shè)β≥1.設(shè)φ∈S()，假設(shè)CφD：Fα→Bβ有界，則下列陳述等價：

(1)CφD：Fα→Bβ緊；

對于算子的本性范數(shù)估計，學者在文獻[24-26]中給出了新的估計方法，并利用加權(quán)復合算子在加權(quán)函數(shù)空間的相關(guān)結(jié)論給出算子有界性、緊性以及本性范數(shù)的新的刻畫.

受定理1、定理2以及上述方法啟發(fā)，本文的目的是對算子DCφ：Fα→Bβ、CφD：Fα→Bβ的本性范數(shù)進行估計.此外，對于算子DCφ：Fα→Bβ及CφD：Fα→Bβ的有界性、緊性和本性范數(shù)，我們在文中給出了一個新的刻畫.

在本文中，關(guān)系a≈b意為ab且ba，即存在正整數(shù)C1和C2，使得a≤C1b且b≤C2a.

1 預備知識

后續(xù)討論所需的基本知識和相關(guān)引理均在相關(guān)文獻中給出并證明.

對每個w∈，有成立.[2]

引理1[2]固定α>0，對固定的z∈，f∈Fα和非負整數(shù)n，由關(guān)系式(1)知，存在一個與f無關(guān)的正常數(shù)C(只與n有關(guān))，使得

(3)

引理2[1]設(shè)α>0，固定w∈，對任意的非負整數(shù)n，定義

(4)

則有fw(z)∈Fα，且對所有的w∈，存在一常數(shù)C，使得

引理3[1]設(shè)α>0，固定w∈，對任意的非負整數(shù)n，定義

(5)

則有g(shù)w(z)∈Fα，且對所有的w∈，存在一常數(shù)C，使得

引理2和引理3將用于構(gòu)造Fα中的測試函數(shù)，證明見文獻[6].

引理4[5]設(shè)X，Y為單位圓盤上解析函數(shù)組成的Banach空間，假設(shè)：

(1)Y上的點值泛函連續(xù)；

(2)在緊集一致收斂拓撲中，X的閉單位球是X的緊子集；

(3)當X和Y給定緊集上一致收斂的拓撲時，T：X→Y是連續(xù)的；

則T為一緊算子當且僅當給定X中一有界序列{fn}，使得在緊集上有fn一致收斂到0，則在Y范數(shù)下，序列{Tfn}收斂到0.

2 DCφ：Fα→Bβ的本性范數(shù)

在本節(jié)，我們就分形Cauchy空間到Bloch型空間的復合算子Cφ與微分算子乘積DCφ的本性范數(shù)給出估計.

令a∈，定義；.

定理3 固定α>0，且假設(shè)β≥2.設(shè)φ∈S()，假設(shè)DCφ：Fα→Bβ有界，則

(6)

由于DCφ：Fα→Bβ有界，有

因此，由本性范數(shù)的定義，得：

即式(6)成立.

接下來，證明

(7)

成立.設(shè){zj}j∈為中一序列，當j→∞時，使|φ(zj)|→1.定義

由引理可知，kj、lj均屬于空間Fα，且均在的緊子集上一致收斂到0.此外，有以及成立，而對任意緊算子K：Fα→Bβ，有：

以及

由本性范數(shù)定義，又有

以及

現(xiàn)在，證明

(8)

對r∈[0，1)，設(shè)Kr：H()→H()有如下定義

(Krf)(z)=fr(z)=f(rz)，f∈H().

很顯然，當r→1時，在的緊子集上有fr一致收斂到f.此外，算子Kr在空間Fα上緊，且有設(shè){rj}?(0，1)為一序列，且當j→∞時，有rj→1成立.對正整數(shù)j，算子DCφKrj：Fα→Bβ緊.由本性范數(shù)定義，有

(9)

為了證明式(8)成立，僅需證明

(10)

和

(11)

(12)

很顯然，有：

(13)

現(xiàn)在，考慮

(14)

其中N∈足夠大，使對所有j≥N，有且

由于DCφ：Fα→Bβ有界，由文獻[4]中的定理3，我們有

(15)

當j→∞時，在的緊子集上，rjfrj′一致收斂到f′，則有

(16)

結(jié)合式(14)，得

(17)

同樣，當j→∞時，在的緊子集上有rj2frj″一致收斂到f″，故有

(18)

對上式取極限N→∞，得

因此，

(19)

對上式取極限N→∞，得

因此，

(20)

由式(12)～式(20)，可得

(21)

3 CφD：Fα→Bβ的本性范數(shù)

在本節(jié)，對分形Cauchy空間到Bloch型空間的復合算子Cφ與微分算子乘積CφD的本性范數(shù)給出估計.

令a∈，定義.

定理4 固定α>0，且假設(shè)β≥1.設(shè)φ∈S()，假設(shè)DCφ：Fα→Bβ有界，則其中

(22)

由于CφD：Fα→Bβ有界，故有

接下來證明

(23)

設(shè){zj}j∈為中一序列，當j→∞時，使得|φ(zj)|→1.

由引理知，mj屬于空間Fα，且在的緊子集上一致收斂到0.此外，有則對任意緊算子K：Fα→Bβ，有

由本性范數(shù)定義，有

現(xiàn)在證明

(24)

類似于定理3的證明，同樣對r∈[0，1)，定義Kr：H()→H() ，(Krf)(z)=fr(z)=f(rz)，f∈H().

對緊算子Kr，設(shè){rj}?(0，1)為一序列，且當j→∞時，有rj→1，對正整數(shù)j，算子DCφKrj：Fα→Bβ緊.由本性范數(shù)定義，有

(25)

為了證明式(24)，僅需證明

(26)

和

(27)

(28)

很顯然，有：

(29)

現(xiàn)在，考慮

(30)

其中N∈足夠大，使得對所有j≥N，有且：

由于CφD：Fα→Bβ有界，由文獻[4]中的定理3，有φ=CφD(z2/2)∈Bβ，且

(31)

當j→∞時，在的緊子集上有rj2frj″一致收斂到f″，則有

(32)

對上式取極限N→∞，得

因此，

P2GC

(33)

由式(28)～式(30)及式(32)、式(33)，可得

(34)

4 DCφ：Fα→Bβ的新刻畫

本節(jié)給出了算子DCφ：Fα→Bβ的有界性、緊性和本性范數(shù)的一個新刻畫.在證明相關(guān)定理之前，先給出一些定義以及后續(xù)定理證明中將要用到的一些引理.

設(shè)v：→R+是一個連續(xù)、嚴格正且有界的函數(shù)，加權(quán)空間為所有滿足∞的解析函數(shù)(f∈H())組成.在范數(shù)下為一Banach空間.若對所有的z∈，有v(z)=v(|z|)，此時權(quán)v稱為徑向的.v的關(guān)聯(lián)權(quán)重定義如下：[7]

引理6[8]設(shè)v和w是徑向的，是在的邊界處趨于零的非遞增權(quán)重，則下列陳述成立：

引理7[7]設(shè)v和w是徑向的，是在的邊界處趨于零的非遞增權(quán)重，則下列陳述成立：

定理5 設(shè)α為一正整數(shù)，β≥2，且φ∈S()，則算子DCφ：Fα→Bβ有界當且僅當

(35)

證明：由文獻[4]，算子DCφ：Fα→Bβ有界當且僅當

(36)

由引理5，有DCφ：Fα→Bβ有界當且僅當

定理5證明完成.

定理6 設(shè)α為一正整數(shù)，β≥2，且φ∈S()，假設(shè)算子DCφ：Fα→Bβ有界，則其中

本性范數(shù)的上限估計由(DCφf)′(z)=f″(φ(z))(φ′(z))2+f′(φ(z))φ″(z).很容易有

對于本性范數(shù)的下限估計.由定理3、引理5以及引理6，有

定理7 設(shè)α為一正整數(shù)，β≥2，且φ∈S()，假設(shè)算子DCφ：Fα→Bβ有界，則算子DCφ：Fα→Bβ緊當且僅當和

5 CφD：Fα→Bβ的新刻畫

定理8 設(shè)α為一正整數(shù)，β≥1，且φ∈S()，則算子CφD：Fα→Bβ有界當且僅當

(37)

證明：由文獻[4]，算子CφD：Fα→Bβ有界當且僅當

(38)

定理8證明完成.

定理9 設(shè)α為一正整數(shù)，β≥1，且φ∈S()，假設(shè)算子CφD：Fα→Bβ有界，則

本性范數(shù)的上限估計由(CφDf)′(z)=f″(φ(z))φ′(z)確定.很容易有

對于本性范數(shù)的下限估計，同樣，由定理4、引理5以及引理6，有

定理10 設(shè)α為一正整數(shù)，β≥1，且φ∈S().假設(shè)算子CφD：Fα→Bβ有界，則算子CφD：Fα→Bβ緊當且僅當

致謝：衷心感謝導師胡俊云教授的悉心指導.