艾 錢
(浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,浙江金華 321004)
(0.1)
近年來,分形Cauchy空間Fα在復(fù)合算子、求導(dǎo)算子和積分算子中有廣泛研究.[1-8]特別地,分形Cauchy空間與規(guī)范化單葉函數(shù)空間E有密切的關(guān)系,對α>2,成立E?Fα[9].
設(shè)β>0,Bloch型空間Bβ定義為全體f∈H()滿足
Zygmund型空間Zβ定義為全體f∈H()滿足
設(shè)φ∈S,定義H()上的由φ導(dǎo)出的復(fù)合算子Cφ為
Cφf(z)=f(φ(z)),f∈H().
對g∈H(),由g導(dǎo)出的Volterra型積分算子定義如下:
當(dāng)g(z)=-log(1-z)時,算子Jg與Cesàro算子一致. 另一個由g導(dǎo)出的積分算子Ig定義如下:
由g∈H()導(dǎo)出的乘子算子Mg定義為Mgf(z)=g(z)f(z),其與積分算子Jg和Ig滿足下面的關(guān)系:
Jgf+Igf+f(0)g(0)=Mgf.
近40年來,對在不同背景(空間)下的復(fù)合算子有了廣泛的研究. 經(jīng)典文獻(xiàn)[10]和[11]系統(tǒng)研究了復(fù)合算子在解析函數(shù)空間的基本理論性質(zhì),特別地,對算子理論性質(zhì)和誘導(dǎo)該算子的函數(shù)性質(zhì)之間的研究尤為深刻. 基于文獻(xiàn)[12]對Volterra型算子在解析函數(shù)空間中的工作(Volterra型算子在Hardy空間H2中有界當(dāng)且僅當(dāng)g∈BMOA等),對積分算子Jg和Ig在不同函數(shù)空間中相繼有了廣泛的研究,Aleman和Siskakis研究了Hardy空間和Bergman空間上積分算子的有界性和緊性.[13-14]
隨著算子理論研究的不斷深入,很多學(xué)者考慮不同解析函數(shù)空間上兩個(類)算子的乘積,復(fù)合算子與積分算子的乘積在不同函數(shù)空間的性質(zhì)成為近年來研究的熱點. Li和Stevic研究了幾類不同解析函數(shù)空間上復(fù)合算子與積分算子乘積的有界性和緊性;[15-17]Hibschweiler研究了從分形Cauchy空間到Bloch型空間復(fù)合算子與求導(dǎo)算子乘積的有界性和緊性.[18]引用文獻(xiàn)[15-18]中證明所用到的工具和方法,本文考慮分形Cauchy空間到Zygmund型空間復(fù)合算子與兩類積分算子的乘積
并給出刻畫以上乘積算子有界或成為緊的充分條件和必要條件.
本節(jié),我們回顧一些基本知識和預(yù)備引理.
文獻(xiàn)[19]中,緊算子的定義如下:
函數(shù)空間中算子的緊性有很多等價的條件,根據(jù)文獻(xiàn)[11]中的定理1.3.3,我們給出積分算子JgCφ(CφJ(rèn)g,IgCφ,CφIg):Fα→Zβ緊的充要條件.
引理1 設(shè)α,β>0,φ∈S,g∈H(),令算子T=JgCφ,CφJ(rèn)g,IgCφ或CφIg. 則算子T:Fα→Zβ是緊的當(dāng)且僅當(dāng)對任意Fα中在的緊子集一致收斂于0的有界函數(shù)列{fn}(n→∞),當(dāng)n→∞時
文獻(xiàn)[20]中,Shapiro給出了復(fù)合算子緊的必要條件.
文獻(xiàn)[21]給出了復(fù)合算子在Bloch型空間中有界和緊的等價條件.
引理3 設(shè)α,β>0,φ∈S,則下列結(jié)論成立:
(1)算子Cφ:Bα→Bβ有界當(dāng)且僅當(dāng)
(1.1)
(2)算子Cφ:Bα→Bβ是緊的當(dāng)且僅當(dāng)φ∈Bβ且
(1.2)
根據(jù)關(guān)系式(0.1),Hibschweiler[9]證明對每個w∈,有且下面的結(jié)論成立.
引理4 設(shè)α>0,對函數(shù)f∈Fα和非負(fù)整數(shù)n,存在一個與f無關(guān)的正常數(shù)C使得
(1.3)
引理5[22]設(shè)α>0,固定w∈,對任意的非負(fù)整數(shù)n定義
(1.4)
在本文中,記XY表示存在一個正常數(shù)C使得X≤CY.
本節(jié),我們刻畫從分形Cauchy空間到Zygmund型空間的積分型復(fù)合算子JgCφ和CφJ(rèn)g的有界性和緊性.
首先,令g=φ,利用引理3對算子JφCφ:Fα→Zβ(0<β<1)的有界性和緊性進行刻畫.
定理1 設(shè)φ∈S,對α>0和0<β<1,下列結(jié)論相互等價:
(1)JφCφ:Fα→Zβ是有界的;
(2)JφCφ:Fα→Zβ是緊的;
證明:(2)?(1)是顯然的.
(1)?(3):假設(shè)JφCφ:Fα→Zβ有界,則存在一個常數(shù)C,對所有的f∈Fα,有
(2.1)
(2.2)
因此,有φ∈Zβ,根據(jù)式(2.1)和式(2.2),又有
(2.3)
即φ∈Bβ/2.
對固定的w∈,定義函數(shù)
(2.4)
(2.5)
將式(2.5)中的z用w代替,得
(2.6)
因此,有
(2.7)
再由式(2.3),有
(2.8)
根據(jù)式(2.7)和式(2.8),有
(2.9)
因此,可以得到
結(jié)合上式和引理3的條件(1)可知:Cφ:Bβ/2→Bβ/2有界.
進一步,通過式(2.9)知,當(dāng)|φ(w)|→1時,有
根據(jù)引理1,設(shè){fn}為Fα中有界且當(dāng)n→∞時在的緊子集中一致收斂于0的函數(shù)列. 只需證明當(dāng)n→∞時,有
注意到|(JφCφfn)(0)|=0,又n→∞時{fn}在的緊子集一致收斂于0,所以,當(dāng)n→∞時,有|(JφCφfn)′(0)|=|fn(φ(0))φ′(0)|→0. 根據(jù)式(2.3),對z∈有
(1-|z|2)β|(JφCφfn)″(z)|=
(1-|z|2)β|fn′(φ(z))(φ′(z))2+fn(φ(z))φ″(z)|
由于{fn′}當(dāng)n→∞時在的緊子集一致收斂于0,有
根據(jù)定理1及證明,有下面的結(jié)論.
推論1 設(shè)α,β>0,φ∈S,若α+1>β,則下列的結(jié)論相互等價:
(1)JφCφ:Fα→Zβ是有界的;
(2)JφCφ:Fα→Zβ是緊的;
對任意g∈H(),利用符號φ和g刻畫乘積算子JgCφ:Fα→Zβ的有界性和緊性.
定理2 設(shè)α,β>0,φ∈S,g∈H(),則下面的結(jié)論成立.
(1)算子JgCφ:Fα→Zβ有界當(dāng)且僅當(dāng)
(2.10)
(2.11)
(2)若算子JgCφ:Fα→Zβ有界,則算子JgCφ:Fα→Zβ為緊的當(dāng)且僅當(dāng)
(2.12)
(2.13)
證明:(1)充分性. 假設(shè)式(2.10)和式(2.11)成立,對任意f∈Fα,根據(jù)式(2.10)和引理4,有
(2.14)
同理,根據(jù)式(2.11)和引理4,有
(2.15)
結(jié)合式(2.14)和式(2.15),有
必要性. 假設(shè)算子JgCφ:Fα→Zβ有界.定理1中(1)?(3)的證明相同,再次利用測試函數(shù)f(z)=1,z∈Fα和算子JgCφ:Fα→Zβ的有界性可知:
(2.16)
(2.17)
根據(jù)式(2.16)和式(2.17),有
(2.18)
因此,有
(2.19)
利用算子JgCφ:Fα→Zβ的有界性和定理1證明中的式(2.4)定義的函數(shù)fw(z)∈Fα,可得:
(2.20)
結(jié)合式(2.19)和式(2.20)可知,式(2.10)成立.
對每個w∈,定義函數(shù)
(2.21)
通過簡單計算,可知:
因此,將式(2.21)中的z用w代替,得
(2.22)
因此,式(2.11)成立,(1)證明完畢.
(2)充分性. 假設(shè)算子JgCφ:Fα→Zβ有界且式(2.12)和式(2.13)成立,要證算子JgCφ:Fα→Zβ為緊的. 根據(jù)引理1,設(shè){fn}為Fα中有界且當(dāng)n→∞時在的緊子集中一致收斂于0的函數(shù)列,只需證明當(dāng)n→∞時,
根據(jù)引理4,存在僅與α有關(guān)的正常數(shù)C,使對n=1,2,…,和z∈,有
由上式和式(2.12)知,對任意給定ε>0,存在一個r0∈(0,1),使得
(2.23)
由算子JgCφ:Fα→Zβ的有界性知式(2.18)成立. 因此,有
(1-|z|2)β|fn′(φ(z))φ′(z)g′(z)||fn′(φ(z))|.
又因為{fn′}在的緊子集一致收斂于0,因此,存在N>0,使得當(dāng)n>N時,有
(2.24)
由式(2.23)和式(2.24),當(dāng)n>N時,有
(2.25)
同理,根據(jù)式(2.13)和算子JgCφ:Fα→Zβ的有界性(式(2.16)成立)可知,存在N1>0,使得當(dāng)n>N1時,有
(2.26)
由式(2.25)和式(2.26),可得
(2.27)
必要性. 假設(shè)算子JgCφ:Fα→Zβ是緊的,自然地,算子JgCφ:Fα→Zβ有界,證明式(2.12)和式(2.13)成立.
(2.28)
(2.29)
將上述結(jié)果帶入式(2.29),有
又|φ(zn)|→1,(n→∞),因此,式(2.12)成立.
同理,定義Fα中的函數(shù)如下:
根據(jù)算子JgCφ:Fα→Zβ的緊性可得式(2.12)成立,(2)證明完畢.
推論2 設(shè)α,β>0,φ∈S,g∈H(),若則下列的結(jié)論相互等價:
(1)JgCφ:Fα→Zβ是有界的;
(2)JgCφ:Fα→Zβ是緊的;
對于算子CφJ(rèn)φ:Fα→Zβ(g=φ時),不能得到與定理1類似的結(jié)論.
接下來,對乘積算子CφJ(rèn)g:Fα→Zβ的有界性和緊性進行刻畫.
定理3 設(shè)α,β>0,φ∈S,g∈H(),則下列結(jié)論成立.
(1)算子CφJ(rèn)g:Fα→Zβ有界當(dāng)且僅當(dāng)
(2.30)
(2.31)
(2)若算子CφJ(rèn)g:Fα→Zβ有界,則算子CφJ(rèn)g:Fα→Zβ為緊的當(dāng)且僅當(dāng)
(2.32)
(2.33)
證明:(1)充分性. 假設(shè)式(2.30)和式(2.31)成立,對任意f∈Fα,根據(jù)引理4
(2.34)
和
(2.35)
必要性. 假設(shè)算子CφJ(rèn)g:Fα→Zβ有界,與定理2相同,使用測試函數(shù)f(z)=1,z∈Fα,由算子CφJ(rèn)g:Fα→Zβ的有界性可得
(2.36)
(2.37)
結(jié)合式(2.36)和式(2.37),得
(2.38)
根據(jù)式(2.38),可得
(2.39)
利用算子CφJ(rèn)g:Fα→Zβ的有界性和定理1、定理2的證明所定義的函數(shù)fw,hw∈Fα,有
(2.40)
和
(2.41)
根據(jù)式(2.40)可知,式(2.31)成立,根據(jù)(2.41),有
(2.42)
根據(jù)式(2.39)和式(2.42)可知,式(2.30)成立,(1)證明完畢.
(2)充分性. 假設(shè)算子CφJ(rèn)g:Fα→Zβ有界且式(2.32)和式(2.33)成立,根據(jù)引理1,設(shè){fn}為Fα中有界且當(dāng)n→∞時在的緊子集中一致收斂于0的函數(shù)列,只需證明(n→∞)即可.
根據(jù)引理4,存在僅與α有關(guān)的正常數(shù)C,使得對n=1,2,…,和z∈,有
由上式和式(2.33)知,對任意給定ε>0,存在一個r0∈(0,1),使得
(2.43)
由算子CφJ(rèn)g:Fα→Zβ的有界性可知,式(2.38)成立,因此,有
(1-|z|2)β|fn′(φ(z))g′(φ(z))φ′(z)2||fn′(φ(z))|.
又因為{fn′}在的緊子集一致收斂于0,因此,存在N>0,使得當(dāng)n>N時,有
(2.44)
由式(2.43)和式(2.44)可知,當(dāng)n>N時,有
(2.45)
同理,由式(2.32)可知,存在N1>0,使得當(dāng)n>N1時,有
(2.46)
根據(jù)式(2.45)和式(2.46),有
(2.47)
同理,當(dāng)n→∞時,|CφJ(rèn)gfn(0)|→0,|CφJ(rèn)gfn′(0)|→0.
必要性. 假設(shè)算子CφJ(rèn)g:Fα→Zβ是緊的. 由定理2證明中定義的函數(shù)fn和hn,可知
由引理5可知,fn、hn∈Fα且fn、hn在的緊子集中一致收斂于0,且
(2.48)
(2.49)
根據(jù)定理2中(2)的證明,結(jié)合式(2.48)和式(2.49),根據(jù)引理1及算子CφJ(rèn)g:Fα→Zβ的緊性,可知式(2.32)和式(2.33)成立,證畢.
推論3 設(shè)α,β>0,φ∈S,g∈H(),若則下列的結(jié)論相互等價:
(1)CφJ(rèn)g:Fα→Zβ是有界的;
(2)CφJ(rèn)g:Fα→Zβ是緊的;
(2.50)
本節(jié),刻畫分形Cauchy空間到Zygmund型空間的積分型算子IgCφ和CφIg的有界性和緊性. 與定理1相同,當(dāng)g=φ時,利用引理3對算子IφCφ:Fα→Zβ(0<β<1)的有界性和緊性進行刻畫.
定理4 設(shè)φ∈S,對α>0和0<β<1,下列的結(jié)論相互等價:
(1)IφCφ:Fα→Zβ是有界的;
(2)IφCφ:Fα→Zβ是緊的;
證明:(2)?(1)是顯然的.
(2.51)
即φ∈Bβ,且
(2.52)
對固定的w∈,定義函數(shù)
(2.53)
(2.54)
將式(2.54)中的z用w代替,得
(2.55)
因此,有
(2.56)
結(jié)合式(2.52)和式(2.56),有
(2.57)
因此,可以得到
結(jié)合上式和引理3中的(1)可知,Cφ:Bβ→Bβ有界. 進一步,通過式(2.57)可知,當(dāng)|φ(w)|→1時,有
同理,根據(jù)引理1,設(shè){fn}為Fα中有界且當(dāng)n→∞時在的緊子集中一致收斂于0的函數(shù)列. 只需證明當(dāng)n→∞時,有
注意到|IφCφfn(0)|=0和當(dāng)n→∞時,有|(IφCφfn)′(0)|→0. 根據(jù)式(2.51),對z∈,有
(1-|z|2)β|(IφCφfn)″(z)|=
(1-|z|2)β|fn″(φ(z))φ(z)φ′(z)+fn′(φ(z))φ′(z)|
由于{fn′},{fn″}當(dāng)n→∞時在的緊子集一致收斂于0,故有
根據(jù)定理4的證明,有下面的結(jié)論.
推論4 設(shè)α,β>0,φ∈S,若α+1>β,則下列的結(jié)論相互等價:
(1)IφCφ:Fα→Zβ是有界的;
(2)IφCφ:Fα→Zβ是緊的;
定理5 設(shè)α,β>0,φ∈S,g∈H(),則下列結(jié)論成立.
(1)算子IgCφ:Fα→Zβ有界當(dāng)且僅當(dāng)
(2.58)
(2.59)
(2)若算子IgCφ:Fα→Zβ有界,則算子IgCφ:Fα→Zβ為緊的當(dāng)且僅當(dāng)
(2.60)
(2.61)
證明:(1)充分性. 假設(shè)式(2.58)和式(2.59)成立,對任意f∈Fα,根據(jù)式(2.58)和引理4,有
(2.62)
同理,根據(jù)式(2.59)和引理4,有
(2.63)
(2.64)
(2.65)
根據(jù)式(2.64)和式(2.65),有
(2.66)
根據(jù)式(2.64)和式(2.66),有
(2.67)
(2.68)
利用算子IgCφ:Fα→Zβ的有界性和定理4證明中的式(2.53)定義的函數(shù)f1,w(z)∈Fα,可得
則有
(2.69)
根據(jù)式(2.67)和式(2.69)可知,式(2.58)成立.
對每個w∈,定義函數(shù)
(2.70)
因此,將式(2.70)中的z用w代替,得
因此,有
(2.71)
根據(jù)式(2.68)和式(2.71)可知,式(2.59)成立,(1)證明完畢.
(2)充分性. 假設(shè)算子IgCφ:Fα→Zβ有界且式(2.60)和式(2.61)成立,要證明算子IgCφ:Fα→Zβ為緊的,根據(jù)引理1,設(shè){fn}為Fα中有界且當(dāng)n→∞時在的緊子集中一致收斂于0的函數(shù)列,只需證明當(dāng)n→∞時
根據(jù)引理4,存在僅與α有關(guān)的正常數(shù)C,使得對n=1,2,…,和z∈,有
由上式和式(2.60)可知,對任意給定的ε>0,存在一個r0∈(0,1),使得
(2.72)
由算子IgCφ:Fα→Zβ的有界性可知,式(2.64)成立. 因此,有
(1-|z|2)β|fn′(φ(z))g′(z)||fn′(φ(z))|.
又因為{fn′}在的緊子集一致收斂于0,因此,存在N>0,使得當(dāng)n>N時,有
(2.73)
由式(2.72)和式(2.73),當(dāng)n>N時,有
(2.74)
同理,根據(jù)算子IgCφ:Fα→Zβ的有界性可知,式(2.66)成立,再由式(2.61)可知,存在N1>0,使得當(dāng)n>N1時,有
(2.75)
根據(jù)式(2.74)和式(2.75)
(2.76)
(2.77)
(2.78)
帶入式(2.78),有
(2.79)
又|φ(zn)|→1,(n→∞),根據(jù)式(2.79),即可得證式(2.60).
定義函數(shù)
推論5 設(shè)α,β>0,φ∈S,g∈H(),若則下列的結(jié)論相互等價:
(1)IgCφ:Fα→Zβ是有界的;
(2)IgCφ:Fα→Zβ是緊的;
定理6 設(shè)α,β>0,φ∈S,g∈H(),則下列結(jié)論成立.
(1)算子CφIg:Fα→Zβ有界當(dāng)且僅當(dāng)
(2.80)
(2.81)
(2)若算子CφIg:Fα→Zβ有界,則算子CφIg:Fα→Zβ為緊的當(dāng)且僅當(dāng)
(2.82)
(2.83)
證明:(1)充分性. 假設(shè)式(2.80)和式(2.81)成立,對任意f∈Fα,根據(jù)引理4、式(2.80)和式(2.81),存在正常數(shù)C,使得
(2.84)
(2.85)
必要性. 假設(shè)算子CφIg:Fα→Zβ有界,使用測試函數(shù)f(z)=z,z2/2∈Fα,由算子CφIg:Fα→Zβ的有界性,可得
(2.86)
(2.87)
根據(jù)式(2.86)和式(2.87),可得
(2.88)
根據(jù)式(2.86)和式(2.88),可得
(2.89)
(2.90)
根據(jù)定理4、定理5的證明所定義的函數(shù)f1,w,h1,w∈Fα,利用算子CφIg:Fα→Zβ的有界性,有
(2.91)
(2.92)
根據(jù)式(2.91)和式(2.92),有
(2.93)
(2.94)
結(jié)合式(2.89)、式(2.90)、式(2.93)和式(2.94)可知,式(2.80)、式(2.81)成立.
(2)充分性. 根據(jù)引理1,使用與定理5中(2)的證明相同的方法可直接得到.
必要性. 根據(jù)定理5的證明及其定義的函數(shù)f1,n,h1,n∈Fα,再由引理1和算子CφIg:Fα→Zβ的緊性,可知式(2.82)和式(2.83)成立,證明完畢.
推論6 設(shè)α,β>0,φ∈S,g∈H(),若則下列的結(jié)論相互等價:
(1)CφIg:Fα→Zβ是有界的;
(2)CφIg:Fα→Zβ是緊的;
致謝:衷心感謝導(dǎo)師胡俊云教授對論文的悉心指導(dǎo)!