吳仕明

平面向量最值問題的常見命題形式有：（1）求兩個(gè)向量數(shù)量積的最值；（2）求某個(gè)向量的模的最值；（3）求參數(shù)或代數(shù)式的最值.平面向量最值問題具有較強(qiáng)的綜合性，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算和分析能力有較高的要求.下面以一道平面向量最值問題為例，談一談解答此類問題的“妙招”.

題目：已知平面向量 ， ， （≠0）滿足||=1，||=2， ?=0， （-?=0，若向量在 ， 方向上的投影分別為x，y，-在向量方向上的投影為 z ，則 x2+y2+z2的最小值為? .

題目中給出的條件較多，需先根據(jù)題意理清各種關(guān)系，根據(jù)向量的模的公式、數(shù)乘運(yùn)算法則、數(shù)量積公式、投影的定義建立關(guān)于 x、y、z 的關(guān)系式，將目標(biāo)式中變量的個(gè)數(shù)減少，從而將問題轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值；再利用配方法、柯西不等式、導(dǎo)數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法求解.

一、配方

配方法只適用于解答含有二次式的代數(shù)問題.若平面向量最值問題中的目標(biāo)式為二次式，則可采用配方法.先將目標(biāo)式配成完全平方式；然后根據(jù)完全平方式恒大于或等于0的性質(zhì)，令完全平方式為0，即可求得目標(biāo)式的最小值.

解法1.

根據(jù)題意求得 z 的表達(dá)式后，將其代入 x 2 + y2 + z 2 中，即可將目標(biāo)式化為只含有 x、y 的式子.而該式為二次式，將其配方，得到 1 5 （3x + 2 3 y - 4 3 ） 2 + 10 9 （y - 1 5 ） 2 + 2 5 ，分別令兩個(gè)完全平方式為0，即可得到目標(biāo)式的最小值.

二、運(yùn)用柯西不等式

柯西不等式是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式，也是解答最值問題的重要工具. 二維柯西不等式： （a2 + b 2 ）（c 2 + d2 ） ≥（ac + bd） 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) ad = bc時(shí)取等號(hào)，其變形式為 ac + bd ≤ （a2 + b 2 ）（c 2 + d2 ） .在解答平面向量最值問題時(shí)，可將目標(biāo)式配湊成兩積式的和、兩平方式的積，便可直接運(yùn)用柯西不等式求得目標(biāo)式的最值.

解法2

我們由 x 2 + y2 + z 2 聯(lián)想到柯西不等式中的平方和式，于是配湊上系數(shù)2、1、- 5 ，即可得到三個(gè)積式的和，運(yùn)用柯西不等式就能快速求得目標(biāo)式的最值.值得注意的是，運(yùn)用柯西不等式求得最值后，還要對(duì)取等號(hào)的情形進(jìn)行檢驗(yàn).

三、導(dǎo)數(shù)法

導(dǎo)數(shù)法是解答最值問題的常用方法.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解答平面向量最值問題，往往需先確定自變量及其取值范圍；然后將目標(biāo)式看作函數(shù)式，并對(duì)其求導(dǎo)；再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0、小于0，確定函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定函數(shù)的極大（?。┲?，所得的極值即為函數(shù)的最值.

解法3

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解答平面向量最值問題，關(guān)鍵是構(gòu)造出合適的函數(shù)式.構(gòu)造函數(shù)式的方式有兩種：一是直接將目標(biāo)式視為函數(shù)式，二是先對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，再構(gòu)造函數(shù)式.

四、數(shù)形結(jié)合法

在解答平面向量最值問題時(shí)，可仔細(xì)挖掘目標(biāo)式的幾何意義，如將 x 2 + y2 看作點(diǎn) （x，y） 與原點(diǎn)的距離的平方，將 ax 看作一條直線，再畫出相應(yīng)的幾何圖形，便可通過研究圖形中的點(diǎn)、直線、曲線的位置關(guān)系，確定目標(biāo)式取得最值的情形，從而求得問題的答案.

解法4

我們將目標(biāo)式中的 x 2 + y2 看作線段 OP 長度的平方，將 （2x + y - 2） 2 5 看作 P 到直線 2x + y - 2 = 0 的距離的平方，便可將問題轉(zhuǎn)化為距離問題，通過研究點(diǎn) O、 P、Q 以及直線之間的位置關(guān)系確定目標(biāo)式取最小值的情形，最后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解.

我們從四種不同的角度尋找到解答這道平面向量最值問題的思路.可見，解答平面向量最值問題，只需運(yùn)用發(fā)散性思維，將問題與相關(guān)知識(shí)關(guān)聯(lián)起來，即可拓寬解題的思路，優(yōu)化解題的方案.