巫入云

在解答平面向量問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到向量的數(shù)量積問(wèn)題.此類問(wèn)題側(cè)重于考查平面向量的基本定理、共線定理、數(shù)量積公式、向量的模的公式以及平面向量運(yùn)算法則的應(yīng)用.下面結(jié)合一道平面向量數(shù)量積問(wèn)題，探討一下解答此類問(wèn)題的方法.

題目：如圖，圓 O 是半徑為1的圓，OA =，若 B， C 為圓上的任意兩點(diǎn)，求?的取值范圍.

一、采用基底法

基底法是解答平面向量問(wèn)題的重要方法.在解答平面向量數(shù)量積問(wèn)題時(shí)，可以將已知大小或坐標(biāo)的一組向量作為基底，結(jié)合幾何圖形，根據(jù)平面向量的基本定理、共線定理，用這組基底表示出所求的向量.再利用向量的數(shù)量積公式 a?b = |a|? | | | | bcos θ 以及向量的模的公式 |a| = a 2 ，通過(guò)向量運(yùn)算求得向量的數(shù)量積.

解：

我們根據(jù)平面向量的基本定理，用基底CO、OA、CB 表示出AC?CB ，采用基底法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 | |CB 的二次函數(shù)最值問(wèn)題，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得AC?CB 的取值范圍.

二、建立坐標(biāo)系

對(duì)于對(duì)稱圖形問(wèn)題，通?？筛鶕?jù)圖形的對(duì)稱性建立直角坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，根據(jù)向量坐標(biāo)的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，以及向量的數(shù)量積公式來(lái)求解.一般地，若 a=（x1，y1），b =（x2，y2） ，則向量的數(shù)量積 a?b = x1 x2 + y1y2 .

解：

由于圓為對(duì)稱圖形，所以以圓心為原點(diǎn)來(lái)建立直角坐標(biāo)系，即可快速求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).在建立坐標(biāo)系時(shí)，要合理選擇原點(diǎn)的位置，這樣才能有效減少運(yùn)算量.

三、構(gòu)造三角形或平行四邊形

我們知道，平面向量加法的幾何意義是三角形法則和四邊形法則.因此在解答平面向量的數(shù)量積問(wèn)題時(shí)，可將所求向量的模長(zhǎng)視為三角形的邊長(zhǎng)或平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)，構(gòu)造出三角形或平行四邊形，進(jìn)而利用三角形或平行四邊形的性質(zhì)來(lái)解題.

解：

在構(gòu)造平行四邊形時(shí)，往往要將所求向量的模長(zhǎng)看作平行四邊形的邊長(zhǎng)、對(duì)角線長(zhǎng)，將向量之間的夾角視為平行四邊形的內(nèi)角，這樣便可直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解題.

相比較而言，基底法和坐標(biāo)法比較常用，構(gòu)造法較為靈活，但無(wú)論運(yùn)用哪種方法求平面向量的數(shù)量積，都需靈活運(yùn)用向量的數(shù)量積公式以及平面向量的運(yùn)算法則，從“數(shù)”“形”兩個(gè)角度尋找解題的思路.