葉全興 何廣朝 王倩?

1)(華南師范大學(xué)量子物質(zhì)研究院,原子亞原子結(jié)構(gòu)與量子調(diào)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣東省高等學(xué)校物質(zhì)結(jié)構(gòu)與相互作用基礎(chǔ)研究卓越中心,廣州 510006)

2)(華南師范大學(xué)南方核科學(xué)計(jì)算中心,粵港量子物質(zhì)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室,廣東省核物質(zhì)科學(xué)與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

在重夸克自旋對(duì)稱性下構(gòu)造量子數(shù)為 JPC=1-- 的P波有效相互作用勢(shì),代入李普曼-史溫格方程求得e+e- →的散射振幅,發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的散射截面可以解釋現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).研究發(fā)現(xiàn)底夸克偶素的質(zhì)量移動(dòng)很小,主要是由于底夸克偶素和道的有效耦合比較小.因此,e+e- →截面上的峰結(jié) 構(gòu)主要是 Υ(4S),Υ(3D),Υ(5S)和Υ(6S) 的貢獻(xiàn).能量在 10.63 GeV 處的窄峰 值結(jié)構(gòu)需要實(shí)驗(yàn) 上進(jìn)一步細(xì)致掃描和理論上擬合公式的優(yōu)化.

1 引言

強(qiáng)相互作用是自然界中四種基本相互作用之一,是將夸克和膠子形成色單態(tài)強(qiáng)子的最主要相互作用.描述強(qiáng)相互作用的基本理論是量子色動(dòng)力學(xué),其低能色禁閉的性質(zhì)決定實(shí)驗(yàn)上能直接觀測(cè)到的粒子都是色單態(tài)的強(qiáng)子,因此,研究強(qiáng)子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和性質(zhì)是理解強(qiáng)相互作用最重要的手段之一.1964年,蓋爾曼[1]提出強(qiáng)子是由更基本粒子(稱為夸克(quark))所組成.同年,茨威格[2]在他的書中也提出相同的概念,并將這種基本粒子命名為“aces”.這些概念的提出也標(biāo)志著夸克模型的建立.

夸克模型將強(qiáng)子分為介子和重子,介子由夸克和反夸克構(gòu)成,重子由3 個(gè)夸克構(gòu)成.另一方面,量子力學(xué)色動(dòng)力學(xué)的色禁閉性質(zhì)允許除上述兩種構(gòu)型外的其他色單態(tài)強(qiáng)子(即多夸克態(tài))的存在.因此,高能實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家致力于尋找多夸克態(tài).直至2003年,實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)第一個(gè)奇特強(qiáng)子態(tài)候選者X(3872)[3]的信號(hào),打開了實(shí)驗(yàn)上研究奇特強(qiáng)子態(tài)的大門.迄今為止,實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)了幾十個(gè)超出傳統(tǒng)夸克模型的奇特強(qiáng)子態(tài)候選者,它們內(nèi)部結(jié)構(gòu)有多種解釋:強(qiáng)子分子態(tài)、三角奇異性帶來的運(yùn)動(dòng)學(xué)效應(yīng)、緊致多夸克態(tài)、混雜態(tài)等[4-14].這些奇特強(qiáng)子態(tài)的候選者多數(shù)都有比較鄰近的閾值,因此,有可能是強(qiáng)子分子態(tài)的候選者[8],或者是三角奇異性帶來的運(yùn)動(dòng)學(xué)效應(yīng)[12],例如正負(fù)電子對(duì)撞中發(fā)現(xiàn)的Y(4260) 與的閾值比較接近,可以作為的強(qiáng)子分子態(tài)候選者.Y(4260) 的的強(qiáng)子分子態(tài)圖像可以很好地解釋相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[15-28],并且預(yù)言新的重夸克自旋對(duì)稱性伴隨態(tài)粒子[29-33].閾值在正負(fù)電子對(duì)撞中有重要貢獻(xiàn),主要是因?yàn)轸涌淇讼到y(tǒng)具有明顯的重夸克對(duì)稱性破壞效應(yīng)[17,27].這也說明底夸克偶素能區(qū)正負(fù)電子對(duì)撞過程中,閾值效應(yīng)沒有粲夸克偶素能區(qū)中閾值作用貢獻(xiàn)重要.另一方面,BelleII 實(shí)驗(yàn)組在正負(fù)電子對(duì)撞的底介子對(duì)產(chǎn)生截面中,在閾下沒有發(fā)現(xiàn)明顯的共振態(tài)信號(hào)[34].與粲偶素能區(qū)物理不同,底夸克偶素能區(qū)重夸克對(duì)稱性比較好保持.因此,閾值在底夸克偶素能區(qū)正負(fù)電子對(duì)撞過程中產(chǎn)額不大,所對(duì)應(yīng)的閾值效應(yīng)不重要.閾值效應(yīng)是否明顯一方面取決于對(duì)應(yīng)道在所研究過程中的產(chǎn)額是否足夠大,另一方面取決于閾值對(duì)應(yīng)的兩個(gè)或多個(gè)強(qiáng)子的總寬度是否足夠小.因此,研究底夸克偶素能區(qū)正負(fù)電子對(duì)撞過程中的截面,窄共振態(tài)的閾值效應(yīng)起主要作用.本文主要在重夸克對(duì)稱性下研究底夸克偶素能區(qū)正負(fù)電子對(duì)撞過程中的閾值效應(yīng),以及由于它們之間的相互作用是否可以形成對(duì)應(yīng)的強(qiáng)子分子態(tài).

2 理論框架

重夸克極限下,量子色動(dòng)力學(xué)拉氏量可以按照重夸克質(zhì)量的倒數(shù)進(jìn)行展開.領(lǐng)頭階的拉氏量不依賴于重夸克的自旋和重夸克的質(zhì)量,即具有重夸克自旋對(duì)稱性和重夸克味道對(duì)稱性.這兩種對(duì)稱性是研究含有重夸克系統(tǒng)的重要手段.本文將利用重夸克自旋對(duì)稱性,研究底夸克偶素能區(qū)正負(fù)電子對(duì)撞到B 介子對(duì)的產(chǎn)生截面,以揭示可能的類底夸克偶素態(tài).

2.1 有效勢(shì)

重夸克自旋對(duì)稱性下,重輕介子的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)取決于輕自由度.因此,S 波的(或)介子的輕自由度完全由反輕夸克(輕夸克)承擔(dān),S 波贗標(biāo)介子B 和矢量介子 B*構(gòu)成輕自由度sl1/2-的重夸克自旋二重態(tài)(B,B*).由于正負(fù)電子湮滅為一個(gè)虛光子,具有JPC1--量子數(shù).因此,具有JPC1--的量子數(shù)的 P 波才能在正負(fù)電子對(duì)撞中產(chǎn)生.為構(gòu)造 P 波的有效相互作用勢(shì),首先考慮 P 波的重輕分解,

為了簡(jiǎn)化式子,上面等式右面省略了下角標(biāo) 1--.由于重輕分解的變換是幺正變換,因此這些波函數(shù)是正交歸一的[36].下標(biāo) 1--表示正負(fù)電子對(duì)撞中產(chǎn)生的B 介子對(duì)的量子數(shù)JPC.上標(biāo)s0,s2表示兩強(qiáng)子系統(tǒng)的總自旋.這四個(gè)道分別用拉丁指標(biāo)i,j=1,2,3,4 表示.

低能情況下,C0,C1,C2視為常數(shù).根據(jù)上述定義,雙B 介子系統(tǒng)在量子數(shù)為 1--的接觸勢(shì)為

因?yàn)?4×4 的接觸勢(shì)是對(duì)稱矩陣,所以此處只給出上半對(duì)角的矩陣元.原則上,在能量區(qū)間比較大的情況下,即動(dòng)力學(xué)道對(duì)應(yīng)的三動(dòng)量可以和π 介子質(zhì)量相比時(shí),需要引入單π 交換勢(shì).但是文獻(xiàn)[37-40]中對(duì)強(qiáng)子分子態(tài)的研究表明,引入單π 交換勢(shì)時(shí)的物理性質(zhì)與只考慮接觸勢(shì)時(shí)的物理性質(zhì)基本一致,因此,本文計(jì)算只考慮接觸勢(shì)的貢獻(xiàn).

實(shí)驗(yàn)上測(cè)量的質(zhì)心系能量在[10.55,11.03]GeV之間,夸克模型的計(jì)算表明此能量區(qū)間可能存在4 個(gè)裸態(tài)[41],分別是 Υ(10580),Υ(10753),Υ(10860),Υ(11020).目前這4個(gè)態(tài)的性質(zhì)是Υ(10580) 為Υ(4S),Υ(10753) 看作Υ(3D)與Υ(4S,5S) 的混合[42],Υ(10860)和Υ(11020) 則分別看作是Υ(5S)和 Υ(6S)[41,42].因此,4 個(gè)裸態(tài)在本文中分別為 Υ(4S),Υ(3D),Υ(5S),Υ(6S).并用希臘指標(biāo)α,β=1,2,3,4 來表示.重夸克極限下S和D波的底夸克偶素分別耦合到|1?0〉,|1?2〉的重輕基,耦合強(qiáng)度分別定義為

綜上所述,以上8 個(gè)衰變道的勢(shì)能矩陣可以寫成如下的形式:

其中Vo是4 個(gè)開放道對(duì)應(yīng)的勢(shì)能矩陣,Vob是裸態(tài)與的耦合矩陣,Vbo矩陣是Vob 矩陣 的轉(zhuǎn)置.

2.2 李普曼-史溫格方程

由于本文所考慮的有效勢(shì)是常數(shù),因此李普曼-史溫格方程可化簡(jiǎn)為矩陣形式的代數(shù)方程:

由于存在8 個(gè)衰變道,因此T,V,G均為8×8的矩陣,不妨將T矩陣改寫成四塊 4×4 的矩陣,表示為

類似地,G矩陣可以改寫為兩塊對(duì)角矩陣:

其中Gpdiag(G1,G2,G3,G4),Sdiag(S1,S2,S3,S4).兩體傳播子

其中mα為第α個(gè)裸態(tài)的質(zhì)量.

由于裸態(tài)間的躍遷勢(shì)為零,李普曼-史溫格方程可以寫為兩組 4×4 維的方程組,

第二部分為

將(10)式代入(9)式得:

定義有效作用勢(shì)為

類似地,可以得到其他的散射矩陣元.

2.3 物理產(chǎn)生振幅及散射截面

相關(guān)的8 個(gè)道的裸頂點(diǎn)產(chǎn)生振幅定義為

其中fα(α1,2,3,4)是虛光子和相應(yīng)的底夸克偶素之間的耦合常數(shù),可以通過以下公式進(jìn)行計(jì)算[43]:

fα即為(17)式中的e/fV,αe1/137 是精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù),ΓV→e+e-是矢量介子衰變到 e+e-的衰變寬度,pe是末態(tài)電子的三動(dòng)量.Fi是虛光子和第i個(gè)開放道的耦合常數(shù),可以參數(shù)化為

物理產(chǎn)生振幅可以通過求解矩陣方程:

獲得.將列矩陣F進(jìn)行分塊,表示為

相應(yīng)地,將列矩陣U進(jìn)行分塊,表示為

求解上述方程可獲得:

將(25)式移項(xiàng)化簡(jiǎn)得:

相應(yīng)的散射振幅的模方為

(29)—(32)式中角度的貢獻(xiàn)在文獻(xiàn)[36]中有較為詳細(xì)的討論.第i個(gè)開放道的微分散射截面為

將(29)—(32)式代入(33)式,對(duì)θ從0 到π 積分,即可得到相應(yīng)開放道的散射截面:

通過擬合實(shí)驗(yàn)上 e+e-→過程中的反應(yīng)截面提取模型中的參數(shù),并進(jìn)一步提取感興趣的物理信息.

3 數(shù)值結(jié)果與討論

具體的數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,上一節(jié)的截面公式可以很好地解釋BelleII 合作組最新的截面數(shù)據(jù)[34],如圖1 所示.理論計(jì)算結(jié)果(圖1 中藍(lán)色實(shí)線)穿過大部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn),證明此圖像可以很好地解釋實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).擬合得到的模型參數(shù)如表1 所列.

表1 擬合參數(shù)和約化卡方Table 1.Fitted parameters and the corresponding reduced χ2.

具體擬合過程中發(fā)現(xiàn)參數(shù)C0與參數(shù)g4S,g5S,g6S,的關(guān)聯(lián)性比較強(qiáng).這是由于上述參數(shù)都與重輕自由度|1?0〉耦合,因此,其中一個(gè)參數(shù)的變化可以被其他參數(shù)吸收.同理,由于參數(shù)C2與參數(shù)g3D,都可以耦合到|1?2〉重輕自由度,因此,它們的關(guān)聯(lián)性也比較強(qiáng).

其中低能有效耦合常數(shù)C0,C1,C2的數(shù)值大小處于同一個(gè)量級(jí),滿足有效場(chǎng)論對(duì)同一階參數(shù)的要求.4 個(gè)底夸克偶素的裸質(zhì)量位置與截面上峰值的位置偏移較小,他們的偏移是由耦合道效應(yīng)導(dǎo)致的,由于其耦合強(qiáng)度較小(如表2 所列),導(dǎo)致偏移較小,即 Υ(4S),Υ(3D),Υ(5S),Υ(6S) 的裸質(zhì)量分別是(10.468±0.043)GeV,(10.856±0.004)GeV,(10.830±0.011)GeV,(11.024±0.008)GeV.這4 個(gè)裸態(tài)在圖1的3 個(gè)反應(yīng)道的截面上都有所反應(yīng),即在圖1(a)中,分別對(duì)應(yīng)質(zhì)心系能量在 10.58,10.87和 11.03 GeV 處的峰值.其中 10.87 GeV 處的峰值是由 Υ(3D),Υ(5S) 共同效應(yīng)導(dǎo)致的結(jié)構(gòu).由于運(yùn)動(dòng)學(xué)相空間效應(yīng),質(zhì)心能量在 10.63 GeV 處的尖峰只在 e+e-→,e+e-→過程的截面中有所體現(xiàn).此尖峰結(jié)構(gòu)主要由這兩個(gè)反應(yīng)過程中10.63 GeV附近兩個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)決定,統(tǒng)計(jì)顯著性不高.當(dāng)進(jìn)一步考慮實(shí)驗(yàn)分辨率的效應(yīng),上述尖峰將變得平滑.Υ(3D),Υ(5S),Υ(6S) 在e+e-→和 e+e-→反應(yīng)過程中均有所體現(xiàn),即對(duì)應(yīng)10.85和11.02 GeV 附近的峰.擬合對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)位置和主要耦合道及其耦合強(qiáng)度列在表2 中.從表中可以看出,所有極點(diǎn)與B 介子對(duì)的耦合強(qiáng)度比較小,截面上的峰值結(jié)果均是由重夸克偶素導(dǎo)致的.

表2 物理黎曼面 R+++,離物理黎曼面近的黎曼面 R-++,R-+,R--- 上的極點(diǎn)(第2 列)和主要耦合道及其有效耦合常數(shù)(第3 列)Table 2.Poles on the physical sheet R+++,those R-++,R-+,R--- close to the physical one(the second column),the dominant channel with the corresponding effective coupling(the third column).

4 總結(jié)與展望

BelleII 國(guó)際合作組測(cè)量了 e+e-→的散射截面實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),并且通過高階切比雪夫多項(xiàng)式對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合.本文在重夸克自旋對(duì)稱性下,構(gòu)造量子數(shù)為JPC1--的P波散射勢(shì),代入李普曼-史溫格方程,并通過代數(shù)求解李普曼-史溫格方程得到物理散射振幅,進(jìn)而求出e+e-→過程的散射截面.通過擬合BelleII的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),底夸克偶素 Υ(4S),Υ(3D),Υ(5S)和 Υ(6S) 在隨質(zhì)心能量依賴的線形中體現(xiàn)為 10.58,10.87和11.03 GeV 處的峰值.其中10.87 GeV峰值是由 Υ(3D)和Υ(5S) 兩個(gè)底夸克偶素共同作用的結(jié)果.質(zhì)心能量在 10.63 GeV 處的峰值附近只有兩個(gè)能量點(diǎn),此處峰值的性質(zhì)一方面需要實(shí)驗(yàn)上進(jìn)一步細(xì)致掃描,另一方面需要理論公式中考慮實(shí)驗(yàn)上的分辨率并且做Bin-by-Bin 擬合.因此,為進(jìn)一步確定 10.63 GeV 附近底夸克偶素的性質(zhì),需要實(shí)驗(yàn)上在此能區(qū)內(nèi)做進(jìn)一步細(xì)致掃描.

感謝電子科技大學(xué)杜孟林教授的早期工作和討論.