李天胤 邢宏喜4)? 張旦波

1)(華南師范大學(xué)量子物質(zhì)研究院,原子亞原子結(jié)構(gòu)與量子調(diào)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

2)(華南師范大學(xué)量子物質(zhì)研究院,廣東省核物質(zhì)科學(xué)與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

3)(華南師范大學(xué)南方核科學(xué)計算中心,粵港量子物質(zhì)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

4)(華南師范大學(xué)物理學(xué)院,原子亞原子結(jié)構(gòu)與量子調(diào)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣東省高等學(xué)校物質(zhì)結(jié)構(gòu)與相互作用基礎(chǔ)研究卓越中心,廣州 510006)

高能核物理旨在探索和理解物質(zhì)在夸克與膠子層次的組成及演化的基本規(guī)律.然而,從量子色動力學(xué)第一性原理出發(fā)來求解高能核物理,經(jīng)典計算卻存在本質(zhì)困難.近幾年來,量子計算因給模擬高能核物理提供了潛在的根本性解決方案而受到了較大的關(guān)注.本文簡要回顧了高能核物理量子模擬的現(xiàn)狀,介紹了態(tài)制備及光錐關(guān)聯(lián)函數(shù)測量等典型量子算法,并通過強(qiáng)子散射振幅和有限溫有限密物質(zhì)相結(jié)構(gòu)的研究,分別展示了量子計算在解決高能核物理中含時問題和符號問題上的優(yōu)勢.

1 引言

高能核物理研究夸克與膠子及其強(qiáng)相互作用形成的物質(zhì)及其演化,對理解物質(zhì)深層次結(jié)構(gòu)乃至宇宙起源均具有重要意義.高能核物理的底層模型量子色動力學(xué)(QCD)具有色禁閉的關(guān)鍵特征,即在低能標(biāo)時QCD 處于強(qiáng)耦合區(qū)域,夸克和膠子等被束縛在色中性的強(qiáng)子中,不能單獨(dú)存在.由于夸克禁閉的存在,高能核物理中的許多重要物理量,如強(qiáng)子散射振幅,具有非微擾特性,導(dǎo)致由第一性原理的QCD 理論出發(fā)來理解高能核物理存在基本困難.另一方面,理解核物質(zhì)在不同溫度及密度下的物態(tài)特性,即核物質(zhì)相圖,是高能核物理的另一個重大挑戰(zhàn).這是由于在有限密度情形,格點(diǎn)QCD 的蒙特卡羅模擬存在符號問題,從而無法保證精度.總而言之,經(jīng)典計算機(jī)在模擬高能核物理中的含時演化問題[1]及有限密度核物質(zhì)上[2],均存在本質(zhì)困難.

高能核物理經(jīng)典模擬存在困難的本質(zhì)在于它屬于強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子多體系統(tǒng).一個根本性的解決方案是通過可控量子系統(tǒng)來模擬QCD 及相關(guān)的高能核物理,此即量子計算模擬方案.量子計算機(jī)最先由費(fèi)曼在1982 年提出[3],Jordan,Lee 和Preskill(JLP)[4]最早在2012 年證明了量子計算機(jī)以多項(xiàng)式復(fù)雜度模擬標(biāo)量場中的散射問題.近年來,隨著量子計算機(jī)硬件及量子算法的快速發(fā)展,量子計算與高能核物理的交叉研究逐漸成為研究熱點(diǎn),其中包括核子結(jié)構(gòu)中部分子分布函數(shù)的計算[5-10]、部分子簇射問題[11,12]、與環(huán)境有相互作用的開放系統(tǒng)動力學(xué)問題[13-15]、非平衡態(tài)熱力學(xué)問題[16,17]、高能核物理中散射振幅的計算[18,19]等含時問題[20,21].另一方面,量子計算也用于模擬高能核物理中有限溫有限密系統(tǒng),如有限溫有限密系統(tǒng)的手征相變的量子模擬[22-24]、手征磁效應(yīng)的量子模擬[25]、以及如何在量子計算機(jī)上通過變分量子算法來模擬高溫時夸克的禁閉-退禁閉行為[26].

本文主要對我們近期基于量子計算模擬高能核物理的工作進(jìn)行綜述[9,10,19,26].第2 節(jié)介紹了在高能核物理中常用的量子算法;第3 節(jié)介紹了如何基于第2 節(jié)所提的量子算法計算強(qiáng)子散射振幅;第4 節(jié)則介紹如何通過量子計算機(jī)來研究有限溫有限密核物質(zhì);最后第5 節(jié)是對這一系列工作的總結(jié).

2 高能核物理相關(guān)量子算法

在量子計算機(jī)上模擬高能核物理一般包含兩部分:制備描述強(qiáng)子或核物質(zhì)的量子態(tài),以及在該態(tài)上進(jìn)行物理量的測量.本節(jié)基于量子線路模型的數(shù)字量子計算機(jī),介紹相關(guān)的典型量子算法.

2.1 強(qiáng)子態(tài)制備

如何在量子計算機(jī)上模擬一個強(qiáng)子？最核心的步驟是制備描述強(qiáng)子的量子態(tài).強(qiáng)子態(tài)是給定量子數(shù)下的激發(fā)態(tài).從多體波函數(shù)的角度出發(fā),強(qiáng)子態(tài)一般極為復(fù)雜,包含夸克及膠子各種構(gòu)型的疊加,具有較復(fù)雜的量子關(guān)聯(lián).對于NISQ(noisy intermediate-scale quantum era)量子計算機(jī),變分量子本征值求解器[27-30]是制備強(qiáng)子態(tài)的適用方法,通過采用合適的波函數(shù)擬設(shè),可以滿足量子數(shù)的要求并精確表達(dá)強(qiáng)子態(tài).該算法的框架如圖1所示.首先,采用量子數(shù)保持的擬設(shè),即試探波函數(shù)由保持系統(tǒng)對稱性的參數(shù)化幺正算符U(θ)作用到給定量子數(shù)的參考態(tài)|ψlk〉ref上,

圖1 變分法制備強(qiáng)子態(tài)的量子線路圖.其中量子計算機(jī)通過擬設(shè)U(θ)來生成試探波函數(shù)以及測量試探波函數(shù)下El(θ)的值.經(jīng)典計算機(jī)負(fù)責(zé)更新和優(yōu)化參數(shù)θFig.1.Variational quantum algorithm for preparation of the hadronic state.The generation of trial state and the measurement of El(θ) are performed on a quantum computer,while the optimization of parameters θ is done with classical computing.

其中l(wèi)代表系統(tǒng)除能量外的所有量子數(shù),k代表給定量子數(shù)l下的第k個激發(fā)態(tài).參考態(tài)|ψlk〉ref為類Dicke態(tài),其一般的制備方法可在文獻(xiàn)[31]中找到.

保持系統(tǒng)對稱性的幺正算符U(θ)可以通過交替算符演化擬設(shè)[32,33]來構(gòu)造.為此,先把哈密頓量分成n(≥2)份,HH1+···+Hn,并滿足以下要求:1)每一個Hi都與哈密頓量H具有一樣的對稱性;2) [Hi,Hi+1]0 對所有i成立;3)選取盡量大的n.U(θ)可以通過多層n個哈密頓量H1,···,Hn的交替演化來構(gòu)造:

其中p是演化的層數(shù).

制備強(qiáng)子態(tài)的第二步是最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)El(θ)[28],

其中wli滿足wl1＞wl2＞···＞wlk ＞0.在最優(yōu)參數(shù)θ*得到之后,量子數(shù)為l的第k激發(fā)態(tài)強(qiáng)子可通過|h〉U(θ*)|ψlk〉ref來制備.值得強(qiáng)調(diào)的是,El(θ)通過量子-經(jīng)典混合計算的方式來優(yōu)化(如圖1 所示),其中量子計算機(jī)制備試探態(tài)并進(jìn)行測量,經(jīng)典計算機(jī)收集測量數(shù)據(jù)并更新參數(shù)θ,迭代直至收斂.

2.2 有限溫度系統(tǒng)的平衡態(tài)制備

在QCD 相圖中,核物質(zhì)在不同溫度、不同密度下呈現(xiàn)不同的物態(tài),特別地,在溫度非常高時,夸克出現(xiàn)解禁閉現(xiàn)象,與膠子構(gòu)成了夸克-膠子等離子體,一直以來是高能核物理的研究重點(diǎn).然而,傳統(tǒng)的格點(diǎn)色動力學(xué)計算方法在模擬有限密度核物質(zhì)時存在符號問題.在量子計算上,可以直接制備有限溫度系統(tǒng)的平衡態(tài)[34-38],亦即熱態(tài)或吉布斯態(tài),該方法不基于概率來采樣,對零密度及有限密度均適用,從而避免了符號難題.與強(qiáng)子態(tài)制備類似,變分量子算法適用于在NISQ 量子計算機(jī)上模擬有限溫系統(tǒng)[36,39,40].然而,制備熱態(tài)需最小化自由能,過程中熵的測量對量子計算機(jī)而言是較大的挑戰(zhàn)[36,39].下面介紹一種變分量子算法,通過特定的擬設(shè)避免了熵的測量,同時對一般系統(tǒng)的熱態(tài)又有很好的表達(dá)力.

該算法的關(guān)鍵在于試探態(tài)可由參數(shù)化的幺正算符U(?) 作用到初始混態(tài)生成

其中ρ0(θ)為直積態(tài),ω(θ,?).由于U(?) 是幺正的,它不會改變熵.又由于初態(tài)具備的直積形式,系統(tǒng)的熵S(ω) 可表達(dá)為單比特混態(tài)ρi(θi)上的熵之和.由此,系統(tǒng)的變分自由能可寫為

其中β1/T.在參數(shù)空間中最優(yōu)化自由能,即可得到最優(yōu)參數(shù)ω*,則吉布斯態(tài)為ρ(ω*).與強(qiáng)子態(tài)制備的變分量子算法類似,自由能的優(yōu)化通過量子-經(jīng)典混合計算的方式進(jìn)行,如圖2 所示.

圖2 可同時制備吉布斯態(tài)和計算自由能的變分算法量子線路圖.在量子計算機(jī)中執(zhí)行的是初始混態(tài)的制備和參數(shù)化幺正演化 U(?),而參數(shù)(θ,?) 的優(yōu)化通過經(jīng)典計算機(jī)來執(zhí)行Fig.2.A pictorial representation of the variational quantum algorithm,which can prepare thermal states and compute the corresponding free energy.The preparation of initial mixed state and the evolution U(?) are done on a quantum computer,while the optimization of(θ,?) should be done with a classical computer.

2.3 關(guān)聯(lián)函數(shù)的測量

在態(tài)制備之后,量子模擬的另一個重要環(huán)節(jié)是對態(tài)進(jìn)行測量,得到描述該系統(tǒng)的物理量.物理量一般通過關(guān)聯(lián)函數(shù)來揭示,它包含靜態(tài)關(guān)聯(lián)函數(shù)及動力學(xué)關(guān)聯(lián)函數(shù).在量子計算機(jī)上,靜態(tài)關(guān)聯(lián)函數(shù)只需對量子比特進(jìn)行關(guān)聯(lián)測量即可.動力學(xué)關(guān)聯(lián)函數(shù)的測量更為復(fù)雜,具體算法可參考文獻(xiàn)[41].在核子結(jié)構(gòu)的研究中,部分子分布函數(shù)、碎裂函數(shù)等非微擾量的計算依賴于一種特殊的兩點(diǎn)動態(tài)關(guān)聯(lián)函數(shù),即光錐關(guān)聯(lián)函數(shù),涉及了光錐上兩個算符的關(guān)聯(lián).此外,散射振幅也需要通過計算含時的多點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)得到.動力學(xué)關(guān)聯(lián)函數(shù)涉及了哈密頓量演化,屬于典型的含時演化問題.相對經(jīng)典計算機(jī),量子計算機(jī)在求解動力學(xué)關(guān)聯(lián)函數(shù)上具備天然的優(yōu)勢.

先考慮一般形式的兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)

圖3 計算動力學(xué)兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)量子線路.在輔助比特上測量 σ1和σ2 即可得到關(guān)聯(lián)函數(shù)的實(shí)部和虛部Fig.3.Quantum circuit for calculation of the two point correlation function.The real and imaginary part of the correla tion function can be obtained by performing measurements of σ1 and σ2 on the auxiliary qubit,respectively.

上述即為計算兩點(diǎn)動力學(xué)關(guān)聯(lián)函數(shù)的量子算法,對于多點(diǎn)動力學(xué)關(guān)聯(lián)函數(shù),只需令輔助量子比特分別控制多點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)對應(yīng)的算符并在相鄰的兩算符間插入對應(yīng)的時間演化算符即可.值得注意的是,哈密頓量演化 e-iHt需通過Trotter 分解的方法表示為量子門的組合[42],從而適用于在數(shù)字量子計算機(jī)上運(yùn)行.

3 強(qiáng)子散射振幅的量子計算

在高能核物理中,散射截面是聯(lián)系理論和實(shí)驗(yàn)的橋梁,散射振幅是計算散射截面不可或缺的一部分,因此具備重要的地位.強(qiáng)子散射過程是指初態(tài)有強(qiáng)子參與或者末態(tài)有強(qiáng)子產(chǎn)生的散射過程.根據(jù)末態(tài)探測粒子數(shù)目的不同,可對強(qiáng)子散射過程進(jìn)行分類.1)e+p →e′+X,在末態(tài)只測量一個電子的信息而忽略其他X粒子,該類過程被稱為單舉過程;e+p →e′+h+X,在末態(tài)測量電子和一個強(qiáng)子h的信息,該類過程被稱為半單舉散射過程;e+γ →e′+h,把末態(tài)粒子信息全部測量完的被稱為遍舉過程.在QCD 因子化定理適用范圍下,初態(tài)有強(qiáng)子參與的單舉過程可被因子化成微擾可計算的硬部分卷積非微擾的部分子分布函數(shù)(parton distribution functions,PDFs[43,44]);末態(tài)只生成一個強(qiáng)子的遍舉過程散射振幅則可被因子化為硬部分卷積的非微擾量,即光錐分布振幅(light cone distribution amplitudes,LCDAs[45,46]).從物理含義上看,PDFs 反映了強(qiáng)子內(nèi)部部分子的縱向動量分布,介子LCDAs 則描述了一對正反夸克在遍舉過程中如何強(qiáng)子化成介子.PDFs 與LCDAs 均為計算強(qiáng)子散射振幅必要的輸入.格點(diǎn)QCD 發(fā)展了許多方法來嘗試計算PDFs[47-62]和LCDAs[63-66].然而,由于PDFs 和LCDAs 均為含時演化問題,依賴于光錐關(guān)聯(lián)函數(shù)的求解,對格點(diǎn)QCD 而言存在經(jīng)典計算的本質(zhì)困難.此外,在碰撞能量較低時,QCD 散射過程可看作是強(qiáng)子間的彈性散射.由于QCD 耦合常數(shù)在低能標(biāo)時較大,微擾論失效,散射振幅可通過格點(diǎn)QCD 間接求解[67-71],但缺乏一般性的直接求解方法.

總的來說,運(yùn)用格點(diǎn)QCD 的方法解決上述關(guān)于強(qiáng)子散射振幅的非微擾問題存在困難.本節(jié)將介紹如何基于量子計算的方法來求解高能散射緊密關(guān)聯(lián)的三個問題,包括單舉過程對應(yīng)的PDFs、遍舉過程對應(yīng)的LCDAs,以及低能情形且初末態(tài)強(qiáng)子數(shù)目較少過程的散射振幅.

3.1 Nambu-Jona-Lasinio 模型

由于近期的量子計算機(jī)計算能力有限,規(guī)范場的模擬仍較難在量子計算機(jī)上實(shí)現(xiàn).為了從數(shù)值上驗(yàn)證量子算法的有效性,我們選取1+1 維Nambu-Jona-Lasinio(NJL)模型[72-74]作為例子.NJL 模型是一個四費(fèi)米子自相互作用模型,可視為QCD的低能有效理論,且具有手征對稱性自發(fā)破缺與漸近自由等和QCD 一樣的特點(diǎn).其拉格朗日量為

其中Ψ是費(fèi)米子場,m和g為別為裸夸克質(zhì)量以及NJL 模型耦合常數(shù).

在量子計算機(jī)上模擬NJL 模型的第一步是對其進(jìn)行離散化.采用交錯費(fèi)米子,離散化之后的費(fèi)米子場可由單分量場χn表示.通過Jordan-Wigner[75]變換,可將費(fèi)米子場映射成量子比特形式:

該變換可保持費(fèi)米子場的反對易關(guān)系.在該離散化機(jī)制下,兩個量子比特對應(yīng)著一個空間格點(diǎn),近期約100 量子比特的量子計算機(jī)可模擬約50 個空間格點(diǎn).NJL 模型的量子模擬對量子比特數(shù)資源需求較小,有利于在近期量子計算機(jī)上開展研究.在周期邊界條件下,NJL 模型的哈密頓量可寫成HH1+H2+H3+H4,其中

3.2 部分子分布函數(shù)的量子計算

PDFs 是計算強(qiáng)子初態(tài)單舉過程散射截面的重要輸入量.PDFs 一般被記為fi/h(x,μ),其物理意義是在能標(biāo)μ下,非極化部分子i占據(jù)非極化強(qiáng)子h的縱向動量份額為x的概率密度.夸克PDFs算符定義為

Pexp 表示路徑順序指數(shù),τa是蓋爾曼矩陣,是SU(3)規(guī)范場.從算符定義可以看出,PDFs 的量子計算包含了3 個關(guān)鍵步驟:1)制備強(qiáng)子態(tài)|h(P)〉;2)構(gòu)造威爾遜鏈W(0) ;3)在量子態(tài)|h(P)〉上測量動力學(xué)兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù).

由于NJL 模型沒有規(guī)范場,我們用NJL 模型來具體討論如何通過步驟1)和步驟3)來實(shí)現(xiàn)PDFs 的計算,而對步驟2)的部分僅做一般性的討論.在強(qiáng)子參考系下,光錐關(guān)聯(lián)函數(shù)D(z)可寫為

其中|h〉表示的是零動量強(qiáng)子態(tài)|h(p0)〉.PDFs可通過D(z)的傅里葉變換得到

其中mh為強(qiáng)子的靜質(zhì)量,x表示部分子的動量份額.

D(z)的量子計算如圖4 所示,包含強(qiáng)子態(tài)制備和光錐關(guān)聯(lián)函數(shù)的測量,分別對應(yīng)圖中虛線的左右部分的量子線路.具體來說,NJL 模型的強(qiáng)子態(tài)|h〉是能量最低的一對正反夸克束縛態(tài),它是與真空具有一樣量子數(shù)的第一激發(fā)態(tài).由此,制備|h〉態(tài)需要兩個參考態(tài):

圖4 部分子分布計算的量子線路.其中虛線左邊部分為制備強(qiáng)子態(tài)的量子線路,右邊部分為測量動力學(xué)兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)線路Fig.4.Quantum circuit for calculation of PDFs.The left side of the dashed line of the circuit is for hadronic state preparation,while the right side is for the correlation function.

在給定參考態(tài)后,試探波函數(shù)由(2)式中U(θ)作用到參考態(tài)上生成,為此,只要將U(θ)中的Hi具體化為NJL 模型哈密頓量(10)且選取pN/2.在最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)(3)后即可制備出真空態(tài)|Ω〉U(θ*)|ψΩ,1〉ref和強(qiáng)子態(tài)|h〉U(θ*)|ψΩ,2〉ref.成功制備強(qiáng)子態(tài)之后,只需把強(qiáng)子態(tài)作為圖4 虛線右側(cè)量子線路的輸入即可計算出D(z).

圖4 所示量子線路的復(fù)雜度為O(N3)[33,42].量子算法復(fù)雜度隨著量子比特數(shù)以多項(xiàng)式標(biāo)度增長說明了在量子計算機(jī)上計算PDFs 具有優(yōu)勢.更進(jìn)一步的分析表明,量子優(yōu)勢在更高維度,如3+1 維且含規(guī)范場的情況下仍能保持[9].

下面展示1+1 維NJL 模型夸克PDFs 的結(jié)果.我們使用Quspin[76]以及ProjectQ[77]在經(jīng)典計算機(jī)模擬圖4 中的量子線路.為了控制有限體積效應(yīng)和有限格距效應(yīng)的影響,要求無量綱的強(qiáng)子質(zhì)量滿足條件 2π/N ＜mha ＜π.同時,考慮到量子計算經(jīng)典模擬的指數(shù)復(fù)雜度,選取格點(diǎn)數(shù)9(對應(yīng)量子比特數(shù)N18)和無量綱質(zhì)量ma0.8.圖5 分別給出了D(z)的實(shí)部和虛部在g0.6 和g1.0情況下的結(jié)果.從圖5 可以看出,D(z)的實(shí)部與虛部相比基本為零,這意味著fq(x) 滿足奇函數(shù)條件fq(x)-fq(-x).PDFs 在減掉真空圖后一定會有fqˉ(x)-fq(-x)[78],結(jié)合fq(x) 是奇函數(shù),可得到fq(x)fqˉ(x),這與NJL 模型中強(qiáng)子態(tài)|h〉由一對正反夸克組成相自洽.

圖5 坐標(biāo)空間夸克場兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的實(shí)部(實(shí)線)和虛部(虛線),其中離散的點(diǎn)是格點(diǎn)計算給出的數(shù)值,線由格點(diǎn)數(shù)據(jù)結(jié)果插值得到Fig.5.Real(dashed lines) and imaginary parts(solid lines)of the quark correlation function in position space.The discrete points are the lattice data and the lines are obtained by interpolations.

部分子分布函數(shù)的結(jié)果在圖6 中給出.由于格點(diǎn)有限體積效應(yīng)的存在,fq(x) 在非物理區(qū)域x ＞1有小的非零值,這一現(xiàn)象同樣存在于格點(diǎn)QCD 的計算當(dāng)中[79].可預(yù)期在增加格點(diǎn)數(shù)后,fq(x) 在區(qū)間x ＞1 處的非零值會進(jìn)一步被壓低.我們在結(jié)果中觀察到了fq(x)在x0.5 處具有一個峰值,這一定性行為與二維格點(diǎn)QCD 的計算結(jié)果[80]以及JAM合作組從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提取出的介子PDF[81]相符.

圖6 量子計算經(jīng)典模擬獲得的PDF(空心點(diǎn))和格點(diǎn)NJL模型精確對角化獲得的PDF(實(shí)線),其中不同插值方法帶來的誤差由誤差棒標(biāo)記出Fig.6.The quark PDF from quantum computing(open markers) and ED(solid lines).The error bars/bands arise from the estimated uncertainties due to different interpolation methods.

3.3 基于量子計算方法對LCDAs 的研究

介子LCDAs 是計算遍舉過程散射振幅的重要非微擾輸入量,其物理意義可看作是一對分別攜帶強(qiáng)子縱向動量份額為x和1-x的正反夸克對結(jié)合成大動量強(qiáng)子的概率幅.介子LCDAs 的算符定義為

在強(qiáng)子參考系下,1+1 維單味道NJL 模型的介子LCDA 可寫成

圖7 模擬左矢為真空,右矢為強(qiáng)子的光錐關(guān)聯(lián)函數(shù)〈Ω|O|h〉的量子線路圖Fig.7.Quantum circuit for the light-cone correlator〈Ω|O|h〉.

以下展示數(shù)值模擬的結(jié)果.如圖8 所示,實(shí)線(ED)代表的是對格點(diǎn)NJL 模型進(jìn)行數(shù)值精確對角化的結(jié)果,空心點(diǎn)代表的是量子計算經(jīng)典模擬的結(jié)果,二者的符合體現(xiàn)了量子算法的準(zhǔn)確性.此外,LCDA在x1/2 處的峰隨著g →0 變得越來越尖銳且趨近于LCDA 的漸近形式[45,46,82].此外,由于有限體積效應(yīng),LCDA在x ＞1 以及x ＜0 非物 理區(qū)間有振蕩衰減的非零值.這一現(xiàn)象也存在于格點(diǎn)QCD 對LCDA 的計算當(dāng)中[83].圖9 還給出了LCDA 對強(qiáng)子質(zhì)量mh的依賴關(guān)系.圖中分別選擇mh1.3a-1,1.5a-1,1.7a-1和固定g0.1,N14,可見隨著強(qiáng)子質(zhì)量的增大,LCDA在x1/2 處的峰變得越來越尖銳,這一定性行為與格點(diǎn)QCD 的結(jié)果相符[83].

圖8 1+1 維NJL 模型LCDA 對耦合常數(shù)g 的依賴,其中固定 N 14,mh 1.5a-1Fig.8.LCDA for the 1+1 dimensional NJL model with N 14,mh 1.5a-1.

圖9 1+1 維NJL模型LCDA 對強(qiáng)子質(zhì)量mh 的依賴,其中固定 N 14,g 0.1Fig.9.Dependence of the LCDA on the hadron mass mh with fixed bare coupling g 0.1 in the 1+1 dimensional NJL model.

3.4 LSZ 約化公式及散射振幅的量子計算

Jordan,Lee 和Preskill(JLP)[4,84,85]的系列論文證明了量子計算機(jī)可通過多項(xiàng)式復(fù)雜度計算標(biāo)量場高能過程散射截面.然而,JLP 方案需要制備初態(tài)波包,對計算資源要求較高.另外,JLP 方案里未涉及束縛態(tài)粒子,而QCD 的散射過程的初態(tài)往往會有強(qiáng)子態(tài)出現(xiàn),因此難以直接使用.為此,基 于Lehmann-Symanzik-Zimmermann(LSZ)約化公式[86],我們提出量子計算束縛態(tài)粒子的散射振幅的一種新途徑.LSZ 公式把散射過程的散射振幅和真空多點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)聯(lián)系在一起.對于質(zhì)量為m,可被標(biāo)量場?湮滅的粒子h參與的散射過程h(k1)+···+→h(p1)+···+,其散射截面可表達(dá)成

其中NNin+Nout.G({pi},{kj}) 是動量空間的連通n點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù):

其中T表示的是時序,下標(biāo)“con”表示關(guān)聯(lián)函數(shù)的連通部分,|Ω〉是真空態(tài).K(p) 是動量空間的兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù),

其中R是場強(qiáng)歸一化常數(shù),它的定義為

其中|h〉表示零動量的單個h粒子態(tài),它可以是強(qiáng)子態(tài).依據(jù)(19)式,散射振幅的計算被分為3 個部分:1)計算連通N點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)G({pi},{kj}) ;2)計算傳播子K(p) ;3)計算場歸一化常數(shù)R.1)、2)兩個步驟都是在計算多點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù),他們可統(tǒng)一通過2.3 節(jié)提到的量子算法來計算.步驟3)中R的計算類似于LCDAs,只不過算符替換成?(0),因此R可用LCDAs 的量子算法來計算.

下面來討論這一量子算法的復(fù)雜度,假設(shè)待模擬的格點(diǎn)QFT 系統(tǒng)共有M個空間格點(diǎn)以及M個時間格點(diǎn),表達(dá)一個空間格點(diǎn)上的場自由度需要nq個量子比特,那么在該系統(tǒng)計算N點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的復(fù)雜度為,它指數(shù)依賴于N.因此,該算法適用于初末態(tài)粒子數(shù)量較少的散射過程,如2→2散射過程.

作為一個例子,我們依然以1+1 維NJL 模型這一簡單模型為例來具體給出量子算法的運(yùn)行結(jié)果,并通過這些結(jié)果來演示量子算法的合理性.在下面的模擬中選取量子比特數(shù)N14,無量綱裸夸克質(zhì)量為ma0.84,耦合常數(shù)為g0.4.

在動量趨于h的質(zhì)殼附近時,1+1 維單味道NJL 模型兩點(diǎn)函數(shù)KΨ有如下發(fā)散行為:

依據(jù)(23)式可知,當(dāng)固定p10時,KΨ(p) 作為p0的函數(shù)在p0±m(xù)h處會有奇點(diǎn)結(jié)構(gòu).為驗(yàn)證這一奇點(diǎn)結(jié)構(gòu),可通過量子計算的經(jīng)典模擬來實(shí)現(xiàn)3.2 節(jié)所提量子算法,先計算坐標(biāo)空間兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù),再通過傅里葉變換得到KΨ(p).圖10 展示了以p0為自變量的兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù) TrKΨ(p) 的實(shí)部.圖中在p0a±1.18 附近處的峰對應(yīng)著夸克質(zhì)量峰.峰位置的準(zhǔn)確性已經(jīng)由精確對角化格點(diǎn)NJL 模型所給出的強(qiáng)子質(zhì)量譜所驗(yàn)證.在連續(xù)極限下,這個峰的高度將變?yōu)闊o限大,對應(yīng)著奇點(diǎn)結(jié)構(gòu);對于有限格距情況下,這個峰只能有有限的高度.

圖10 1+1維NJL 模型 TrKΨ(p) 的實(shí)部.圖中以 p0 為變量,固定p1 0Fig.10.Real part of TrKΨ(p) for the 1+1-dimensional NJL model as a function of p0a with p1 0.

NJL 模型的這一簡單例子表明量子算法成功實(shí)現(xiàn)了傳播子和n點(diǎn)連通關(guān)聯(lián)函數(shù)所期望的奇點(diǎn)結(jié)構(gòu),這對LSZ 約化公式在量子計算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)至關(guān)重要.

4 有限溫格點(diǎn)施溫格模型的量子模擬

核物質(zhì)相圖的確定是高能核物理研究中的一大挑戰(zhàn),它依賴于對有限溫度有限密度QCD 系統(tǒng)平衡態(tài)的精確模擬,而格點(diǎn)QCD 方法在有限密度情形存在符號問題的困難.量子計算機(jī)在模擬有限溫有限密度平衡態(tài)系統(tǒng)上具有天然的優(yōu)勢,目前已經(jīng)用于物態(tài)結(jié)構(gòu)的探索[22-26].由于近期量子計算機(jī)資源的限制,目前有限溫有限密度QCD 的量子模擬還有待發(fā)展.本節(jié)將通過另一個較簡單的模型來闡述有限溫核物質(zhì)的模擬,特別是在高溫情形時的夸克解禁閉行為.該模型為施溫格模型,它描述了1+1 維量子電動力學(xué),包含了費(fèi)米子與U(1)規(guī)范場的耦合.與QCD 類似,施溫格模型存在夸克禁閉[87,88]、手征對稱性自發(fā)破缺[89,90]等特征.因此,施溫格模型被廣泛用于模擬高能核物理問題.

在選定規(guī)范A00 情況下,施溫格模型的哈密頓量可表達(dá)為[91]

其中Ψ(x) 是費(fèi)米子場,是電磁矢勢的縱向分量,m是裸費(fèi)米子質(zhì)量.

由于局域規(guī)范不變性,電場和電荷密度算符之間存在約束?1E(x)gΨ(x)?Ψ(x),即滿足高斯定理.在1+1 維時,電場可以通過費(fèi)米子來表示.這是施溫格模型的一個重要特點(diǎn),即可表示為長程相互作用的費(fèi)米子模型,規(guī)范場不出現(xiàn),從而非常方便用量子比特來模擬.采用交錯費(fèi)米子[92],并通過Jordan-Wigner 變換[75],施溫格模型可寫為

其中ε是背景電場,?1/2a.更進(jìn)一步,若要研究有限密度勢情形,則需在(25)式加一個額外的項(xiàng) -[93],其中μ為化學(xué)勢.

在零溫時,施溫格模型中正反夸克間具有與長程QCD 相似的線性勢[94],此即夸克禁閉.可看作夸克之間由一根弦連接,弦張力可衡量禁閉強(qiáng)度[95],它會隨著熱漲落的增強(qiáng)而減小.弦張力定義為系統(tǒng)自由能在零和非零背景電場下的差別[96]:

其中β1/T是溫度的倒數(shù),Fε(β) 是對應(yīng)哈密頓量Hε的自由能.從弦張力的定義可知,計算弦張力只需計算自由能的差.計算自由能的量子算法已在2.2 節(jié)中給出.我們用開源程序包 QuTip[97]來進(jìn)行量子計算的經(jīng)典模擬.為了驗(yàn)證量子算法的正確性,在結(jié)果中把量子模擬的結(jié)果與精確對角化的結(jié)果進(jìn)行比對.首先模擬了施溫格模型弦張力對溫度的依賴關(guān)系,如圖12(a)所示,弦張力在小β區(qū)間會迅速衰減,這表明弦張力會因熱漲落效應(yīng)變強(qiáng)而減小.特別地,弦張力在β0,即溫度無限高時趨于零,表明施溫格模型的禁閉-退禁閉轉(zhuǎn)變發(fā)生在無窮溫度.圖12(b)表明弦張力的大小隨著溫度的增加指數(shù)下降,且ε越小下降得越快.弦張力的指數(shù)衰減行為與理論預(yù)言相一致[96].

圖12 不同背景電場 ε 下的弦張力.其中給定 m1, g 1, ? 1,N=6(a) 弦張力對 β 的依賴;(b) 弦張力的對數(shù)對溫度 T 的依賴Fig.12.String tensions under different ε in the case m1, g 1, ? 1,N=6:(a) The string tension as a function of the inverse temperature β ;(b) logarithm of the string tension as a function of the temperature T.

進(jìn)一步對有限溫有限密度情形下的弦張力進(jìn)行了計算.圖13(a)給出的是弦張力對不同化學(xué)勢的依賴關(guān)系,可發(fā)現(xiàn)在相同溫度下,化學(xué)勢越大對應(yīng)的弦張力越小.圖13(b)給出了弦張力對溫度和化學(xué)勢兩個變量的依賴關(guān)系.圖中可見隨著溫度和化學(xué)勢的升高弦張力都會減小,這與QCD 相圖的行為類似[98-101].然而,與QCD 不同的是,施溫格模型弦張力只有在T →∞時才會下降到零,這表明在有限溫情形下施溫格模型相圖不存在禁閉-退禁閉相變.盡管如此,施溫格模型相圖仍能從定性上看出禁閉-退禁閉相變的一些性質(zhì),并且成功展示出量子計算模擬有限密度區(qū)域相結(jié)構(gòu)的可行性.

圖13 在給定參數(shù) ε0.5, m1, g 1, ? 1, N 6 下的弦張力(a) 不同化學(xué)勢 μ 下弦張力對溫度 T 的依賴;(b) 弦張力對溫度 T 和化學(xué)勢μ 的依賴Fig.13.The string tension in the case ε0.5, m1, g 1, ? 1,N 6 :(a) At different μ,the string tension as a function of the temperature T ;(b) the string tension as a function of the temperature T and the chemical potential μ.

5 總結(jié)

本文對我們近期基于量子計算機(jī)來模擬高能核物理的系列工作進(jìn)行了綜述.針對強(qiáng)子散射問題,系統(tǒng)提出了以多項(xiàng)式復(fù)雜度計算PDFs和LCDAs 的量子算法,其中包括量子數(shù)分辨的變分量子本征求解器以及光錐關(guān)聯(lián)函數(shù)的測量兩大部分,并通過NJL 模型的數(shù)值模擬,初步展示了量子計算在定性上已經(jīng)能給出合理的結(jié)果.此外,基于LSZ 約化公式,提出了強(qiáng)子散射振幅的量子計算新方案,避免了初態(tài)波包制備的困難,并適用于束縛態(tài)粒子的散射問題.還對有限溫有限密度核物質(zhì)的量子模擬進(jìn)行了探索.通過施溫格模型,展示了量子計算機(jī)可以模擬夸克在高溫情形出現(xiàn)的禁閉-解禁閉行為.本文的研究初步展示了量子計算在解決高能核物理中含時問題和符號問題的可行性及優(yōu)勢,有助于進(jìn)一步探索物質(zhì)深層次結(jié)構(gòu)及核物質(zhì)相圖.本文提出的強(qiáng)子態(tài)制備及結(jié)構(gòu)探測是普適的量子算法框架,有望在高能核物理領(lǐng)域中廣泛運(yùn)用,如模擬部分子碎裂函數(shù)(parton fragmentation functions,FFs),模擬核效應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)制等.同時,針對1+1 維施溫格模型發(fā)展的有限溫量子熱態(tài)的量子算法,有望拓展到2+1和3+1 維下非阿貝爾規(guī)范場,從而模擬有限溫有限密度情形的QCD 相圖,有望揭示QCD 禁閉相到退禁閉相的轉(zhuǎn)變.總而言之,量子計算為未來研究高能核物理中的含時非微擾問題以及有限溫有限密相結(jié)構(gòu)問題提供了一個潛在的根本性解決方案.