呂小兵 葉琳

【摘 要】 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出要加強(qiáng)代數(shù)推理教學(xué)．為了促進(jìn)代數(shù)推理的教學(xué)實踐，需要在教學(xué)策略層面上作進(jìn)一步探討．首先分析了代數(shù)推理的教學(xué)策略的制定依據(jù)，指出教學(xué)目標(biāo)是決定性因素，代數(shù)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是影響教學(xué)策略制定的重要變量．在充分重視學(xué)生智力因素和非智力因素的基礎(chǔ)上，提出了與代數(shù)推理教學(xué)息息相關(guān)的教學(xué)策略，如基于認(rèn)知進(jìn)階的教材加工策略、提升代數(shù)推理水平的命題教學(xué)策略、基于學(xué)生錯誤資源利用的習(xí)題教學(xué)策略等．經(jīng)過策略整合的代數(shù)推理教學(xué)，能減少教師教學(xué)實踐的盲目性，從而實現(xiàn)更高的學(xué)習(xí)效益．

【關(guān)鍵詞】 教學(xué)策略；代數(shù)推理；推理能力；認(rèn)知心理學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)2022》在課程內(nèi)容初中部分中新增了“了解代數(shù)推理”，為一線教學(xué)提供了新的指引．當(dāng)前，教師對加強(qiáng)代數(shù)推理的理解存在兩類誤區(qū)，一是失之偏頗，熱衷于搞代數(shù)的題型分類，見題不見人，離不開應(yīng)試的窠臼；二是失之空泛，在代數(shù)推理“本體論”中打轉(zhuǎn)，逐末于“解方程是不是代數(shù)推理”之類的問題，這些均不利于具體教學(xué)的改進(jìn)．推理是數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，也是學(xué)生核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)，其重要性是不言而喻的．可以說，一線教師并不缺少要加強(qiáng)代數(shù)推理的教學(xué)觀念，缺的是相應(yīng)的教學(xué)策略，以及在教學(xué)策略指導(dǎo)下的具體教學(xué)方法．筆者對初中代數(shù)推理教學(xué)策略的制定進(jìn)行了初步探索，以期拋磚引玉．

1 初中代數(shù)推理教學(xué)策略的制定依據(jù)

教學(xué)策略是教學(xué)設(shè)計的有機(jī)組成部分，是在特定教學(xué)情境中為實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)和適應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)需要而采取的教學(xué)行為方式或教學(xué)活動方式^[1]．教學(xué)策略的制定受到教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)者的初始狀態(tài)、教師自身的特征以及教學(xué)環(huán)節(jié)與情境的制約．其中，教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)策略制定的決定性因素．根據(jù)《課標(biāo)2022》中對推理素養(yǎng)表現(xiàn)的表述，可以將代數(shù)推理的教學(xué)目標(biāo)分為三個子目標(biāo)（如表1）．

代數(shù)推理能力的培養(yǎng)具有長期性，并通過日常代數(shù)學(xué)習(xí)得以階段性實現(xiàn)．由于知識生長本身蘊(yùn)含著推理，而學(xué)生的認(rèn)知水平又決定了知識如何生長，因此學(xué)界關(guān)注的焦點漸漸落在代數(shù)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上．例如，文[2]分析了整個初中代數(shù)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，提出在代數(shù)的概念、法則、運算律、公式以及通過代數(shù)運算解決問題等各個教學(xué)環(huán)節(jié)，都可以是發(fā)展代數(shù)推理能力的著力點．文[3]基于《課標(biāo)2022》中強(qiáng)調(diào)的核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性的特征，建構(gòu)了學(xué)生代數(shù)推理能力“兩層五級”的認(rèn)知進(jìn)階發(fā)展模型．兩層分別是意識層和能力層，五級具體指具體化算術(shù)、結(jié)構(gòu)化算術(shù)、符號化概括、形式化建構(gòu)、一般化推廣，并在該認(rèn)知模型基礎(chǔ)上給出一定的教學(xué)建議．但是，僅僅從外在和內(nèi)在兩種結(jié)構(gòu)來考慮教學(xué)策略仍是過度簡單化的，正如奧蘇貝爾對“建構(gòu)主義”者所批評的那樣，他們“在某種程度上忽視了以下因素所帶來的消極影響——錯誤相關(guān)、錯誤觀念、主觀偏見、學(xué)習(xí)的動機(jī)取向、認(rèn)知風(fēng)格，以及個性特征等，所有這些因素都會莫名地參與到建構(gòu)過程”^[4]．可見，代數(shù)推理教學(xué)策略的制定是一個綜合考慮的過程．

2 初中代數(shù)推理教學(xué)策略的制定與選擇

教學(xué)策略既是觀念驅(qū)動的，也是實踐操作的，基于不同的角度可以制定不同的教學(xué)策略．例如，加涅根據(jù)改進(jìn)教學(xué)效果的途徑將教學(xué)策略分為管理策略和指導(dǎo)策略．張大均根據(jù)教學(xué)過程的環(huán)節(jié)，將教學(xué)策略分為教學(xué)準(zhǔn)備策略、教學(xué)實施策略和教學(xué)監(jiān)控策略．從加強(qiáng)代數(shù)推理教學(xué)的角度看，以下幾種教學(xué)策略或許是重要的．

2.1 基于認(rèn)知進(jìn)階模型的教材加工策略

荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗蘭登塔爾曾說：“從來沒有一種數(shù)學(xué)的思想會像當(dāng)初被發(fā)現(xiàn)時那樣付諸文字，一旦問題解決了，思考的程序便顛倒過來，把火熱的思考變成冰冷的美麗”．基于認(rèn)知進(jìn)階模型的教材加工就是要把教材文字中隱藏的思維活動過程還原成學(xué)生的火熱思考．結(jié)合“兩層五級”認(rèn)知模型可制定相應(yīng)的教材加工策略，如普遍性示例策略、歸納策略、演繹策略、意義引申策略等，如表2．

基于認(rèn)知進(jìn)階模型的教材加工策略，可以有效指導(dǎo)教師對教材的處理，糾正教學(xué)中重演繹輕歸納的傾向．項武義教授指出：“歸納乃是整個代數(shù)學(xué)的基本大法和基本功．”因此，在初中階段應(yīng)特別重視歸納推理的價值，不能只教推理的“后半段”．

教學(xué)示例

文[5]中，教師執(zhí)教蘇科版七年級下冊“完全平方公式”一課時設(shè)計了三個學(xué)習(xí)任務(wù)：

任務(wù)一 發(fā)現(xiàn)“完全平方公式”

計算下列各式：

（1）（x+y）（m-n）;（2）（a-b）（x-y）;（3）（m+1）（m+1）;（4）（a+3）²;（5）（2a+5）².

問題1：觀察上面5個運算后的式子，式子的左邊和右邊分別有什么特點？

問題2：觀察式子（3）（4）（5），有什么共同特征？

問題3：你能用一個一般化的式子表示這個特征嗎？

任務(wù)二 證明“完全平方公式”

問題1：如何說明公式（a+b）²=a²+2ab+b²成立？

問題2：你能用文字語言表述完全平方公式嗎？

問題3：結(jié)合多項式乘多項式乘法的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，請用幾何圖形直觀描述完全平方公式．

任務(wù)三 “完全平方公式”的深入研究

問題1：嘗試用不同的方法探究公式（a+b）²（小組探究，并展示）；

問題2：用完全平方公式計算：（1）（5+3p）²;（2）（2x-7y）²;（3）（-2a-5）².

問題3：如何計算（a+b+c）²？

這三個任務(wù)以及為了完成任務(wù)而設(shè)計的問題鏈很好地對應(yīng)了認(rèn)知進(jìn)階模型下的教學(xué)策略（如圖1），也體現(xiàn)了教師具有出色的教材加工策略．

2.2 提高代數(shù)推理水平的命題教學(xué)策略

史寧中教授提出：“數(shù)學(xué)推理就是得到數(shù)學(xué)命題或者驗證數(shù)學(xué)命題的思維過程．”^[6]研究表明，推理能力較強(qiáng)的學(xué)習(xí)者頭腦中擁有更完整的命題結(jié)構(gòu)．因此，無論是通過發(fā)現(xiàn)命題來提高合情推理能力，還是通過驗證命題提高演繹推理能力，命題學(xué)習(xí)都是提高學(xué)生推理水平的重要途徑．制定提升代數(shù)推理水平的命題教學(xué)策略，著力點在幫助學(xué)生完善代數(shù)命題網(wǎng)絡(luò)、推理規(guī)則、推理策略等，相應(yīng)地有命題結(jié)構(gòu)化策略、漸進(jìn)形式化策略、上游命題庫策略等．命題結(jié)構(gòu)化策略指教師先整體分析初中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域重要命題（包括各類典型的性質(zhì)命題和關(guān)系命題），通過命題教學(xué)使貯存在學(xué)生頭腦中零散的命題之間具有邏輯意義和邏輯結(jié)構(gòu)，為后續(xù)推理的順利進(jìn)行打下堅實基礎(chǔ)．以“有理數(shù)”單元為例，可以借助語義網(wǎng)絡(luò)模型建立如圖2所示的命題網(wǎng)絡(luò)．

3結(jié)語

教學(xué)策略是將教學(xué)觀念轉(zhuǎn)化為教學(xué)行為的橋梁，它是中觀層面的教學(xué)思考，對提高教學(xué)質(zhì)量起到支撐作用．因此，要準(zhǔn)確把握《課標(biāo)2022》中“強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理”的內(nèi)涵，制定和選擇合理的代數(shù)推理的教學(xué)策略．對初中代數(shù)推理教學(xué)策略的深入研究，有助于聯(lián)結(jié)理論與實踐，提升教師實踐經(jīng)驗，形成解決問題的模型，這對其它教學(xué)內(nèi)容教學(xué)策略的研究也具有參考價值．

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[10]黃秀旺.發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理能力的教學(xué)建構(gòu)與實施[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（20）：11-13.

作者簡介 呂小兵（1981— ），男，江蘇南通人，中學(xué)高級教師;主要從事初中數(shù)學(xué)教育研究工作;2012年獲全國中小學(xué)優(yōu)秀課展示一等獎.

葉琳（1982—），男，江蘇泰興人，中學(xué)高級教師，江蘇省“333”高層次人才培養(yǎng)對象;江蘇省五一勞動獎?wù)芦@得者;2015年獲江蘇省高中數(shù)學(xué)評優(yōu)課一等獎，2019年江蘇省中小學(xué)青年教師教學(xué)競賽特等獎;主要從事初中數(shù)學(xué)教育研究工作.