張燕　閻靖崢

［摘? 要］ 函數(shù)交點是初中數(shù)學(xué)研究的重點，該類問題往往立足函數(shù)的基礎(chǔ)知識，融方程、不等式、圖象等知識內(nèi)容. 探究問題時，研究者要理清函數(shù)圖象位置關(guān)系、交點、方程解之間的關(guān)聯(lián)，采用數(shù)形結(jié)合的分析方法. 文章結(jié)合一道函數(shù)綜合題，開展問題探究，并反思解法，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

［關(guān)鍵詞］ 函數(shù)；交點；位置關(guān)系；不等式；數(shù)形結(jié)合

函數(shù)交點問題是初中數(shù)學(xué)常見的問題類型，主要研究兩函數(shù)的位置關(guān)系，具體問題中體現(xiàn)在交點坐標(biāo)和交點個數(shù)上，構(gòu)建形式涉及簡單的兩直線相交、復(fù)雜的直線與拋物線相交. 求交點坐標(biāo)最為常見的方法是聯(lián)立方程得到方程組. 而兩函數(shù)的交點個數(shù)有多種情形，包括0個、1個、2個等. 對于拋物線與直線的相交問題，常采用根的判別式來判斷交點個數(shù). 但在實際考查時，函數(shù)的解析式中往往含有參數(shù)，試題綜合性較強，所以此時需要立足根本方法，采用數(shù)形結(jié)合的方式來進行探究.

試題呈現(xiàn)

試題 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1=-（x+4）（x-n）與x軸相交于點A和點B（n，0） （n≥-4），頂點坐標(biāo)記為（h1，k1）. 拋物線y2=-（x+2n）2-n2+2n+9的頂點坐標(biāo)記為（h2，k2），請回答下列問題.

（1）寫出點A的坐標(biāo)；

（2）求k1，k2的值（用含有n的代數(shù)式表示）；

（3）當(dāng)-4≤n≤4時，探究k1和k2的大小關(guān)系；

（4）經(jīng)過點M（2n+9，-5n2）和點N（2n，9-5n2）的直線與拋物線y1= -（x+4）（x-n），y2=-（x+2n）2-n2+2n+9的公共點恰好為3個不同點時，求n的值.

分析 此題為函數(shù)綜合題，主要研究拋物線、直線之間的位置關(guān)系，最顯著的特點是函數(shù)的解析式中含有參數(shù)，故此題本質(zhì)上屬于動態(tài)函數(shù)問題. 探究試題時，我們需要關(guān)注參數(shù)取值對函數(shù)圖象的影響. 具體分析時，我們要把握函數(shù)交點坐標(biāo)，利用交點將問題轉(zhuǎn)化為具體的代數(shù)問題.

<D：＼數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬＼2023數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬（08期）＼2023數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬（08期） c＼aa-1.jpg> 分步探究

試題共4個小問，每一問均含有一定的條件，所以我們要結(jié)合對應(yīng)信息具體分析. 下面采用分步突破的策略來進行探究.

1. 第一步：解析式分析，坐標(biāo)巧推演

第（1）問求點A的坐標(biāo)，點A為拋物線與x軸的交點，則只需要令y=0，求出x即可. 已知拋物線的解析式為y1=-（x+4）（x-n），所以可直接確定點A的坐標(biāo)為（-4，0）.

2. 第二步：變形與聯(lián)立，縱坐標(biāo)值推導(dǎo)

第（2）問求參數(shù)k1，k2的值，其中k1是拋物線y1的頂點縱坐標(biāo)，k2是拋物線y2的頂點縱坐標(biāo). 求拋物線頂點縱坐標(biāo)的方法有兩種：一是采用變形為頂點式的方法，即把拋物線的解析式變形為頂點式；二是采用定對稱軸，相交聯(lián)系的方法，即首先確定拋物線的對稱軸所在的直線，再聯(lián)立直線與拋物線的解析式.

拋物線y1的解析式為y1=-（x+4）·（x-n），用配方法轉(zhuǎn)化為頂點式較為復(fù)雜，可以采用上述方法二. 已知拋物線y1與x軸的兩交點分別為A（-4，0）和B（n，0），則拋物線y1的對稱軸為直線x=-2+，對稱軸直線與拋物線y1的解析式聯(lián)立后，可解得k1=. 拋物線y2的解析式為y2=-（x+2n）2-n2+2n+9，此解析式已為頂點式，由方法一可直接確定k2=-n2+2n+9.

3. 第三步：代數(shù)方法解析，參數(shù)大小探究

第（3）問是建立在第（2）問的基礎(chǔ)之上的，求解的問題是：當(dāng)-4≤n≤4時，探究k1和k2的大小關(guān)系. 常規(guī)方法是“作差+分析”，即首先對兩參數(shù)作差，然后基于不同情形來構(gòu)建不等式，通過解不等式來確定結(jié)果.

對k1和k2作差，即k1-k2=n2-5（其中-4≤n≤4）. 分三種情形進行討論：①當(dāng)k1-k2>0時，可得n2>4，解得n>2或n<-2，所以當(dāng)-4≤n<-2或2<n≤4時，k1>k2；②當(dāng)k1-k2<0時，可解得-2<n<2，所以當(dāng)-2<n<2時，k1<k2；③當(dāng)k1-k2=0時，可解得n=2或n=-2，所以當(dāng)n=2或n=-2時，k1=k2 .

另解：對于上述參數(shù)值的大小比較，還可以采用函數(shù)圖象法，即通過分析函數(shù)圖象來加以確定，過程如下.

已知 k1=，k2=-n2+2n+9，比較k1和k2的大小，可通過分析函數(shù)圖象的位置關(guān)系來確定，即分別將k1和k2關(guān)于n的二次函數(shù)圖象作出，通過圖象來直觀反映n的取值.

結(jié)合函數(shù)解析式可繪制如圖1所示的圖象，令=-n2+2n+9，可解得n=±2，即圖中兩曲線的交點橫坐標(biāo)分別為-2和2. 結(jié)合-4≤n≤4可將曲線分為五段，對應(yīng)五種情形：①當(dāng)-4≤n<-2時，k1>k2；②當(dāng)n=-2時，k1=k2；③當(dāng)-2<n<2時，k1<k2；④當(dāng)n=2時；k1=k2；⑤當(dāng)2<n≤4時，k1>k2.

4. 第四步：數(shù)形結(jié)合分析

第（4）問是關(guān)于直線與拋物線的交點個數(shù)問題，并且新增的條件為坐標(biāo)中含有參數(shù)的點，且直線與兩拋物線共有3個不同的交點. 分析問題時，我們需要先確定直線的解析式，然后采用數(shù)形結(jié)合、分類討論的策略來加以確認(rèn).

已知直線經(jīng)過點M（2n+9，-5n2）和點N（2n，9-5n2），可設(shè)直線的解析式為y=kx+b，由待定系數(shù)法可得y= -x-5n2+2n+9，又知y1=-（x+4）（x-n），y2=-（x+2n）2-n2+2n+9，分析可知直線MN與拋物線y2經(jīng)過y軸上的同一點，即（0，-5n2+2n+9）.

聯(lián)立直線MN與拋物線y2的解析式，可得x2+（4n-1）x=0，解得x1=0，x2=1-4n. 若直線MN與拋物線y2有唯一的公共點，則其橫坐標(biāo)為0，可得1-4n=0，解得n=，此時直線MN與拋物線y1的解析式可求，但聯(lián)立它們后所得的方程無實數(shù)根，不符合題意.

根據(jù)上述分析可知直線MN與拋物線y2始終有兩個公共點，現(xiàn)在需要討論拋物線y1是否經(jīng)過點（0，-5n2+2n+9）.

若拋物線y1經(jīng)過點（0，-5n2+2n+9），有-5n2+2n+9=4n，解得n=，聯(lián)立直線MN與拋物線y1的解析式，其判別式為Δ=21n2+2n-27，若判別式為0，所得的n值與上述不符，故當(dāng)拋物線y1經(jīng)過點（0，-5n2+2n+9）時，拋物線y1與直線MN有兩個公共點，此時符合題意的n有兩個值，為n=，直線與拋物線的圖象關(guān)系如圖2所示（其中一種情況）.

若拋物線y1不經(jīng)過點（0，-5n2+2n+9），則拋物線y1必然與直線MN只有一個公共點，圖象關(guān)系大致如圖3和圖4所示兩種情形.

聯(lián)立直線MN與拋物線y1的解析式，令其判別式為0，即Δ=21n2+2n-27=0，可解得n=.

綜上所述，經(jīng)驗證，當(dāng)n≥-4時，滿足直線MN與兩拋物線有3個不同公共點條件的n的值有4個，分別為，，，.

<D：＼數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬＼2023數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬（08期）＼2023數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬（08期） c＼aa-1.jpg> 解后反思

上述對一道函數(shù)綜合題進行了解法探究，試題共4個小問，難度存在一定的梯度，主要探究直線、拋物線之間的關(guān)系. 試題的前兩問主要考查函數(shù)的基礎(chǔ)知識，后兩問則從知識綜合角度考查函數(shù)，同時后兩問的解法思路具有一定的參考價值，下面深入反思.

1. 關(guān)于第（3）問的解法反思

該問探究n的取值范圍下k1和k2的大小關(guān)系. 上面呈現(xiàn)了兩種解法，分別從不等式和函數(shù)圖象視角進行了突破，其中不等式法的“代數(shù)屬性”明顯，側(cè)重將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題，不等式法的核心是代數(shù)作差運算，變形簡化；而函數(shù)圖象法的“幾何屬性”明顯，側(cè)重將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)來解題，函數(shù)圖象的位置關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系是此解法的核心所在.

2. 關(guān)于第（4）問的解法反思

該問探究直線與拋物線公共點的個數(shù)，為試題的壓軸之問，其中直線MN與拋物線y2的公共點是問題的突破口. 分類討論是求解該問的思路基礎(chǔ)，圍繞公共點可分三層進行討論：第一層，確定直線MN與拋物線y2始終有公共點（0，-5n2+2n+9）；第二層，討論拋物線y1是否經(jīng)過點（0，-5n2+2n+9）；第三層，深入討論點（0，-5n2+2n+9）是否為直線與拋物線y2的唯一公共點. 該問的邏輯性極強，深刻理解直線與拋物線的位置關(guān)系，掌握交點與圖象關(guān)系的情形是解題的關(guān)鍵.

教學(xué)建議

從上述問題探究與解法反思來看，函數(shù)交點問題的教學(xué)需要關(guān)注兩點：一是關(guān)注函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握直線與曲線交點的探索方法；二是關(guān)注數(shù)形結(jié)合的解析方法.

1. 關(guān)注函數(shù)與方程，透視交點關(guān)系

函數(shù)綜合是初中數(shù)學(xué)探究的重點，該類問題的綜合性較強，常將函數(shù)、不等式、方程等知識融合在一起. 教學(xué)時教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握拋物線與直線交點的探究方法，即聯(lián)立方程，利用判別式來判斷交點數(shù)量. 而對于涉及直線、拋物線等多類函數(shù)圖象的交點探究，要注意理清其中的關(guān)系，關(guān)注交點與圖象位置的關(guān)系. 如直線始終位于拋物線的上方，為相離關(guān)系，此時拋物線必然開口向下；又如上述問題中如果直線與一條拋物線為相離關(guān)系，則不同交點個數(shù)不可能為3. 教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注直線與曲線的交點、直線與曲線的位置關(guān)系與方程解個數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，深刻理解其中的邏輯關(guān)系.

2. 關(guān)注數(shù)形結(jié)合，突破圖象分析

數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)綜合題的重要方法，尤其在解析直線、拋物線之間的位置關(guān)系中有著廣泛的應(yīng)用. 教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生把握方法的思想精髓，掌握數(shù)形結(jié)合的解析技巧，即由“數(shù)”塑“形”，以“形”釋“數(shù)”. 以上述最后一問為例，即根據(jù)函數(shù)的解析式來繪制草圖，通過分析直線與曲線的交點和位置關(guān)系來輔助分析，并進一步完善圖象. 同時教學(xué)中，教師要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)草圖作法，尤其是拋物線的特征畫法，即確定拋物線的頂點坐標(biāo)、開口方向、與坐標(biāo)軸的交點.