費(fèi)云標(biāo)

［摘? 要］ 文章以2020年南京中考數(shù)學(xué)第26題為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)“一題一課”的中考復(fù)習(xí)課，幫助學(xué)生形成解析幾何的思考路徑，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力.

［關(guān)鍵詞］ 一題一課；中考；復(fù)習(xí)課

案例的背景

本節(jié)課源于筆者參加的區(qū)內(nèi)的一次教學(xué)案例設(shè)計(jì)比賽，現(xiàn)基于“一題一課”模式設(shè)計(jì)成中考復(fù)習(xí)課，促進(jìn)自身的專業(yè)成長. 本節(jié)課的教學(xué)關(guān)鍵是添加輔助線來構(gòu)造相似三角形.

學(xué)生在“九下”已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的概念、性質(zhì)、判定和簡單應(yīng)用，以及圖形的平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等變化. 本年級組的學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本圖形，但對相似三角形的綜合運(yùn)用還相對薄弱，自主建構(gòu)模型的能力不強(qiáng). 因此，通過學(xué)生熟悉的教材習(xí)題作為前測喚醒其基本知識(shí)、基本技能、基本解題經(jīng)驗(yàn)，以2020年南京數(shù)學(xué)中考第26題為例引發(fā)學(xué)生再思考相似三角形的性質(zhì)與判定，讓學(xué)生親歷解題過程，找到題眼與關(guān)鍵，暴露思維，及時(shí)反思，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力. 通過設(shè)計(jì)問題串促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，反思解題路徑，優(yōu)化解題思維.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1：回歸教材，先行組織

前測? 如圖1所示，在△ABC和△A′B′C′中，CD，C′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線，==，求證：△ABC∽△A′B′C′.

師生活動(dòng)：學(xué)生課前獨(dú)立完成證明，教師利用投影儀投影糾錯(cuò)，引領(lǐng)學(xué)生回顧相似三角形的性質(zhì)與判定.

生1：由==可得△ADC∽△A′D′C′，則∠A=∠A′，∠ACD=∠A′C′D′. 由角平分線的定義可得∠ACB=∠A′C′B′，最后得到△ABC∽△A′B′C′.

設(shè)計(jì)意圖? 一是簡單回顧相似三角形的性質(zhì)與判定，二是回顧利用“子三角形”相似推出“母三角形”相似的方法，為接下來的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)2：真題呈現(xiàn)，探尋路徑

問題1? 如圖2所示，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分別是AB，A′B′上一點(diǎn)，=.當(dāng)==時(shí)，求證：△ABC∽△A′B′C′.

師生活動(dòng)：教師借助多媒體展示問題1，學(xué)生先獨(dú)立解題，再展示解法. 教師利用框圖引導(dǎo)學(xué)生整理證明思路.

生2：我發(fā)現(xiàn)條件之間有聯(lián)系，先將=變形為=，再結(jié)合條件==，可得===，從而推出△ADC∽△A′D′C′，得到∠A=∠A′，最后根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”得△ABC∽△A′B′C′.

設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生親歷解題過程，回顧比例的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定.

追問1? 請你利用框圖（見圖3）來梳理你的證明思路.

師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀框圖并填寫框圖，整理思路后由教師點(diǎn)評.

生3：我填寫的是“==”和“∠A=∠A′”. 我是利用逆向思維的方式從△ABC∽△A′B′C′去推導(dǎo)的，只要找到能夠串聯(lián)信息的“橋梁”就可以了.

設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生填寫框圖這一過程體現(xiàn)了分析與綜合思維方式，為下一題的解答思路提供了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

追問2? 回顧解題過程，說一說如何分析本題.

師：分析問題可以從條件出發(fā)，也可以從結(jié)論出發(fā)，找到中間結(jié)論，再找到兩者間的橋梁. 我們發(fā)現(xiàn)本題中兩者間的橋梁就是“子三角形”相似.

設(shè)計(jì)意圖? 回顧此題的解答思路，即尋找“子三角形”相似，也為下一題的解答思路奠定了基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)3：變式探究，素養(yǎng)提升

問題2? 如圖4所示，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分別是AB，A′B′上一點(diǎn)，=. 若==，請判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由.

師生活動(dòng)：教師借助多媒體展示題目，學(xué)生先自主探究，大膽猜想△ABC與△A′B′C′相似. 針對學(xué)生的猜想，教師提出問題：如何證明這兩個(gè)三角形相似？沿用問題1的解答經(jīng)驗(yàn)與方法，學(xué)生分析易證的結(jié)論（=，=，=，==），同時(shí)聯(lián)想須知的條件（∠ACB=∠A′C′B′或==）. 但由于學(xué)生無法直接證明△ABC與△A′B′C′相似，因此教師繼續(xù)問道：能夠證明圖中的“子三角形”相似嗎？學(xué)生依然無法直接證明△ACD與△A′C′D′、△BCD與△B′C′D′相似，于是教師通過追問引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化條件來解題.

設(shè)計(jì)意圖? 綜合分析已知、易證和須知的條件，大膽嘗試方案，再小心求證，明確解題方向.

追問1? 為聯(lián)通已知條件=與==，你打算怎么做？

師生活動(dòng)：學(xué)生自主探索，先畫一畫，再進(jìn)行小組交流，展示輔助線.? 教師引導(dǎo)學(xué)生思考畫輔助線的依據(jù). 學(xué)生從線段成比例聯(lián)想作輔助線，或從相似的基本圖形聯(lián)想作輔助線，如有學(xué)生作平行線構(gòu)造A型相似或X型相似，還有學(xué)生構(gòu)造其他類型（如作高、角平分線或中線）. 教師單獨(dú)指導(dǎo)，讓學(xué)生試一試證明；巡視指導(dǎo)，讓學(xué)生選擇一種有利于聯(lián)通已知條件=與==的方法，并展示相應(yīng)的構(gòu)造輔助線的方案，然后挑選其中一種進(jìn)一步探究.

設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生先獨(dú)立作圖，然后小組討論其合理性. 從數(shù)與圖兩個(gè)角度出發(fā)，教師組織學(xué)生思考作圖依據(jù)，再選擇方案展示邏輯推理. 既聚焦生成，也貼合學(xué)情，更促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，有效突破難點(diǎn).

生4（A組代表）：如圖5所示，過D作DE∥BC交AC于E，過D′作D′E′∥B′C′交A′C′于E′.

追問2? 你還能得到什么結(jié)論？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，猜想△CDE與△C′D′E′相似. 教師追問：如何判定它們相似？如何證明==？通過追問，學(xué)生得到結(jié)論：====. 教師肯定結(jié)論后繼續(xù)問道：你還能得到什么？學(xué)生繼續(xù)探究得到=====. 教師又追問：你如何證明==？還有其他推導(dǎo)方法嗎？學(xué)生分享解法，投影展示. 教師指出：既可以用比例的性質(zhì)（合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、等比性質(zhì)）來解決，還可以設(shè)線段的長度（比如設(shè)k）直接證明，，的值相等來解決.

設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生通過已知推可知的過程，就是優(yōu)化方案的過程. 此題的價(jià)值在于不僅幫助學(xué)生找到了證明三角形相似的條件，還展示了線段成比例的證明方法，有效突破了本節(jié)課的難點(diǎn).

追問3? 現(xiàn)在可以證明△ABC與△A′B′C相似嗎？請你完成證明過程.

師生活動(dòng)：學(xué)生完成證明過程，并互助點(diǎn)評，明確幾何證明書寫規(guī)范.

設(shè)計(jì)意圖? 通過展示證明過程，提出證明規(guī)范要求，提高學(xué)生的解題規(guī)范意識(shí).

追問4? 還有不同的解法嗎？簡要說明證明思路. 請你對這些解法作點(diǎn)評.

師生活動(dòng)：小組交流，擴(kuò)充解法. 學(xué)生講解，同伴點(diǎn)評，優(yōu)化思考.

設(shè)計(jì)意圖? 通過相似的基本圖形來作輔助線，形式多樣，輔助線的作用相同. 說明證明思路，有利于學(xué)生了解此類題目的解法實(shí)質(zhì)就是尋找“子三角形”相似，積累學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的解題能力.

追問5? 回顧以上解決問題的過程，你能說一說解決較復(fù)雜的幾何證明題的思考路徑嗎？

思考路徑如圖6所示.

設(shè)計(jì)意圖? 教師整理學(xué)生的發(fā)言，引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)梳理，形成幾何證明題一般的解決套路，幫助學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識(shí)的習(xí)慣，提升學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)4：回顧小結(jié)，布置作業(yè)

回顧小結(jié)：請你回顧一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，談一談你的學(xué)習(xí)感想.

師生活動(dòng)：教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程，提煉總結(jié). 學(xué)生回顧基礎(chǔ)知識(shí)：平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似的基本圖形；回顧輔助線的作法：綜合分析已知、可知、須知、未知，結(jié)合基本圖形作輔助線；還回顧線段成比例的證明方法：比例的性質(zhì)，設(shè)線段的長度（設(shè)k）. 積累較復(fù)雜的幾何問題的解決經(jīng)驗(yàn)：從條件出發(fā)，從結(jié)論出發(fā)，從強(qiáng)化條件出發(fā)，從合情推理出發(fā)，等等.

設(shè)計(jì)意圖? 通過開放式問題，讓每一個(gè)學(xué)生能說出自己的收獲，引導(dǎo)學(xué)生從基本知識(shí)、基本技能、基本解題經(jīng)驗(yàn)、基本思想方法等不同方面對本節(jié)課進(jìn)行反思、梳理，有助于學(xué)生積累相關(guān)數(shù)學(xué)問題的解決經(jīng)驗(yàn).

布置作業(yè)：

題1：如圖7所示，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分別是AB，A′B′上一點(diǎn)，=.若==，求證：△ABC∽△A′B′C′.

設(shè)計(jì)意圖? 考查相似三角形的判定與性質(zhì)，利用“子三角形”相似推出“母三角形”相似.

題2：如圖8所示，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分別是AB，A′B′上一點(diǎn)，=.當(dāng)=，∠A=∠A′時(shí)，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似. 若相似，請說明理由；若不相似，請畫出反例圖形.

設(shè)計(jì)意圖? 考查相似三角形的判定與性質(zhì)，并結(jié)合作圖來舉反例.

對教學(xué)設(shè)計(jì)的反思

本節(jié)課以2020年南京中考數(shù)學(xué)第26題為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)成“一題一課”的課型；通過教材溯源，再變式探究，完成解題教學(xué). 從而幫助學(xué)生形成解決相似證明題的思考路徑，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力.

1. 選取有價(jià)值的問題，讓教學(xué)更高效

選取有價(jià)值的問題是“一題一課”習(xí)題教學(xué)的關(guān)鍵. 教師應(yīng)當(dāng)基于課程標(biāo)準(zhǔn)，把握學(xué)情、教材與中考，選擇學(xué)生遇到的典型習(xí)題或測試題作為“一題一課”的主要問題素材，再設(shè)計(jì)一系列的問題生長為一節(jié)課. 本節(jié)課選擇的是2020年南京中考數(shù)學(xué)第26題. 首先從知識(shí)層面來看，本題考查的是比例的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí). 其次從能力層面來看，本題考查學(xué)生的邏輯推理、代數(shù)推理、幾何直觀等綜合能力. 再次從數(shù)學(xué)思想方法來看，構(gòu)造輔助線的方法，可以從“數(shù)”（比例）的角度來研究“形”（形狀、大?。?lián)想到作平行線，構(gòu)造相似的基本圖形（A型或X型相似），體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想. 最后從解法策略來看，問題1以框圖的形式表達(dá)對證明路徑的思考，呈現(xiàn)方式簡潔明了，思維可見；問題2的輔助線的作法多樣，如A型相似、X型相似，同一作法不同角度求解（一題多解），以提升學(xué)生的幾何推理能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

2. 關(guān)注教學(xué)生成，讓教學(xué)更時(shí)效

布魯納認(rèn)為，學(xué)習(xí)知識(shí)的最佳方式是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí). 發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)指學(xué)生利用教材或教學(xué)資源自己獨(dú)立思考，自主發(fā)現(xiàn)知識(shí)，掌握原理和規(guī)律的過程. 在本節(jié)課中，筆者始終關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，比如，前測習(xí)題選自教材，讓學(xué)生先完成，互相糾錯(cuò)，從而發(fā)現(xiàn)問題、鋪墊思路. 又如，在問題1的探究環(huán)節(jié)中，筆者給予學(xué)生足夠的時(shí)間去交流，讓學(xué)生的思維充分碰撞，使其獲得一般的證明方法. 再如，在問題2的探究過程中，筆者通過開放式問題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生優(yōu)化思考，搭建中介條件，最后指向輔助線求解. 不僅給予學(xué)生再發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，還激發(fā)學(xué)生挑戰(zhàn)自己的勇氣，在試錯(cuò)的過程中加深學(xué)生對新知識(shí)的理解與內(nèi)化.

3. 關(guān)注深度學(xué)習(xí)，讓教學(xué)更高效

深度學(xué)習(xí)不僅體現(xiàn)在思考的深度上，還體現(xiàn)在思考的廣度上. 筆者認(rèn)為，淺層思考多個(gè)問題不如深度思考一個(gè)問題. 在本節(jié)課中，筆者踐行著深度學(xué)習(xí)的流程及標(biāo)準(zhǔn)，比如，在問題2的探究過程中，筆者提出了一連串問題：如何證明這兩個(gè)三角形相似？能夠證明圖中的“子三角形”相似嗎？如何聯(lián)通已知條件=與==？你打算如何作輔助線？層層追問指向運(yùn)用輔助線構(gòu)造“子三角形”相似，為學(xué)生歸納相似證明題的基本解決思路做準(zhǔn)備. 當(dāng)學(xué)生解決完此題后，又追問道：還有不同的解法嗎？簡要說明證明思路. 請你對這些解法作點(diǎn)評. 從而讓學(xué)生弄清運(yùn)用“子相似”證明“母相似”的思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力與思考廣度. 再如，作業(yè)題2是變式訓(xùn)練，讓學(xué)生涉獵此類問題，有助于開拓學(xué)生的視野，發(fā)展學(xué)生的幾何想象能力.

結(jié)束語

在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)讓學(xué)生真正有效地經(jīng)歷認(rèn)知過程，讓他們感受到數(shù)學(xué)是有活力的，其充滿著有趣的問題和新的思考方式，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)更多東西的欲望，更好地培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，使他們慢慢養(yǎng)成一種積極的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 一旦學(xué)生具備了這樣的主動(dòng)性，他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就能切實(shí)提高.

每一個(gè)學(xué)生都有獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需求與能力，開始時(shí)的表達(dá)效果可能還不是最終的素養(yǎng)體現(xiàn)，但是筆者相信，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力，并幫助其轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從教師靈巧的教學(xué)設(shè)計(jì)開始，讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)落地生根.