王黨朝，陳 湘，王 劍，黃永超

（內江師范學院 物理與電子信息工程學院，四川 內江 641100）

1 問題的提出

在量子理論建立之初，普朗克在研究黑體輻射問題時，將黑體視作大量諧振子，每個諧振子會發(fā)射和吸收電磁波，且發(fā)射和吸收電磁波的能量是不連續(xù)的（為某一能量值的整數(shù)倍）。在此假設之上，他提出了黑體輻射單位面積的發(fā)射功率為

其后，在對三維晶格摩爾熱容的研究中，德拜考慮到不同格波對晶格熱容的貢獻存在差異，尤其在低溫時低頻格波的振動，它的色散關系是線性的，并且低頻格波可以看作連續(xù)介質中的彈性波，同時考慮了對某一特定波矢，存在一支縱彈性波和兩支獨立的橫彈性波，因此提出了新的熱容模型：當T?ΘD時，晶格的平均內能為

其中x=?ω/(kBT)，β=1/(kBT)。上述兩項計算中均出現(xiàn)了積分

很明顯，被積函數(shù)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示，因此給求解帶來困難。我們知道，復變函數(shù)理論是實變函數(shù)理論的自然推廣，但又擁有比實變函數(shù)更豐富的內容，尤其對于一大類在實數(shù)域內無法求出原函數(shù)的定積分問題，可以通過構造積分圍道，使用復變函數(shù)的留數(shù)理論予以解決，這類問題的關鍵在于構造積分圍道[3-5]。對于上述形式的定積分問題，目前還沒有它的留數(shù)定理解法，以下首先給出該問題的冪級數(shù)解法，隨后著重使用留數(shù)定理予以求解，可以看出其結果是一致的。

2 冪級數(shù)理論求解

使用冪級數(shù)求解定積分的理論依據是，在收斂域內，把被積分函數(shù)展開為冪級數(shù)，在一致收斂的條件下，交換求和與積分的次序，把積分問題化為冪級數(shù)求和問題，從而達到求解定積分的目的。

對于本文中出現(xiàn)的定積分，計算過程如下

此處x＞0，所以0 ＜e-x＜1，故上式中的幾何級數(shù)收斂。經過多次使用分部積分法，可以得出最右端。以下使用傅里葉級數(shù)展開的方法，來計算。

在以[-π,π]的周期上，考慮函數(shù)f(x)=x2，它滿足狄里希利條件[6]，即：（1）處處連續(xù)，或在每個周期內只有有限個第一類間斷點；（2）在每個周期中只有有限個極值點。因此，可以將f(x)展開成傅里葉余弦級數(shù)。

經過計算，可以得到

代入系數(shù)，得到

利用Parsveral定理[7]，得到

3 留數(shù)定理求解

圖1 積分圍道

以下分別計算式（6）右端的各項積分。

由引理[8]，得到

4 結論

文章對在量子力學和固體物理學教材中出現(xiàn)的一類定積分問題，分別使用冪級數(shù)方法和復變函數(shù)理論中的留數(shù)定理進行了計算和探討，得到了相同的結論。希望本研究能夠豐富使用留數(shù)定理求解實變函數(shù)定積分問題這一領域。