吳俊英

摘 要： 在分析2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷中的數(shù)學(xué)文化試題后發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)文化類試題數(shù)量較少，數(shù)學(xué)文化類型分布集中在數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與科技兩個(gè)類型；主題領(lǐng)域分布不均衡，“概率與統(tǒng)計(jì)”最多；試題通過(guò)創(chuàng)設(shè)自然真實(shí)情境，合理控制閱讀難度、知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)、運(yùn)算量等來(lái)契合試題要求層次和考生認(rèn)知水平.高三試題命制應(yīng)創(chuàng)造性使用教材，注意均衡各數(shù)學(xué)文化類型；課堂教學(xué)應(yīng)依托情境化設(shè)計(jì)，關(guān)注閱讀、思考、表達(dá)閉環(huán)訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力，浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)文化；真實(shí)情境；高考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出“數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)” ［1］.2023年高考對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查主要體現(xiàn)在創(chuàng)設(shè)自然真實(shí)情境，從現(xiàn)實(shí)生活情境、科學(xué)研究情境及勞動(dòng)生產(chǎn)情境出發(fā)，合理控制閱讀難度、抽象程度、運(yùn)算量，使情境化試題契合試題要求層次和考生認(rèn)知水平［2］.為明晰當(dāng)前高考試題中滲透了哪些數(shù)學(xué)文化，以2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題為文本對(duì)象進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析與討論，以期為高三復(fù)習(xí)提供啟示與建議.

1 數(shù)學(xué)文化試題特征分析

整理、分析2023年高考數(shù)學(xué)試題，從試卷、題型與題號(hào)、試題背景、考查內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)、考查內(nèi)容主題及文化類型六個(gè)方面對(duì)全國(guó)甲卷（文科、理科）、全國(guó)乙卷 （文科、理科）、新課標(biāo)Ⅰ卷、新課標(biāo)Ⅱ卷六套試卷中的數(shù)學(xué)文化類考題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、歸納，如下表1. 基于已有研究，依據(jù)張維忠等人關(guān)于高考數(shù)學(xué)試題中數(shù)學(xué)文化的分類標(biāo)準(zhǔn)，將數(shù)學(xué)文化內(nèi)容類型分為數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與生活四類［3］.

1.1 試題文化類型分析

2023年全國(guó)高考統(tǒng)一命題數(shù)學(xué)試題中的數(shù)學(xué)文化題總數(shù)較少，僅有15道題，數(shù)學(xué)文化試題類型分布不均衡但貼近生活，便于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng).試題以數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與科技為主陣地，從現(xiàn)實(shí)生活情境（如新課標(biāo)Ⅱ卷第3題，全國(guó)甲卷理科第9題，新課標(biāo)Ⅰ卷第21題）、科學(xué)研究情境（如新課標(biāo)Ⅰ卷第10題，新課標(biāo)Ⅱ卷第19題，全國(guó)甲卷理科文科數(shù)學(xué)第19題）及勞動(dòng)生產(chǎn)情境（如全國(guó)乙卷理科文科第17題）出發(fā)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活息息相關(guān)，增加高考數(shù)學(xué)試題和社會(huì)生活、科技生產(chǎn)等的聯(lián)系，可以使數(shù)學(xué)更加貼近現(xiàn)實(shí)生活，拉近學(xué)生和數(shù)學(xué)之間的距離，提高學(xué)生學(xué)以致用的能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，更多關(guān)注學(xué)生綜合解決問(wèn)題的能力.試題的突出特點(diǎn)有以下兩點(diǎn)：一是以人員安排、體育比賽等為背景的試題較多，以科技創(chuàng)新為背景的試題偏少；二是對(duì)數(shù)學(xué)史給予的關(guān)注度不夠，數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)今年沒有直接考查.

1.2 試題知識(shí)主題分析

從知識(shí)主題的統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)量分布最多的是“概率與統(tǒng)計(jì)”主題，試題總數(shù)為14道;其次是“函數(shù)”主題，試題總數(shù)為1道；“幾何與代數(shù)”主題和“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”沒有考查.總體來(lái)說(shuō)，除了新課標(biāo)Ⅰ卷第21題，其他試題綜合難度不高.每個(gè)試題知識(shí)點(diǎn)含量有所提升，從知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)看，結(jié)合的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量以2個(gè)或3個(gè)為主，主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和基本技能的應(yīng)用，解答題中3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的考查占比在逐年增高.

1.3 試題題型及閱讀量分析

從試題題型的統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，選擇題有8道，填空題1道，解答題6道.在數(shù)學(xué)文化考查方式上，更多地發(fā)揮了選擇、填空題行文簡(jiǎn)潔凝練，答案簡(jiǎn)短、明確、具體，評(píng)分客觀、公正、準(zhǔn)確等特點(diǎn).同時(shí)都有一道題以解答題形式考查數(shù)學(xué)文化.按照閱讀量分類標(biāo)準(zhǔn)：試題字符數(shù)在100以內(nèi)為少量，試題字符數(shù)在100—200之間為中等，試題字符數(shù)在200以上為大量.今年試題閱讀量控制題干字?jǐn)?shù)，表達(dá)嚴(yán)謹(jǐn)精簡(jiǎn)，情境化設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔貼近現(xiàn)實(shí)社會(huì).統(tǒng)計(jì)得閱讀量少量為7道，中等為2道，大量為6道.在閱讀量上，選填題多以中等為主，需要學(xué)生擁有快速閱讀提取信息整合信息的能力.解答題的閱讀量字符數(shù)一般較多，需要學(xué)生進(jìn)行文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化，試題既提高了數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)程度，也提升了試題本身的閱讀難度.

2 典型試題欣賞與評(píng)析

2023年高考數(shù)學(xué)文化的滲透聚焦在數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與生活兩個(gè)內(nèi)容上.在數(shù)學(xué)與生活試題中背景涉及到體育、選課、社區(qū)服務(wù)、文藝匯演、作文比賽等等，能讓學(xué)生深切體會(huì)到數(shù)學(xué)無(wú)處不在.既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，也具有育人價(jià)值，能夠提高學(xué)生的社會(huì)意識(shí)與社會(huì)責(zé)任感.

例 ??（新課標(biāo)Ⅰ卷第21題） ：甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1） 求第2次投籃的人是乙的概率；

（2） 求第ⅰ次投籃的人是甲的概率；

（3） 已知：若隨機(jī)變量X i服從兩點(diǎn)分布，且P（X i=1）=1-P（X i=0）=q i，i=1，2，…，n，則 E（∑ n i=1 X i）=∑ n i=1 q i. 記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）.

點(diǎn)評(píng)： ?本題以考生熟悉的籃球投籃作為情境，設(shè)計(jì)新穎，將概率問(wèn)題融入兩人的連續(xù)投籃練習(xí)中.前兩個(gè)設(shè)問(wèn)考查事件的關(guān)系，根據(jù)全概率公式與條件概率，從隨機(jī)過(guò)程分支中找數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)而解決問(wèn)題.考查考生的邏輯思維能力，考查考生對(duì)復(fù)雜事件的分解和轉(zhuǎn)化的能力.求解的關(guān)鍵是問(wèn)題背景中前后試驗(yàn)具有密切的關(guān)聯(lián)性，其概率的內(nèi)在聯(lián)系決定了數(shù)列的遞推關(guān)系，而遞推關(guān)系的數(shù)學(xué)本質(zhì)是全概率公式［4］. 第3問(wèn)考查離散型隨機(jī)變量的期望，需要在較為復(fù)雜的情境中明晰各信息之間的聯(lián)系，用數(shù)學(xué)符號(hào)、文字語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行分析和轉(zhuǎn)化，逐步將問(wèn)題解決.求解關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)此題的研究對(duì)象，將題目轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言和思維對(duì)題目進(jìn)行表達(dá)進(jìn)而解決問(wèn)題.

本題是一個(gè)“馬爾可夫鏈”問(wèn)題.馬爾可夫鏈?zhǔn)且粋€(gè)著名的概率模型，它描述隨著時(shí)間的推移，各個(gè)不同狀態(tài)間的相互轉(zhuǎn)化，在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.馬爾可夫性可以解釋為：在已知現(xiàn)在的情況下，將來(lái)的隨機(jī)變化規(guī)律與過(guò)去發(fā)生的事件無(wú)關(guān)，即未來(lái)狀態(tài)n只受當(dāng)前狀態(tài)n的影響，與之前的n無(wú)關(guān).在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨著時(shí)間變化的隨機(jī)變量序列都具有馬爾可夫性.一般地，我們稱具有馬爾可夫性的隨機(jī)變量序列{X i}為馬爾可夫鏈.在實(shí)際應(yīng)用中，可以通過(guò)問(wèn)題的背景直接判斷隨機(jī)變量序列是否具有馬爾可夫性.教材和各地模擬題中也有相關(guān)的習(xí)題可以供拓展練習(xí)使用.

拓展練習(xí)1 ??（人教 A 版數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第81頁(yè)第10題） ：如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔1s等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)6次.求下列事件的概率.

（1） 質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)；

（2） 質(zhì)點(diǎn)位于4的位置.

拓展練習(xí)2 ??（人教 A 版數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第91頁(yè)第10題） ：甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，求n次傳球后球在甲手中的概率.

3 啟示與建議

結(jié)合楊正朝、曹文杏等人對(duì)近些年數(shù)學(xué)文化試題的研究［5］ ［6］，聯(lián)系前文對(duì)2023年試題總體特征的分析及個(gè)別試題的賞析，發(fā)現(xiàn)了一些命題特征，由此為試題的編制和教師課堂教學(xué)提出以下幾點(diǎn)建議.

3.1 基于教材進(jìn)行試題編制，二次加工教材創(chuàng)設(shè)情境

高考評(píng)價(jià)體系強(qiáng)調(diào)“無(wú)情境，不成題”，強(qiáng)調(diào)試題的情境設(shè)計(jì)和創(chuàng)造.各版數(shù)學(xué)教材中提供了很多的情境，不僅在新授課時(shí)應(yīng)重視，在高三復(fù)習(xí)時(shí)也應(yīng)回歸教材，尤其重視引言、旁白、探究、閱讀與思考等內(nèi)容，梳理可滲透數(shù)學(xué)文化的材料，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，改編教材情境試題.2019年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷第21題，2020年高考理科數(shù)學(xué)Ⅰ卷第21題也都是基于馬爾可夫鏈的概率問(wèn)題.實(shí)際上，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4 9（ A 版）《風(fēng)險(xiǎn)與決策》中第四講馬爾可夫型決策簡(jiǎn)介詳細(xì)介紹了馬爾可夫鏈問(wèn)題，但顯然部分教師對(duì)這部分內(nèi)容缺乏足夠的重視.高考數(shù)學(xué)試題的命制來(lái)源于教材又高于教材，教師可以多閱讀各個(gè)版本的教材并從中積累素材，試題編制時(shí)關(guān)注文字的精煉，合適控制文字?jǐn)?shù)量和閱讀理解對(duì)問(wèn)題難度的影響，適當(dāng)均衡各部分內(nèi)容，讓學(xué)生充分體會(huì)到數(shù)學(xué)的重要性.在數(shù)學(xué)與生活的選材上，除了關(guān)注個(gè)人生活背景，可以關(guān)注結(jié)合社會(huì)熱點(diǎn)、社會(huì)公共生活；在數(shù)學(xué)與科技的選材上，注意材料要與時(shí)俱進(jìn)，契合時(shí)代背景，關(guān)注最新科技研究成果與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，在數(shù)學(xué)史的選材上，除了數(shù)學(xué)名家、數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)名著，還可以用我國(guó)古代數(shù)學(xué)優(yōu)秀成果和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化來(lái)凸顯文化自信.此外需要關(guān)注數(shù)學(xué)文化在人文藝術(shù)方面的應(yīng)用，以更為豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容和更多元的數(shù)學(xué)文化類型彰顯數(shù)學(xué)文化的價(jià)值意義.

3.2 課堂教學(xué)關(guān)注閱讀、思考、表達(dá)閉環(huán)訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力

通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)文化類試題的分析發(fā)現(xiàn)，近些年高考試題的情境越來(lái)越真實(shí)復(fù)雜，且解答題字符數(shù)目較多，更加注重考查學(xué)生閱讀理解和信息整合能力.教師應(yīng)該重視高考命題趨勢(shì)，調(diào)整教學(xué).課堂上要給 學(xué)生完整的閱讀、思考、表達(dá)等基本活動(dòng)的體驗(yàn)，經(jīng)歷從閱讀到理解再到應(yīng)用的過(guò)程，形成課堂教學(xué)閉環(huán).教師應(yīng)重視與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，設(shè)置或選擇真實(shí)復(fù)雜的問(wèn)題情境，鍛煉學(xué)生從情景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀的能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的習(xí)慣.接下來(lái)圍繞問(wèn)題的解決，教師引導(dǎo)學(xué)生開展學(xué)習(xí)，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)注重基本概念的理解與應(yīng)用，在教學(xué)活動(dòng)中充分展示數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視具體知識(shí)與技能的生成過(guò)程，用數(shù)學(xué)的思維思考世界.最后用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，鼓勵(lì)學(xué)生探索創(chuàng)新，自主創(chuàng)設(shè)符合問(wèn)題的試題情境.

總之，以情境為載體的高考命題，秉承立德樹人的教育理念，滲透數(shù)學(xué)文化，堅(jiān)持以文化人，以文育人.高三試題命制應(yīng)創(chuàng)造性使用教材，注意均衡各數(shù)學(xué)文化類型；課堂教學(xué)應(yīng)依托情境化設(shè)計(jì)，關(guān)注閱讀、思考、表達(dá)閉環(huán)訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化.

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