田鑫

在解答一元二次方程問題時，經常會遇到一些與一元二次方程的根有關的問題，此時我們不僅要靈活運用求根公式、配方法來求得方程的根，還需對方程的根的判別式、根與系數(shù)的關系進行討論，才能順利解題.下面舉例說明在求解與一元二次方程的根有關的問題時需注意的三個關鍵點.

一、注意含參二次項的系數(shù)是否為0

對于方程ax2+bx+c=0，若a=0，則方程為一元一次方程，無法根據(jù)求根公式解題.只有在a≠0時，方程才是一元二次方程，此時才能根據(jù)求根公式、韋達定理解題.因此，判斷含參二次項的系數(shù)是否為0，是解答一元二次方程的根的問題的第一步.

例1

解

說明

二、注意方程的根的判別式△與0的關系

在解答與一元二次方程的根有關的問題時，要關注一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac.①當△>0時，方程有2個不相等的實數(shù)根；②當△=0時，方程有2個相等的實數(shù)根；③當△<0時，方程無實數(shù)根.以上結論反過來也成立.只有明確了方程的根的判別式△與0的關系，才能確定方程的根的個數(shù)，獲得正確的答案.

例2方程x2-3x+4=0與方程x2-2x-5=0的所有實數(shù)根的和是.

解：

說明：判斷方程的根的判別式△與0的關系，是解答一元二次方程的根的問題的關鍵一步.若△<0，則方程無實數(shù)根，就不能探討方程的根的問題了.

例3關于x的一元二次方程x2+mx-m-2=0的根的情況是（）.

A.有2個不相等的實數(shù)根

B.有2個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根

D.實數(shù)根的個數(shù)由m的值確定

解：

說明：我們根據(jù)題意，判斷一元二次方程的根的判別式△=b2-4ac與0的關系，即可判斷出方程的根的個數(shù).

三、注意把握方程的根與系數(shù)的關系

一般地，（1）若一元二次方程的二次項系數(shù)為1，且x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根，則方程的根與系數(shù)的關系為x1+x2=-p，x1x2=q；（2）若二次項系數(shù)不為1，且x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，則方程的根與系數(shù)的關系為x1+x2=-ba，x1x2=ca，反過來也成立，即ba=-（x1+x2），ca=x1x2.該方程的根與系數(shù)的關系，也被稱為韋達定理.根據(jù)韋達定理，可由方程中的系數(shù)確定根的大小，也可以根據(jù)已知的兩根確定方程中系數(shù)的值.

例4

解

說明：先將一元二次方程化為一般式，根據(jù)方程的根的判別式大于0，列出關于m的不等式，即可求出不等式的解集，判斷出②的正確性；再利用根與系數(shù)的關系求出兩根之積為6-m，這只有在m=0時才能成立，即可判定①錯誤；將選項③中的二次函數(shù)式整理后，利用根與系數(shù)的關系得出兩根之和與兩根之積，并令y=0，即可建立關于x的方程，求出方程的解，確定二次函數(shù)圖象與x軸的交點的坐標，這就說明③正確.

例5

解

說明：在解答本題時，要先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，求得兩根之和與兩根之積；再根據(jù)兩根之間的關系，求得方程中系數(shù)的關系；最后利用配方法化簡求值即可解題．

總之，當遇到與一元二次方程的根有關的問題，如：（1）判斷方程的根的個數(shù)；（2）判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；（3）求與方程的兩根相關的關系式的值；（4）由方程的根求參數(shù)的取值范圍；（5）已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)；（6）判斷兩根的符號問題時，就需重點關注二次項的系數(shù)、方程的根的判別式與0的關系、根與系數(shù)的關系.這樣才能避免出現(xiàn)疏漏，順利求得正確的答案.