曹婧博 潘 鉞

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)科技史與科技考古系,合肥 230026)

1 闡理幽元:不可公度量概念背后的哲學(xué)思辨

明萬歷三十五年(1607)由利瑪竇(1552—1610)、徐光啟(1562—1633)合譯的《幾何原本》第五卷界說三的注釋已經(jīng)提到了“不可公度量”概念:

其小合線,為無兩度之線,如直角方形之兩邊與其對角線為小合,即分至萬分以及無數(shù),終無小線可以盡分、能度兩率者是也。此論詳見十卷末題。([1],頁232)

“小合線”即《歐幾里得原本》第十卷所涉“不可公度量”之一種,“無兩度”即“不可公度”最早的漢語表述。

清咸豐八年(1858),在藏書家韓應(yīng)陛(1800—1860)的幫助下,漢譯《幾何原本》后九卷首次出版,“不可公度量”概念正式進入中國學(xué)者的視野。

《幾何原本》第十卷核心內(nèi)容承接其第五卷比例論,同時為之后立體幾何計算奠定基礎(chǔ)。全卷內(nèi)容約占整部《幾何原本》的四分之一,要點是“不可公度量”與“無比例線”的理論體系與計算運用。“有等”與“無等”、“有比例”與“無比例”,是《幾何原本》第十卷最重要的概念。

此套概念體系是理解古希臘數(shù)學(xué)的難點?！稁缀卧尽窛h譯者李善蘭曾論及第十卷內(nèi)容之艱深:“第十卷闡理幽元,非深思力索不能驟解,西士通之者亦鮮?！?[1],頁148)文藝復(fù)興時期,歐洲學(xué)者翻譯《歐幾里得原本》時繼承希臘人對“數(shù)”(αριθμó?)的定義,認(rèn)為“數(shù)”的本原是“單元”(unit),“量”的本原是“點”(point)([2],頁228)。當(dāng)時大部分學(xué)者認(rèn)為“數(shù)”與“連續(xù)量”(continuous magnitudes)——即算術(shù)與幾何截然不同?！皵?shù)”僅代表整數(shù),分?jǐn)?shù)是整數(shù)的比,負數(shù)和無理數(shù)在西方古典數(shù)系中被懸置[3]。直到16世紀(jì)末荷蘭數(shù)學(xué)家斯蒂文(Simon Stevin,1548—1620)在印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼基礎(chǔ)上創(chuàng)制了十進制小數(shù),才明確地將“不可公度”概念由“量”推及“數(shù)”[4]。

在中算傳統(tǒng)中,以劉徽為代表的開方思想兼有直觀性與實用性,以具體問題的解決為核心,以道家的無限思想為基礎(chǔ)[5]。因此晚清中算家能天然接受“不可公度量”所蘊含的“無限”,敏銳地捕捉到它與劉徽“以面命之”相似的思想痕跡。然而,因為不了解“不可公度量”與古希臘幾何學(xué)的關(guān)系,他們忽略了“不可公度量”體系在古希臘邏輯學(xué)語境下并非針對任何具體問題,而是試圖構(gòu)建具有一般性的數(shù)學(xué)概念。

2 探索與嘗試:顧觀光對“不可公度量”的特例性解釋

“不可公度量”概念的傳入屬于一次全新的術(shù)語譯介。在中國古代傳統(tǒng)算學(xué)中,對于正方形對角線或圓內(nèi)接多邊形邊長的求解,使用的是以開方術(shù)求近似值的方法,“量”之間的公度問題和“數(shù)”的狀態(tài)不屬于中國古代算學(xué)的討論范圍[6]。李善蘭在翻譯《幾何原本》后即轉(zhuǎn)向素數(shù)研究,于同治十一年(1872)發(fā)表《考數(shù)根法》,是晚清數(shù)學(xué)研究最為重要的成果之一[7];華蘅芳(1833—1902)《開方別術(shù)》也在同年刊刻。顧觀光(1799—1862)《〈幾何原本〉六和六較線解》(簡稱“《六和六較線解》”,圖1)作于咸豐八年,是中國學(xué)者對《幾何原本》第十卷最早的解讀。

圖1 顧觀光《〈幾何原本〉六和六較線解》

全文共一千四百余字,通過“以例題解定義”的方式解釋了《幾何原本》第十卷中“六和六較線”的含義?！傲土^線”即6種“和線”與6種“較線”。漢譯《幾何原本》第十卷第三十七命題前,題有“論六和線”;第七十四命題前,題有“論六較線”;第一百十六題有“從中線起依法遞推,得無數(shù)無比例線,各與前六和六較線皆不同類”([1],頁358、383、413)?！丁磶缀卧尽盗土^線解》之題即從此而來。

顧觀光治西學(xué)有自己的一套學(xué)術(shù)主張,他從中國古代算學(xué)和經(jīng)學(xué)兩大傳統(tǒng)出發(fā),力主“中西之法可互相證,而不可互相廢”[8],《六和六較線解》是其學(xué)術(shù)主張的實踐。《六和六較線解》利用構(gòu)造數(shù)值關(guān)系來闡釋《幾何原本》第十卷各種無比例線的定義。類似方法多見于顧觀光研究西方數(shù)學(xué)的論文,如《用理分中末線求圓周法》以“設(shè)圓徑二千萬求圓周”等算題來解釋《幾何原本》中的“理分中末線”概念[9]。

以中國古代算學(xué)解讀《幾何原本》的傳統(tǒng)起于明末清初。梅文鼎(1633—1721)《幾何通解》曾“以勾股解《幾何原本》之根”,從《幾何原本》第二、三、四、六等卷中選出15個命題,以“勾股術(shù)”會通?！稁缀瓮ń狻烽_篇即言“《幾何》不言勾股,然其理并勾股也”[10]。類似地,顧觀光曾引用中國古代算經(jīng)二十余部撰寫了《九數(shù)存古》,該書“專輯古法故以九數(shù)為綱”,其第九卷專論“勾股”,涉及“勾實之矩”“股實之矩”“折矩以為勾股”等核心算法[11]。

顧觀光解讀《幾何原本》第十卷,遵循上述傳統(tǒng),強調(diào)《幾何原本》與《九章算術(shù)》的互通之處,如“僅正方有等”的有比例線即是《九章算術(shù)》開方術(shù)中的“以面命之”;又如知有比例線而解無比例線的過程,可以用《九章算術(shù)》中“勾實之矩”“股實之矩”等勾股形面積推演來解釋[12]。

茲以《六和六較線解》例題一(圖2—圖7)“有比例線八”與“第一組合名線”的關(guān)系為例,將顧觀光的闡釋方法以圖解和現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號的形式說明:

圖2 《六和六較線解》例題一第一步圖解

圖3 《六和六較線解》例題一第二步圖解

圖4 《六和六較線解》例題一第三步圖解

圖5 《六和六較線解》例題一第四步圖解

圖6 《六和六較線解》例題一第五步、第六步圖解

圖7 《六和六較線解》例題一第七步圖解

大分四,正方十六;小分三四六四奇,正方十二;[12]

兩正方較積四,其邊二與大分有等。半小分一七三二奇,正方三。[12]

大分上作少一正方之矩形,與半小分正方等,長三闊一。[12]

大小兩分相并得七四六四奇為第一合名線(第二、第三線同)。相減余五三五奇為第一斷線。(第二、第三線同)。設(shè)有比例線八與大分有等。[12]

以乘矩形之長得廿四,其邊四八九八奇,以乘矩形之闊得八,其邊二八二八奇。兩線相并得七七二六奇為合名線,自之得五九七一奇,即第一合名線乘比例線之矩形。兩數(shù)相減得二〇七奇為斷線,自之得四二八五奇,即第一斷線乘比例線之矩形。[12]

如此便復(fù)原了顧觀光《六和六較線解》例題一所設(shè)數(shù)值的數(shù)形關(guān)系。

表1 《六和六較線解》例題一所設(shè)數(shù)值圖表

表2 《〈幾何原本〉六和六較線解》中所有“合名線”數(shù)值

《六和六較線解》以上述“例題一”開篇,以具體數(shù)值關(guān)系解釋“合名線”與“斷線”的含義,未曾引述《幾何原本》第十卷定義。因此,顧觀光乃以具體數(shù)值來解釋《幾何原本》第十卷各種無比例線的含義。

然而,結(jié)合《歐幾里得原本》關(guān)于13種無比例線的定義和命題,可知顧觀光所列舉的數(shù)值只是幾組符合定義的特例,顯然不足以完整地體現(xiàn)“和線”與“較線”之間復(fù)雜的一般性代數(shù)關(guān)系。從此論之,則顧觀光的嘗試雖不至于失敗,但至少還很不充分。

3 由“數(shù)”及“量”:黃慶澄對“不可公度量”的進一步理解

1866年,《幾何原本》十五卷本在金陵書局出版,為晚清學(xué)術(shù)界增添了新的研究材料。同時,在“師夷長技以制夷”的思想指導(dǎo)下,晚清政府開始推動新式學(xué)堂的建設(shè),中國數(shù)學(xué)教育開始近代化進程。自1862年京師同文館設(shè)立起,幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、微積分、三角學(xué)等數(shù)學(xué)知識與傳統(tǒng)中國算學(xué)一起進入教育體系中[13]。《幾何原本》等西學(xué)著作中的數(shù)學(xué)知識是西方數(shù)學(xué)的主要教學(xué)內(nèi)容。為了普及《幾何原本》,大量的數(shù)學(xué)研究者及教育工作者開始編寫面向?qū)W生的改編本,并在此基礎(chǔ)上發(fā)展出了多種形式的的新式教材,中國《幾何原本》研究進入了新階段。其中,黃慶澄(1863—1904)《〈幾何〉第十卷釋義》(表3,以下簡稱“《釋義》”)對《幾何原本》第十卷做出了新的詮釋。

表3 黃慶澄《釋義》結(jié)構(gòu)

黃慶澄,浙江溫州平陽人,1889年在上海梅溪書院擔(dān)任教習(xí),1893年曾前往日本游學(xué)兩月([14],頁4)。1897年7月黃慶澄在溫州創(chuàng)辦《算學(xué)報》,是國內(nèi)第一份數(shù)學(xué)專業(yè)的報刊[15]。從第2期起,《算學(xué)報》刊行工作轉(zhuǎn)至上海新馬路梅福里(今新閘路黃河路以東)的上海算學(xué)報館,黃慶澄此后撰寫的研究專著都在上海算學(xué)報館刊刻出版([16],頁3)。黃慶澄對中國古算與西方數(shù)學(xué)都有研究,勵志創(chuàng)辦報刊“專擇近日算學(xué)中最重要者……以辟黃人之智慧” ([16],頁3—4)?！端銓W(xué)報》在當(dāng)時江浙滬地區(qū)流傳較廣,甚至遠播日本。其中黃慶澄的家鄉(xiāng)溫州地區(qū)受益尤多([14],頁21)。

1898年4至5月,黃慶澄在《算學(xué)報》第11至12期刊文討論《幾何原本》第十卷“不可公度量”問題,圖文結(jié)合,以圖解題([16],頁4)。該文后經(jīng)整理成為《釋義》,同年在上海算學(xué)報館刊刻出版。

《釋義》兩卷,共12部分,含93款命題,末尾附《顧氏觀光六和六較解》,系黃慶澄對節(jié)選自顧觀光《六和六較線解》的內(nèi)容所作的圖解和注釋。黃慶澄如是敘述添加該附錄的緣由:

原書有說無圖,學(xué)者尚艱于索解,茲特逐一補之。末由無比例線推到圓面球面,以本書尚未及此,故節(jié)去。[17]

與顧觀光《六和六較線解》相比,黃慶澄《釋義》有三點不同之處。

首先,黃慶澄認(rèn)識到《幾何原本》數(shù)論部分對理解“不可公度量”的重要作用。英國數(shù)學(xué)家亨利·比林斯利(Henry Billingsley,1532—1606)曾在他翻譯的《歐幾里得原本》中論述《原本》結(jié)構(gòu)的整體性,指出“數(shù)”與“量”是數(shù)學(xué)大廈的基石,若要理解“不可公度量”和立體形的比例關(guān)系,則首先需要理解“數(shù)”([2],頁183)。黃慶澄對《釋義》內(nèi)容的編排,表明他也已經(jīng)對此要旨有所認(rèn)識,反映出他對《幾何原本》結(jié)構(gòu)體系的理解較顧觀光更為深刻。

《釋義》第一部分“釋無等線”通過引用《幾何原本》第七卷對“數(shù)”和“無等數(shù)”(素數(shù))的定義,從“數(shù)”的根本性質(zhì)及“無等數(shù)”和“有等數(shù)”的區(qū)別來聯(lián)系“無等幾何”[18]。這種通過“數(shù)”的性質(zhì)來認(rèn)識和解釋“量”的做法正是16世紀(jì)歐洲學(xué)者所采用的。黃慶澄還展示了他對《幾何原本》整體意義的把握:

一章至本章以整數(shù)與零數(shù)明無比例之由來,自下章至末章兼以零數(shù)與零數(shù)明無比例之究竟,此本書之大旨也。[18]

其次,《釋義》每一款命題都配有圖解(圖8),其附錄也為顧觀光《六和六較線解》增加了圖解,并且已開始使用現(xiàn)代代數(shù)學(xué)符號。

圖8 《釋義》圖解和代數(shù)學(xué)符號

但《釋義》闡釋“不可公度量”時仍然承襲顧觀光《六和六較線解》列舉特例數(shù)值的方式。黃慶澄非常重視顧觀光的工作,他認(rèn)為顧觀光的闡釋方法是可取的,唯一不足是沒有附圖。

第三,《釋義》對《幾何原本》第十卷命題做了歸納性改編。黃慶澄將第十卷的主要命題劃分為10個部分,將原來的117個命題濃縮成93款命題,并在各命題后補充了評論和注釋。例如,《釋義·釋六和線》第十款命題涵蓋了《幾何原本》第十卷中部界說一到六所涉及的六類合名線,并強調(diào)研讀時需結(jié)合第十卷中部命題四十九到五十四和顧觀光《六和六較線解》:

十款(《十中》界說一至六):置有比例線及合名線,而合名線二分上正方之較積方邊與大分長短有等,則其線有三類;若合名線二分上正方之較積方邊與大分長短無等,則其線亦有三類。說曰:此須細觀《十中》四十九至五十四原論及后顧氏說。[17]

黃慶澄的歸納與概括使文本更為簡潔,總體而言更適合初學(xué)者閱讀。但文本的復(fù)雜性是《幾何原本》無法剝離的特點之一,歸納與縮編的同時也意味著有誤讀的風(fēng)險。對比《幾何原本》第十卷中部界說原文,可知6類合名線的區(qū)分并非僅僅依據(jù)合名線二分上正方較積方邊與大分長短有等與否,還要結(jié)合大分、小分與所置比例線長短是否有等的條件加以判斷。黃慶澄的改編和歸納顯然過于簡略,導(dǎo)致《釋義》對合名線分類的解釋不夠充分。

4 以代數(shù)明幾何:吳在淵對“無比例線”的一般性解釋

與顧觀光和黃慶澄相比,生于19世紀(jì)末的吳在淵(1884—1935)(1)吳在淵(名起潛,字在淵,中年以字行),江蘇常州陽湖人,清末民國時期著名數(shù)學(xué)教育家。1911年夏,任職于京師清華學(xué)堂的吳在淵與同事胡敦復(fù)(1886—1978)、平海瀾(1885—1960)等成立立達學(xué)社;不久,武昌起義爆發(fā),立達學(xué)社社員相繼南下,聚于上海。1912年3月,立達學(xué)社在上海創(chuàng)辦大同學(xué)院(1922年改稱“大同大學(xué)”)。吳在淵作為該校創(chuàng)辦者之一,在校任教24年直至去世,生前編寫數(shù)學(xué)研究著作及教材20余種,參與數(shù)學(xué)名詞術(shù)語的審定及中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的制訂,是中國近代數(shù)學(xué)教育的奠基人之一。接觸到了更多從西方傳入的現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識。1903年前后,19歲的吳在淵師從周道章(字彣甫、文甫,生卒年不詳),自修日文并研讀日文原版數(shù)學(xué)書籍[19]。周道章曾在江南制造局翻譯館擔(dān)任?？?傅蘭雅(John Fryer,1839—1928)、華蘅芳翻譯的美國代數(shù)學(xué)書籍《算式解法》即由周道章校算,于1899年刊行[20]。

當(dāng)時正值清政府頒布《欽定學(xué)堂章程》及《奏定學(xué)堂章程》、廢除科舉制度、推行近代教育體制之際,中國學(xué)界掀起了編譯西方近代教科書的熱潮[21]。吳在淵也跟隨周道章投身編譯數(shù)學(xué)教科書,尤其是代數(shù)學(xué)教科書。1906年周道章編譯的《學(xué)校用新代數(shù)學(xué)》[22]發(fā)行。同年,吳在淵與周道章共同校閱了顧澄(1883—?)編譯的《普通教育代數(shù)教科書》,該書內(nèi)容與體例主要取法日本數(shù)學(xué)家高木貞治(1875—1960)編著的教科書,并吸收英國數(shù)學(xué)家托德亨特(Issac Todhunter,1820—1884)和查爾斯·史密斯(Charles Smith,1844—1916)的成果[23]。

自1904年至1911年,在中國出版發(fā)行的代數(shù)學(xué)教科書共計33種[24],它們是根據(jù)西方近代教學(xué)材料編譯而成,采用橫向文字排版,以拉丁字母和代數(shù)符號表示代數(shù)式,配以習(xí)題,確立了中國現(xiàn)代代數(shù)學(xué)教科書的規(guī)范。這些教科書吸收西方近代數(shù)學(xué)家研究無理數(shù)的成果,不需再像《幾何原本》那樣借助古典的“不可公度量”來闡釋“不可公度”概念。例如周道章編譯《學(xué)校用新代數(shù)學(xué)》對“無理數(shù)”的定義:

不能得完精密之根名曰“不盡根”(原文腳注:Surd)或“無理之?dāng)?shù)”(原文腳注:Irrational number)。([22],頁4)

該定義一方面與《九章算術(shù)》“開之不盡者為不可開,當(dāng)以面命之”相合,另一方面也明確地從代數(shù)學(xué)視角將其定義為“無理數(shù)”。從數(shù)學(xué)思想的角度,本定義是推進無理數(shù)研究的有效嘗試。但從不盡根理解無理數(shù)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)仍有差距,如超越數(shù)π等無理數(shù)便無法從不盡根的角度加以理解。另外亦表明此時期對“不可公度”的研究尚未超出歐幾里得的范疇,即仍以闡釋“不可公度量”為主。

正在此時,1906年吳在淵撰寫了《無比例線新解》。由于具有更多現(xiàn)代數(shù)學(xué)理念,吳在淵觀點鮮明地指出舊學(xué)與新學(xué)之不同:

顧學(xué)者囿于舊學(xué)久矣,不有以破除而擴清之,或且以膠執(zhí)固蔽而新學(xué)莫由入。是雖微渺,尚非勦襲饾饤者,以破陳說而發(fā)新機,亦未必?zé)o小補也。([25],頁1)

吳在淵認(rèn)為無比例線問題涉及的“不可公度”概念是完全的新學(xué),是傳統(tǒng)算學(xué)體系無法涵蓋的范疇,解釋《幾何原本》第十卷“不可公度量”必須“破陳發(fā)新”,不能再抱有以舊學(xué)證新學(xué)的幻想。該思想迥然有別于顧觀光“中西之法可互相證”的學(xué)術(shù)主張。

另外,掌握現(xiàn)代代數(shù)學(xué)理論的吳在淵還認(rèn)識到,《幾何原本》“不可公度量”概念局限于“幾何量”,未能從代數(shù)學(xué)視角闡釋無理數(shù)。于是吳在淵指出其編寫《無比例線新解》的意義乃“補《幾何原本》之不足”,又將《無比例線新解》的方法論總結(jié)為“用代數(shù)以明幾何”:

本書補《幾何原本》之不足,故用代數(shù)以明幾何。本書中凡說理處,因用式顯明,用說糾葛,故略去圖解,專用代數(shù)式。凡遇作法題,則兼用代數(shù)、幾何,以求完備。凡遇《幾何原本》中所未備之法,均一一補入……于本書后附總雜問,以匯通代數(shù)、幾何應(yīng)用。無比例線,全書中最為緊要……([25],頁1)

《無比例線新解》卷首《揭論》展現(xiàn)出吳在淵對《幾何原本》第十卷13種無比例線代數(shù)意義的深刻認(rèn)識:

吳在淵還指出《幾何原本》漢譯者李善蘭在理解無比例線時的局限:

昔李壬叔論此線曰:“幾何也,烏可以代數(shù)通之?”斯蓋遇其識力所難明,故至固于名而失其實。學(xué)者不可因此而自畫進境也。([25],頁 1)

在此理論背景下,吳在淵對《幾何原本》“不可公度量”的認(rèn)識自然能較顧觀光、黃慶澄等人更為深刻。茲以《無比例線新解》第一合名線命題(卷中問題十三,圖9)為例:

圖9 《無比例線新解》卷中問題十三圖示

與顧觀光《六和六較線解》、黃慶澄《〈幾何〉第十卷釋義》以特例數(shù)值解釋無比例線相比,《無比例線新解》的代數(shù)學(xué)詮釋更不失一般性。在以代數(shù)學(xué)闡釋完“無比例線”意義之后,吳在淵還補充了“以數(shù)明之”部分,則說明他也沒有完全拋棄顧觀光、黃慶澄的特例詮釋方法。

撰寫《無比例線新解》時,吳在淵初入教壇,正在參與編寫數(shù)學(xué)教科書。《無比例線新解》針對各類無比例線設(shè)置了若干例題,幫助讀者理解無比例線的代數(shù)意義,使該書具有更明顯的教學(xué)價值[26]。這也有別于顧觀光和黃慶澄的工作。

5 結(jié)語:知識傳播路徑的曲折和迂回

晚清三代學(xué)者顧觀光、黃慶澄和吳在淵對《幾何原本》第十卷“不可公度量”的探究和解釋呈現(xiàn)出明顯的遞進性,其原因在于三人知識結(jié)構(gòu)、學(xué)術(shù)淵源的不同,反映出時代背景的不斷變遷。

顧觀光活躍于19世紀(jì)中葉,正值第二次“西學(xué)東漸”早期,是晚清最早接觸西方學(xué)術(shù)的學(xué)者之一。顧觀光所掌握的知識結(jié)構(gòu)及其所接受的學(xué)術(shù)訓(xùn)練仍屬于中國傳統(tǒng)范式,面對西方科學(xué)知識,他主張“中西之法可互相證”[8]?！丁磶缀卧尽盗土^線解》是顧觀光學(xué)術(shù)主張的實踐工作,體現(xiàn)了他研究西方數(shù)學(xué)時遵循的兩項傳統(tǒng):一方面是中國古代算學(xué)以帶有具體數(shù)值的算題來解釋算理的詮釋傳統(tǒng);另一方面是明末清初以來用中算解讀西方數(shù)學(xué)的研究傳統(tǒng)。雖然《六和六較線解》把握住了13種無比例線段之間對應(yīng)的數(shù)值關(guān)系,但在兩項傳統(tǒng)的局限下,顧觀光只能通過舉出某些特例來說明各類無比例線的含義,也未能認(rèn)識到它們與《幾何原本》中其他內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系。

黃慶澄活躍于19世紀(jì)末期,此時第二次“西學(xué)東漸”的影響正在擴大,洋務(wù)運動促進本土新式學(xué)堂的興起,中國學(xué)生前往歐美、日本留學(xué)也漸成風(fēng)潮。黃慶澄比顧觀光具有更明顯的新式教育和西方學(xué)術(shù)背景,對于《幾何原本》的理解也更為深刻?！丁磶缀巍档谑磲屃x》從《幾何原本》第七卷的定義出發(fā)來解釋第十卷“不可公度量”,表現(xiàn)出黃慶澄對《幾何原本》整體結(jié)構(gòu)有著更為深刻的認(rèn)識。《釋義》對現(xiàn)代代數(shù)學(xué)符號的采用也反映出黃慶澄的教育背景已和傳統(tǒng)文人學(xué)者大為不同。但《〈幾何〉第十卷釋義》仍然繼續(xù)遵循顧觀光的特例數(shù)值闡釋,未能揭示其一般的代數(shù)學(xué)意義。

吳在淵活躍于20世紀(jì)初期,此時中國歷經(jīng)甲午戰(zhàn)敗、維新變法失敗以及八國聯(lián)軍侵華,社會各界興辦現(xiàn)代學(xué)堂、引進現(xiàn)代學(xué)術(shù)、培養(yǎng)現(xiàn)代人才的熱情空前高漲。吳在淵的老師周道章曾跟隨晚清科學(xué)翻譯名家華蘅芳參與翻譯西方數(shù)學(xué)書籍,具有深厚的新學(xué)素養(yǎng)。吳在淵也由此接觸并掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)理念,從而清醒地看到舊學(xué)與新學(xué)之間的巨大鴻溝,主張“破陳說而發(fā)新機”([25],頁1)。編譯西方近代教科書之余,吳在淵重新審視了數(shù)十年前被翻譯為漢語的《幾何原本》,以代數(shù)學(xué)視角明銳地捕捉到《幾何原本》第十卷“不可公度量”概念的不足之處,并通過現(xiàn)代代數(shù)學(xué)重新闡釋了無比例線的數(shù)學(xué)意義。

從《六和六較線解》《〈幾何〉第十卷釋義》到《無比例線新解》,歷經(jīng)半個世紀(jì),該過程的歷史背景正是伴隨著西方列強霸占海上絲綢之路向中國侵略掠奪而展開的第二次“西學(xué)東漸”。

由英國傳教士偉烈亞力和中國數(shù)學(xué)家李善蘭共同完成的漢譯《幾何原本》后九卷是第二次“西學(xué)東漸”早期最重要的成果之一,它使中國人時隔250年之后終于能完整地通覽這部在哲學(xué)、數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域影響西方兩千余年的重要經(jīng)典。但當(dāng)時的中國學(xué)者初次遇見“不可公度量”這樣蘊含深奧哲學(xué)思想的西方概念,缺少能夠真正認(rèn)識它的理論儲備。隨著第二次“西學(xué)東漸”不斷深入,西方近現(xiàn)代學(xué)術(shù)思想成果越來越多地為中國學(xué)者了解并接受,才使他們一步步加深對“不可公度量”以及《幾何原本》本身的認(rèn)識程度。從無比例線、無等線到不盡根,展示了晚清數(shù)學(xué)家對“不可公度量”的遞進認(rèn)識,雖然與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的“無理”含義還有所差距,但也逐漸靠近著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究方式。

值得注意的是,在第二次“西學(xué)東漸”后期,西學(xué)的傳入不再如早期那樣單純地來自地理意義上的西方。在理解《幾何原本》第十卷“不可公度量”方面做出推進工作的黃慶澄和吳在淵,他們的西學(xué)背景都留有日本新式教育的深刻影響。

19世紀(jì)70年代以后,隨著日本明治維新運動興起,日本學(xué)術(shù)界不斷引入西方近代科學(xué)知識,為日本向近代國家轉(zhuǎn)型奠定了思想與理論基礎(chǔ)。幕府末期至明治初期,漢譯西方數(shù)學(xué)書籍曾是日本接觸西方數(shù)學(xué)的主要途徑,偉烈亞力、李善蘭翻譯的《代微積拾級》和傅蘭雅、華蘅芳翻譯的《代數(shù)術(shù)》都在日本產(chǎn)生了廣泛影響,西學(xué)從中國東漸至日本([28],頁48—99)。1877年,具有近代西方學(xué)會特色的東京數(shù)學(xué)會社成立后,日本出現(xiàn)了更多直接編譯自西方的數(shù)學(xué)教科書,甚至反過來向中國傳播([28],頁206—210)。

20世紀(jì)最初十年出版發(fā)行于中國的代數(shù)學(xué)教科書有相當(dāng)一部分編譯自當(dāng)時的日本教科書,或者二次編譯自日本教育者編譯的西方教科書;其中不少教科書的印刷工作也在日本完成。如商務(wù)印書館編譯所的《中學(xué)代數(shù)學(xué)教科書》(1906)列出的引用書目全部都是日本教育者編著或編譯的教科書[29]。又如周道章編譯的《學(xué)校用新代數(shù)學(xué)》(1906)、顧澄編譯自日本高木貞治的《普通教育代數(shù)教科書》(1906)、陳榥編譯自英國查爾斯·史密斯的《初等代數(shù)學(xué)(第五版)》(1908)[30]等教科書都是在日本完成印刷后刊行于中國。在此階段,日本在學(xué)習(xí)吸收西學(xué)方面反超中國,西學(xué)反而從東方的日本又西漸于中國,揭示了知識遷移過程的復(fù)雜性以及知識傳播路徑的曲折和迂回。