于 杰, 羅 梟, 趙婷婷, 張 祺*,3

(1.太原理工大學(xué) 機(jī)械與運載工程學(xué)院,太原 030024;2.太原理工大學(xué) 土木工程學(xué)院,太原 030024;3.中國科學(xué)院 物理研究所,北京 100080)

1 引言

顆粒介質(zhì)沖擊現(xiàn)象在自然界和工業(yè)中廣泛存在,如風(fēng)沙運動中的顆粒床碰撞、海灘腳印的形成和月球飛行器的著陸等。在沖擊過程中,顆粒床同時表現(xiàn)出固體狀態(tài)和流體狀態(tài)并相互演化,此時顆粒介質(zhì)的力學(xué)行為是多重狀態(tài)的組合,使得顆粒沖擊的研究不再是一個簡單的問題。對顆粒介質(zhì)沖擊動力學(xué)過程及相應(yīng)力學(xué)行為的研究,會加深對顆粒介質(zhì)沖擊相關(guān)的復(fù)雜自然現(xiàn)象的理解(如隕石撞擊星球表面),具有重大的科學(xué)意義和廣泛的應(yīng)用背景。在試驗方面,Uehara等[1]最早開展了低速淺沖擊試驗,結(jié)果表明沖擊深度與沖擊顆粒下落的總高度呈1/3次冪律關(guān)系。此外,大量試驗研究表明沖擊物的形狀[2]、性質(zhì)[3]、沖擊角度[4]、顆粒床厚度和容器邊界[5]等因素均會對沖擊物的穿透深度和沖擊坑形態(tài)產(chǎn)生影響。在模擬方面,Ciamarra等[6]最早進(jìn)行了二維圓盤沖擊模擬并提出了顆粒沖擊的三個階段。Wang等[7]開展了不同沖擊角度的二維沖擊模擬,結(jié)果表明當(dāng)沖擊角度小于臨界值(約30°),停止時間隨沖擊速度線性增加。也有學(xué)者就顆粒沖擊的力學(xué)模型[8]、濺起顆粒動力學(xué)[9]和其他方面問題進(jìn)行研究。如在緩沖性能方面,王嗣強(qiáng)等[10]基于連續(xù)函數(shù)包絡(luò)的超二次曲面單元構(gòu)造了非球形顆粒,結(jié)果表明相比具有尖銳頂點和平面的顆粒,表面光滑的球形顆粒具有更好的緩沖效果。上述的研究工作都是在地球重力環(huán)境下進(jìn)行的,在地面上觀察到的顆粒介質(zhì)豐富的運動行為疊加了顆粒自身性質(zhì)與重力因素的影響,而對于顆粒介質(zhì)的本征行為還沒有得到充分的研究。

在不同重力場中,顆粒介質(zhì)會表現(xiàn)出不同的特性。如Wang等[11]在零重力環(huán)境雙室顆粒氣體系統(tǒng)偏析過程的數(shù)值模擬表明,零重力環(huán)境中的偏析與激勵強(qiáng)度Γ無關(guān)。Peng等[12]采用懸壁筒倉來消除Janssen效應(yīng),發(fā)現(xiàn)在微重力環(huán)境下,重力驅(qū)動的Beverloo公式不再適用,可利用孔洞附近的壓力替代重力產(chǎn)生顆粒流動。在顆粒沖擊方面,Colwell等[13]的微重力沖擊實驗表明噴射物錐角的速度和沖擊物的能量呈1/2次的冪律關(guān)系。Altshuler等[14]進(jìn)行了不同重力加速度下靜止物體侵入顆粒介質(zhì)動力學(xué)的系統(tǒng)試驗和模擬,發(fā)現(xiàn)靜止在顆粒床上的物體的最終穿透深度與重力加速度無關(guān)。Ji等[15]通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),在月球重力下,著陸器的沖擊力峰值和穿透深度隨其速度和質(zhì)量的增加而增大。此外,也有學(xué)者對微重力下的顆粒沖擊成坑過程[16]進(jìn)行了研究。總體來說,對微重力下顆粒介質(zhì)行為的研究剛剛起步,且對沖擊物運動特征的研究還較少。

目前常見的實現(xiàn)微重力環(huán)境的技術(shù)有落塔、拋物線飛機(jī)和失重火箭等,但構(gòu)建微重力環(huán)境消耗巨大,且持續(xù)時間較短。離散元法是研究顆粒介質(zhì)[17]和巖土工程[18]的一種成熟手段,利用離散元法控制重力加速度的變化,可以彌補(bǔ)實驗技術(shù)手段的不足。所以,本文采用離散元方法(DEM)建立顆粒床在球體沖擊物作用下的數(shù)值模型,在不同重力加速度條件下,對顆粒沖擊過程進(jìn)行數(shù)值計算,探究重力加速度對顆粒沖擊過程的影響,揭示不同重力加速度下沖擊物的運動特征變化。

2 顆粒介質(zhì)沖擊過程的離散元模型

2.1 顆粒間的非線性接觸模型

采用球體顆粒單元及其非線性接觸模型計算顆粒間的相互作用力,對顆粒介質(zhì)的沖擊過程進(jìn)行數(shù)值模擬。

表1 顆粒的接觸模型Tab.1 Contact force model of particles

對于多分散顆粒系統(tǒng),離散元模擬的時間步長應(yīng)小于瑞利波傳播最小顆粒半球面需要的時間,可取為

(1)

2.2 顆粒介質(zhì)沖擊過程的離散元模型與試驗對比

為驗證離散元模型的有效性,對顆粒層厚度為H1的球體沖擊緩沖過程進(jìn)行數(shù)值模擬,并與季順迎等[19,20]地球重力下的試驗結(jié)果和模擬結(jié)果進(jìn)行對比。模擬計算和真實試驗設(shè)置的條件一致,令沖擊物的直徑D=5 cm,圓筒容器高度H2=30 cm,顆粒單元在圓筒中隨機(jī)生成,顆?？倲?shù)由顆粒厚度H1決定,所有顆粒在重力作用下達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài)。在離散元計算中顆粒單元的直徑在[4.0 mm,5.0 mm]內(nèi)隨機(jī)分布,其均值為4.5 mm。球形沖擊物直徑為D,初速度為v0,其質(zhì)心位置距顆粒層表面的高度為H3,顆粒介質(zhì)沖擊的離散元模型如圖1所示。本文離散元模擬使用的主要計算參數(shù)列入表2。

圖1 H1=0.5 cm時,沖擊力變化過程的試驗結(jié)果[19]和模擬結(jié)果[20]與本文離散元計算值對比Fig.1 Experimental results[19] and simulation results[20] of the impact force for H1=0.5 cm compared with the simulation results of this paper

圖1所示為當(dāng)顆粒厚度為H1=0.5 cm時,模擬計算得到的底板沖擊力時程曲線。當(dāng)顆粒厚度H1=0.5 cm時,模擬計算得到的底板沖擊力峰值和沖擊力持續(xù)時間都與試驗結(jié)果大致相同。離散元模擬得到底板沖擊力結(jié)果較為穩(wěn)定,而試驗結(jié)果的波動現(xiàn)象較為明顯。這是由于在試驗測量中,圓筒的底板產(chǎn)生了一定的振動,因此出現(xiàn)了較為明顯的波動現(xiàn)象,而在本文的離散元模擬中,底板設(shè)置為剛性板,導(dǎo)致底板受到的沖擊力震蕩幅度不明顯。如圖2所示,季順迎的試驗結(jié)果[19]和模擬結(jié)果[20]與本文離散元模擬結(jié)果得到的底板沖擊力峰值的變化趨勢是相同的,呈現(xiàn)隨顆粒厚度的增加底板沖擊力峰值從大變小并趨于穩(wěn)定的過程。綜上所述,雖然離散元計算結(jié)果與試驗值在數(shù)值上有一定的差距,但其在沖擊力隨顆粒厚度的變化趨勢上是一致的,表明本文使用的離散元模型可以合理地模擬地球重力環(huán)境下顆粒沖擊過程。

圖2 不同顆粒厚度下試驗結(jié)果[19]和模擬結(jié)果[20]與本文離散元計算獲得的底板最大沖擊力Fig.2 Experimental results[19] and simulation results[20] compared with the maximum impact loads obtained from the discrete element calculations under various granular thicknesses

3 不同重力加速度下顆粒介質(zhì)的沖擊過程

在上述模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究不同重力加速度對顆粒介質(zhì)沖擊過程的影響。為了減少邊界對沖擊過程的影響,設(shè)置沖擊物的直徑為0.026 m,圓筒直徑為0.38 m,顆粒數(shù)量為2×105個,沖擊顆粒距離床的初始高度小于1×10-6m,其他參數(shù)均使用表2的數(shù)值。在圓筒容器中隨機(jī)生成顆粒并給予其一定的初始速度,顆粒系統(tǒng)在重力的作用下達(dá)到平衡狀態(tài)。同時,為了避免模擬試驗的隨機(jī)性,在各組重力加速度下給予顆粒不同的初速度來構(gòu)建3種不同的顆粒床,對不同沖擊速度的沖擊結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計平均。

3.1 沖擊物的穿透深度

圖3所示為重力加速度等于5.49 m/s2時,不同沖擊速度下沖擊物垂直方向的位移z隨時間的變化曲線。其中,將顆粒床的初始表面高度設(shè)置為坐標(biāo)零點,向下為正方向?？梢钥闯?沖擊物在接觸顆粒床后迅速減速,之后沖擊物逐漸穿透顆粒床,最終沖擊物會停留在一個固定的深度,將沖擊物最底點到顆粒床表面的距離定義為穿透深度d。當(dāng)沖擊物的垂直速度第一次減少到零后,雖然飛濺的顆粒會碰撞到?jīng)_擊物,但沖擊物的垂直位移的變化非常微小。定義沖擊物與床面接觸瞬間到垂直速度首次為零瞬間為持續(xù)碰撞時間tc。隨著沖擊速度的增大,沖擊物的穿透深度d增大,而當(dāng)沖擊速度大于5 m/s后,持續(xù)碰撞時間是一個固定的值。不同重力下顆粒介質(zhì)的沖擊過程同地球重力下的結(jié)果類似[6],可分為3個階段,如圖4所示(從左至右重力加速度分別為1.64 m/s2,5.49 m/s2和9.81 m/s2),第一階段為沖擊階段,顆粒沖擊物接觸顆粒床,顆粒床壓縮同時只有少量顆粒彈出,不同重力加速度下的穿透深度和彈出顆粒大致相同,說明重力加速度對沖擊階段的影響較小;第二階段為穿透階段,顆粒沖擊物持續(xù)穿透顆粒床,同時,沖擊物在阻力作用下速度減小到0 m/s;第三階段為坍塌階段,顆粒床在重力作用下坍塌,最終形成穩(wěn)定的沖擊坑形貌。

圖3 在5.49 m/s2重力加速度下,不同沖擊速度下顆粒沖擊物位移隨時間的變化曲線Fig.3 Curves of impactor displacement versus time for different impact velocities at 5.49 m/s2 gravitational acceleration

圖4 v0=15 m/s時,不同階段的顆粒床切片圖Fig.4 Slice of the particle bed at different stages at v0=15 m/s

圖5 沖擊物的最終穿透深度隨重力加速度和沖擊速度的變化,內(nèi)插圖為系數(shù)α和β隨重力加速度的變化Fig.5 Penetration depth of the impactor varies with the accelera-tion of gravity and the impact velocity,the inset shows the varia-tion of the coefficients α and β with the acceleration of gravity

圖6 顆粒沖擊物的穿透深度隨總下降高度的變化(插圖分別為沖擊速度10 m/s下,重力加速度為1.638 m/s2和11.4777 m/s2的顆粒床穩(wěn)定后的沖擊坑形態(tài)的切片圖)Fig.6 Variation of penetration depth of the particle impactor with total drop height(Insets show the stabilised impact crater morpho-logy of the particles at impact velocities of 10 m/s and gravita-tional accelerations of 1.638 m/s2 and 11.4777 m/s2 respectively)

3.2 沖擊物的減速穿透過程

圖7所示為沖擊速度v0=5 m/s時,不同重力加速度條件下沖擊物的速度隨位移的變化,為了避免顆粒床構(gòu)型的影響,本文采用同一種顆粒床構(gòu)型。如圖8所示,沖擊物的減速穿透過程分為兩個階段,第一階段為沖擊物位移小于沖擊物半徑R時,沖擊物劇烈減速至大約沖擊速度的27%(主要受顆粒床構(gòu)型影響)左右,重力加速度對此階段無影響;第二階段為沖擊物位移大于沖擊物半徑R時,沖擊物速度減小得較為緩慢,沖擊物隨著穿透深度的加深,速度逐漸減小到零,并且重力加速度越小,沖擊物的速度減少越緩慢,穿透深度越深。造成這個現(xiàn)象的原因有兩種,一是Brzinski等[22]提出的對于球形沖擊物,必須根據(jù)沖擊物位移z是否大于沖擊物半徑R來考慮摩擦力的形式,即摩擦力與沖擊物橫截面面積成正比,當(dāng)沖擊物位移大于沖擊物半徑時,橫截面面積恒定;二是歸因于從慣性阻力狀態(tài)向摩擦阻力狀態(tài)的轉(zhuǎn)變[21],即隨著穿透的進(jìn)行,超過一定的穿透深度時,準(zhǔn)靜態(tài)穿透阻力超過動態(tài)阻力。對于減速穿透過程,重力加速度對沖擊過程的影響表現(xiàn)在沖擊物穿透深度大于沖擊物直徑的階段。

圖7 沖擊速度為5 m/s時,沖擊物速度隨沖擊物位移的變化Fig.7 Variation of impactor velocity with impactor displacement at impact velocity of 5 m/s

圖8 持續(xù)碰撞時間tc隨沖擊速度和重力加速度的變化(插圖為t0和重力加速度的擬合)Fig.8 Variation of sustained collision time tc with impact velocity and gravitational acceleration (Inset shows the fit of t0 and gravitational acceleration)

3.3 持續(xù)碰撞時間

4 結(jié) 論

本文用離散元方法對顆粒介質(zhì)沖擊過程進(jìn)行了數(shù)值分析,通過與球體沖擊的試驗結(jié)果進(jìn)行對比驗證,表明當(dāng)前離散元方法適用于模擬顆粒介質(zhì)的沖擊過程。在此基礎(chǔ)之上,進(jìn)一步研究了不同沖擊速度和不同重力加速度對沖擊物運動特征的影響,主要結(jié)論如下。

(1) 在所有重力加速度下,沖擊物的穿透深度d與沖擊速度v0的關(guān)系可以用Poncelet模型表達(dá),重力加速度越低,重力的約束效果越弱,顆粒床的慣性應(yīng)力和粘性阻力系數(shù)越小。d與沖擊物下落的總高度H表現(xiàn)為d～Hn的冪律關(guān)系,當(dāng)H<10 m時,d與H的冪率標(biāo)度為0.322,而H>10 m時,d與H的冪率標(biāo)度下降到0.211。

(2) 沖擊物的減速穿透過程分為兩個階段,重力加速度對穿透深度小于沖擊物半徑的范圍無影響,此時,由相對速度決定的動態(tài)阻力起主要作用。當(dāng)沖擊物穿透深度大于沖擊物半徑時,重力加速度越小,沖擊物減速越慢,穿透深度越深。

(3) 不論重力加速度如何,當(dāng)沖擊速度v0>5 m/s時,沖擊物的持續(xù)碰撞時間tc與沖擊速度v0無關(guān),并且同重力加速度的-1/2次呈正比例關(guān)系。