劉 凡, 肖 進(jìn), 韓 波, 趙 巖*,4

(1.中南林業(yè)科技大學(xué) 土木工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410004; 2.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系,大連 116024;3.北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京 100076; 4.大連理工大學(xué)寧波研究院,寧波 315016)

1 引言

工程結(jié)構(gòu)常受風(fēng)荷載、波浪力和地震等隨機(jī)激勵(lì)作用,準(zhǔn)確評(píng)估結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下的響應(yīng),對(duì)提高結(jié)構(gòu)的安全性和可靠度具有重要意義。功率譜是隨機(jī)激勵(lì)的一種常用描述方法,通過(guò)對(duì)隨機(jī)激勵(lì)的觀測(cè),已經(jīng)建立了風(fēng)荷載、波浪力和地震等隨機(jī)激勵(lì)的功率譜模型[1]。根據(jù)隨機(jī)激勵(lì)的功率譜模型,可將功率譜作為輸入,利用虛擬激勵(lì)法在頻域內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析,從而得到結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的功率譜和標(biāo)準(zhǔn)差[2]。然而在一些情況下,難以直接將功率譜作為輸入,而將時(shí)域內(nèi)的隨機(jī)激勵(lì)樣本作為輸入更為有效[3]。根據(jù)隨機(jī)激勵(lì)的功率譜模型生成時(shí)域樣本后,結(jié)合不確定性量化分析方法便可得到結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征。三角級(jí)數(shù)疊加TSS(Trigonometric series superposition)法是生成時(shí)域樣本的常用方法,該方法結(jié)合蒙特卡羅模擬MCS(Monte Carlo simulation)可以得到可靠的結(jié)構(gòu)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征。TSS在每個(gè)樣本中需要較多數(shù)目的隨機(jī)相位才能得到理想的結(jié)果,增大了概率空間內(nèi)的積分維度。MCS需要大量的樣本才能得到可靠的結(jié)果,計(jì)算成本高。針對(duì)這兩種方法的不足,諸多學(xué)者提出了新的隨機(jī)振動(dòng)時(shí)域響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征分析方法。陳建兵等[4-6]將TSS中的圓頻率和相位均視為隨機(jī)變量,建立隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)諧和函數(shù)表達(dá),得到了結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差。Yu等[7]根據(jù)車橋耦合系統(tǒng)中的軌道不平順譜利用隨機(jī)諧和函數(shù)生成時(shí)域樣本,并采用概率密度演化方法進(jìn)行了車橋耦合系統(tǒng)非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分析。為了減少TSS中的隨機(jī)變量數(shù)目,Liu等[8]利用較少數(shù)目的基本變量構(gòu)成正交隨機(jī)變量,采用隨機(jī)函數(shù)來(lái)生成平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的時(shí)域樣本,并結(jié)合概率密度演化方法實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)在非平穩(wěn)地震作用下的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征分析。在文獻(xiàn)[8]的研究基礎(chǔ)上,Chen等[9]利用建立的直接概率積分方法,以隨機(jī)函數(shù)生成的時(shí)域加速度樣本為輸入,實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)在非平穩(wěn)地震作用下的響應(yīng)分析。

概率空間內(nèi)的高維積分問(wèn)題是結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)時(shí)域響應(yīng)分析中面臨的主要困難。在前述的改進(jìn)方法中,主要通過(guò)減少TSS中隨機(jī)變量數(shù)目并結(jié)合高效的不確定性量化方法來(lái)降低分析難度和提高效率。同樣針對(duì)高維積分問(wèn)題,Rahman[10]利用維數(shù)分解和Fourier展開,建立了隨機(jī)計(jì)算中的多項(xiàng)式維數(shù)分解PDD(Polynomial dimensional decomposition)法。該方法通過(guò)對(duì)具有更少隨機(jī)變量的函數(shù)進(jìn)行組合,實(shí)現(xiàn)對(duì)原隨機(jī)函數(shù)的逼近,已在具有不確定參數(shù)結(jié)構(gòu)的特征值問(wèn)題[11]、頻域響應(yīng)分析[12,13]和隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析[14]等不確定性量化分析中得以應(yīng)用。本文針對(duì)TSS中隨機(jī)相位引起的高維積分問(wèn)題,建立了結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)時(shí)域響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征分析的PDD法。建立的方法構(gòu)造了結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的PDD展開模型,通過(guò)該模型能夠得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征以及概率密度,且避免了概率空間內(nèi)的高維積分和大量樣本的時(shí)域響應(yīng)分析。

2 隨機(jī)激勵(lì)的建模

對(duì)于功率譜為Sf(ω)的平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)f(t),可利用TSS方法由功率譜生成時(shí)域樣本

(1)

對(duì)于非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)f(t),其演變功率譜Sf(ω,t)通常由平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的功率譜調(diào)制而成

(2)

式中Sf(ω)為平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的功率譜,A(ω,t)為調(diào)制函數(shù)。

此時(shí),利用TSS方法可以生成非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的時(shí)域樣本

(3)

3 隨機(jī)激勵(lì)作用下的結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

利用第2節(jié)中隨機(jī)激勵(lì)的建模,可將結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)作用下的運(yùn)動(dòng)方程表示為

(4)

4 隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的維數(shù)分解和Fourier多項(xiàng)式展開

(5)

采用正交多項(xiàng)式基底將式(5)的成員函數(shù)進(jìn)行Fourier多項(xiàng)式展開,并取前m階截?cái)?得到成員函數(shù)的近似顯式表達(dá)

(6)

(7)

計(jì)算得到展開系數(shù)后,結(jié)構(gòu)響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差可由各項(xiàng)展開系數(shù)Ci1…idj1…jd(t)的平方求和后開方得到。利用式(5,6),可以構(gòu)造結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)的PDD展開模型

(8)

得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的PDD展開模型后,根據(jù)多項(xiàng)式基底隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)生成樣本,可由簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的近似樣本值,進(jìn)一步得到響應(yīng)的概率密度。

5 L0(t)和Ci1…idj1…jd(t)的計(jì)算

為了減少計(jì)算L0(t)和Ci1…idj1…jd(t)時(shí)的概率空間積分維度以及實(shí)現(xiàn)無(wú)顯式表達(dá)式函數(shù)的積分,采用降維積分結(jié)合高斯數(shù)值積分計(jì)算L0(t)和Ci1…idj1…jd(t)。

(9)

(10)

(11)

此時(shí),方程(11)可以采用時(shí)域內(nèi)的逐步積分方法進(jìn)行求解,也可以采用振型疊加法進(jìn)一步提高計(jì)算效率。

(12)

(13)

式中wnki(i=1,2,…,R-q)為積分節(jié)點(diǎn)的權(quán)重系數(shù),p為單個(gè)變量的積分節(jié)點(diǎn)數(shù)目。

6 數(shù)值算例

6.1 單自由度系統(tǒng)

圖1 單自由度系統(tǒng)Fig.1 Single-degree-of-freedom system

圖2和圖3分別給出了PDD方法和MCS計(jì)算得到的系統(tǒng)位移均值、標(biāo)準(zhǔn)差和t=15 s時(shí)的概率密度?？梢钥闯?PDD方法能夠得到與MCS非常吻合的結(jié)果,表明PDD方法具有足夠的精確性。MCS需要進(jìn)行105次時(shí)域響應(yīng)分析,而PDD方法僅需401次時(shí)域響應(yīng)分析,表明PDD方法的分析效率優(yōu)勢(shì)更為顯著。

圖2 位移均值和標(biāo)準(zhǔn)差Fig.2 Mean and SD of displacement

圖3 t=15 s時(shí)的位移概率密度Fig.3 PDF of displacement when t=15 s

6.2 20層框架結(jié)構(gòu)

圖4 20層框架結(jié)構(gòu)Fig.4 Twenty-story frame structure

(14)

式中S0=0.01 m2/s3,ζg=0.6,ωg=7.8 rad/s,ω∈[0,20π];g(t)為調(diào)制函數(shù),滿足

(15)

式中c1=1.86,c2=0.32,Ta=2.27 s。

分別采用MCS(105個(gè)樣本)和PDD(R=P=1,m=3,p=3)方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)頂層位移響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征分析。將分析頻率ω離散為400個(gè)頻率點(diǎn),分析時(shí)間為0 s～50 s,時(shí)間步長(zhǎng)取0.02 s。

圖5給出了結(jié)構(gòu)頂層位移的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,可以看出,PDD方法能夠得到與MCS非常吻合的位移均值和標(biāo)準(zhǔn)差。頂層位移響應(yīng)的均值趨近于水平直線,而位移響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差存在明顯的上升和下降階段。PDD方法共進(jìn)行了801次結(jié)構(gòu)時(shí)域響應(yīng)分析,而MCS進(jìn)行了105次結(jié)構(gòu)時(shí)域響應(yīng)分析,表明PDD方法具有非常高的分析效率。

圖5 頂層位移響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差Fig.5 Mean and SD of displacement of the 20th story

圖6給出了t=10.0 s時(shí)的頂層位移概率密度曲線,PDD方法計(jì)算得到的概率密度與MCS模擬結(jié)果吻合較好。可以看出,位移概率密度峰值出現(xiàn)在位移接近于0的位置,且與正態(tài)分布的概率密度曲線較為接近。圖7給出了頂層位移概率密度演化曲線,結(jié)合圖5的標(biāo)準(zhǔn)差曲線可以看出,當(dāng)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差顯著增大時(shí),相應(yīng)的概率密度顯著減小。當(dāng)位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差趨近于0時(shí),位移概率密度值逐漸增大,最終趨于穩(wěn)定。圖8給出了頂層位移概率密度等高線,在t=5 s附近位移的概率密度最為分散且取值較小。從圖5可以看出,在該時(shí)刻附近,頂層位移的標(biāo)準(zhǔn)差最大。

圖6 頂層位移概率密度(t=10.0 s)Fig.6 PDF of the displacement of the 20th story

圖7 頂層位移概率密度演化Fig.7 PDF evolution of the displacement of the 20th story

圖8 頂層位移概率密度等高線Fig.8 Contour of PDF of displacement of the 20th story

7 結(jié) 論

本文針對(duì)隨機(jī)激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征分析,利用維數(shù)分解和Fourier展開構(gòu)造出結(jié)構(gòu)響應(yīng)的PDD展開模型,提出了結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)時(shí)域響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征分析的多項(xiàng)式維數(shù)分解法,建立的方法可以得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征以及概率密度。數(shù)值算例中,進(jìn)行了單自由度系統(tǒng)和20層框架結(jié)構(gòu)在非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下的響應(yīng)分析,算例結(jié)果表明,本文方法能夠得到與蒙特卡羅模擬非常吻合的結(jié)果且具有很高的計(jì)算效率。本文方法可以為非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析和可靠度估計(jì)提供新的策略。本文主要針對(duì)線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行了研究,PDD方法在非線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析中的應(yīng)用需要進(jìn)一步研究。