武開萍

【摘要】極限思想是一種運(yùn)用極限概念解決與分析問題的數(shù)學(xué)推理思想，將其合理地滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中，不但有利于學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)散，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的提升與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展同樣具有積極的促進(jìn)作用.鑒于此，文章便結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)例，對在數(shù)學(xué)概念建構(gòu)、數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)、數(shù)學(xué)問題解決中滲透極限思想的數(shù)學(xué)教學(xué)方法展開探究.

【關(guān)鍵詞】極限思想；小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法是現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的流行趨勢，也是開發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)科育人價值，落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教育任務(wù)的重要手段之一.因此，為讓數(shù)學(xué)思想方法成為保障學(xué)生長足發(fā)展、終身發(fā)展的關(guān)鍵思想武器，小學(xué)數(shù)學(xué)教師就必須要抓好滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué)契機(jī)，促成學(xué)生良好數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐意識的形成.

一、極限思想在數(shù)學(xué)概念建構(gòu)中的滲透

數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最為基礎(chǔ)的教學(xué)內(nèi)容，也是學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要奠基.因此，為讓學(xué)生在深度把握數(shù)學(xué)概念、透徹領(lǐng)會極限思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所起到的突出作用的同時，建構(gòu)起完善的數(shù)學(xué)知識體系，小學(xué)數(shù)學(xué)教師必須要把握好數(shù)學(xué)概念建構(gòu)中極限思想的滲透契機(jī)，為學(xué)生的發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)夯實(shí)基礎(chǔ).

如在引導(dǎo)五年級學(xué)生學(xué)習(xí)“可能性”這一數(shù)學(xué)概念時，教師便可基于小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與思維習(xí)慣為學(xué)生設(shè)計(jì)“摸球游戲”，并將極限思想滲透到游戲活動之中，以此讓學(xué)生在充分理解可能性這一概念的基礎(chǔ)上，學(xué)會運(yùn)用極限思想探究與分析數(shù)學(xué)知識.

教師為學(xué)生展示一個不透明的空紙箱與若干個大小一致的紅、藍(lán)小球.首先，當(dāng)著學(xué)生的面將5個紅色小球放置于紙箱中，并向?qū)W生提問：“你們認(rèn)為從盒子里取出的球是什么顏色的球？如果向盒子里繼續(xù)加入紅色小球，你們認(rèn)為拿出來的小球是什么顏色的小球？為什么？”以此來調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.此時，學(xué)生便會篤定拿出來的小球一定是紅色小球，因?yàn)楹凶永餂]有其他顏色的小球，摸出紅色小球的概率是100%.

其次，教師將3個藍(lán)色小球放進(jìn)紙箱中，讓學(xué)生思考：如果拿出來一個小球，這個小球的顏色是紅色還是藍(lán)色？哪個顏色的概率更大？為什么？并鼓勵學(xué)生動手實(shí)踐，讓學(xué)生通過多次摸球的方式驗(yàn)證“摸出紅球可能性更大”這一猜想.教師再向?qū)W生提問：“如果想要增加摸出藍(lán)球的概率，減少紅球的概率，可以怎么做？”發(fā)散學(xué)生的思維，促使學(xué)生主動提出“增加紙箱中藍(lán)色小球的數(shù)量”或“減少紙箱中紅色小球的數(shù)量”等假設(shè)，并自發(fā)地展開動手實(shí)踐與操作進(jìn)行假設(shè)的驗(yàn)證.通過實(shí)踐操作與探究分析，學(xué)生便會發(fā)現(xiàn)：不斷增加紙箱中藍(lán)色小球的數(shù)量或減少紙箱中紅色小球的數(shù)量，可增大摸出藍(lán)色小球的可能性：當(dāng)紙箱中藍(lán)色小球與紅色小球的數(shù)量相等時，摸出藍(lán)色小球與摸出紅色小球的可能性相等，均是50%；當(dāng)紙箱中藍(lán)色小球的數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于紅色小球數(shù)量時，摸出藍(lán)色小球的可能性便會無限趨近于100%，但始終不會達(dá)到100%.屆時，教師便可見縫插針地向?qū)W生滲透極限思想，讓學(xué)生領(lǐng)會到不斷增加紙箱中藍(lán)球的數(shù)量（n→∞），使得摸出籃球的可能性越來越大，但始終不會達(dá)到100%，即摸到藍(lán)球的概率無限趨近于1；減少紙箱中紅球的數(shù)量（n→0），使得摸出紅球的可能性逐漸從大于50%減少到等于50%再低于50%，但始終不會是0，即摸到紅球的概率無限趨近于0.

最后，教師便可在學(xué)生“摸球游戲”活動結(jié)束后，鼓勵學(xué)生在課堂中表達(dá)自己的學(xué)習(xí)感想與心得，促使學(xué)生在觀點(diǎn)、思維、見解的碰撞中迸發(fā)出智慧的火花，實(shí)現(xiàn)對可能性這一數(shù)學(xué)概念的充分領(lǐng)會與感知.此后，教師再為學(xué)生提供黑白雙色的圍棋棋子，讓學(xué)生結(jié)合從“摸球游戲”中所獲得的知識經(jīng)驗(yàn)與思想方法利用圍棋棋子設(shè)計(jì)公平的數(shù)學(xué)游戲，從而在進(jìn)一步加深學(xué)生對“可能性”這一數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識理解，促使學(xué)生形成良好的極限思想應(yīng)用意識.

二、極限思想在數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)中的滲透

小學(xué)生掌握并運(yùn)用數(shù)學(xué)公式是提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的關(guān)鍵，也是學(xué)生合理分析數(shù)學(xué)問題與正確解決數(shù)學(xué)問題的核心所在.但在當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，多數(shù)教師會將數(shù)學(xué)公式一股腦地灌輸給學(xué)生，忽視了學(xué)生對數(shù)學(xué)公式的自主分析、自主推導(dǎo)，這就使得極易出現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)公式認(rèn)識不徹底、應(yīng)用不靈活等問題，嚴(yán)重限制與阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的提升與數(shù)學(xué)解題效率的提高.因此，為在核心素養(yǎng)視域下有效改善這一明顯問題，小學(xué)數(shù)學(xué)教師便可將極限思想巧妙地滲透到抽象的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)之中，讓學(xué)生通過自主推理、合理分析的方式實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)公式進(jìn)行有效梳理，在有效加深學(xué)生對數(shù)學(xué)公式的印象與記憶的同時，促使學(xué)生邏輯思維能力、極限意識以及終身學(xué)習(xí)能力進(jìn)一步的發(fā)展提升.

以“圓”的教學(xué)為例，教師可將極限思想滲透到“圓的面積”公式教學(xué)之中，逐步引領(lǐng)學(xué)生展開公式的自主推導(dǎo)，促使學(xué)生在推導(dǎo)公式的過程中感知無限趨近的極限思想.

一方面，可在劉徽的“割圓術(shù)”中滲透極限思想.

首先，教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平與思維能力將學(xué)生劃分成若干個學(xué)習(xí)小組，讓學(xué)生用圓規(guī)在A4紙上畫出一個半徑為10cm的圓，并在這個圓中盡可能大地畫內(nèi)接正方形（圖1），讓學(xué)生通過測量這一內(nèi)接正方形邊長的方式計(jì)算出正方形的面積，并思考這一內(nèi)接正方形與圓面積之間的關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識到內(nèi)接正方形的面積趨近于圓的面積，但不等于圓的面積；其次，教師可設(shè)置探究性問題：圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，正多邊形就越接近圓的面積嗎？引發(fā)學(xué)生的探討與分析，促使學(xué)生以小組合作的形式畫邊數(shù)更多的正多邊形（圖2），通過觀察圓內(nèi)正多邊形學(xué)生認(rèn)識到：隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的增加，正多邊形的面積就越接近圓的面積.當(dāng)正多邊形邊數(shù)無限多時（n→∞），圓內(nèi)正多邊形面積便近似于圓的面積；最后，由于小學(xué)生能力水平存在的局限性，教師可利用多媒體設(shè)備為學(xué)生展示通過內(nèi)接正多邊形的方式推導(dǎo)出圓面積計(jì)算公式的視頻短片，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)直觀的教學(xué)情境，促使學(xué)生由此感受到逐步無限趨近的極限思想的魅力，建立起良好的無限觀念與空間觀念，從而對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)生成濃厚興趣與探究欲望.

另一方面，教師可以教材為基準(zhǔn)，將極限思想滲透到將圓分割、拼接為平行四邊形的方法之中.

教師向?qū)W生提問：“平行四邊形與梯形面積的公式是如何推導(dǎo)的？”引發(fā)學(xué)生對已有知識經(jīng)驗(yàn)的回顧與反思，促使其主動提出“將圓轉(zhuǎn)化為已知圖形”的想法.隨后，教師便可鼓勵學(xué)生將自己所繪制的圓進(jìn)行八等分，通過拼接八個由圓分出的等面積扇形認(rèn)識到可將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形（圖3），并讓學(xué)生想一想：是否圓的等分份數(shù)越多，所拼出的圖形就接近平行四邊形？以來驅(qū)動學(xué)生通過折紙、剪拼等實(shí)際操作的方式認(rèn)識到：圓等分的份數(shù)越多，所拼出的圖形就越近似平行四邊形，并且這一平行四邊形的面積無限接近原來的圓的面積（圖4）.

無論是在“割圓術(shù)”中，還是將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形，學(xué)生均在無意識下運(yùn)用了“化圓為方”“化曲為直”的極限分割思想.并且，通過觀察與實(shí)踐“有限分割”，學(xué)生也會充分發(fā)揮自身的想象力，展開“無限分割”的聯(lián)想，并根據(jù)圖形的變化趨勢感知到圖形的最終形態(tài).如此，不但能夠讓學(xué)生順利推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式，也能夠讓學(xué)生在親歷“有限”到“無限”再到“極限”的過程中體悟到極限思想的價值與魅力，在后續(xù)的圓柱與圓錐面積、體積計(jì)算公式的學(xué)習(xí)中，學(xué)生便會自然而然地遷移運(yùn)用這一思想方法嘗試自主推導(dǎo)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率與數(shù)學(xué)思維能力便在潛移默化中得到了提升.

三、極限思想在數(shù)學(xué)問題解決中的滲透

培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對我國基礎(chǔ)教育階段小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)明確提出的教學(xué)要求，同樣是小學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識所需發(fā)展與形成的關(guān)鍵能力、必備素質(zhì).但由于小學(xué)生的認(rèn)知水平與思維能力受于自身年齡的限制而存在發(fā)展相對較緩的狀況，這就使得多數(shù)學(xué)生在實(shí)際解決數(shù)學(xué)問題的過程中通常會出現(xiàn)解題思維不活躍、解題策略不靈活、解題方法不變通等問題，進(jìn)而嚴(yán)重限制了學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決效率與水平的提升.因此，為在新時期的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，更為有效地扭轉(zhuǎn)這一形勢，小學(xué)數(shù)學(xué)教師就可從鍛煉學(xué)生解題思維入手，將極限思想合理地融入學(xué)生的問題解決過程之中，以此來讓學(xué)生的思維更加活泛、更加發(fā)散，促使學(xué)生能夠在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一針見血地找出、找準(zhǔn)問題的關(guān)鍵.

并在學(xué)生自主計(jì)算后，向?qū)W生提問“這些異分母加法算式有什么特點(diǎn)？算式的和有什么特點(diǎn)？”以此將學(xué)生的目光與思維更好地聚焦在分?jǐn)?shù)算式的特點(diǎn)與規(guī)律的發(fā)現(xiàn)上.在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生便會在經(jīng)過小組討論或自主思考后得到“以上這些分?jǐn)?shù)加法，每個分?jǐn)?shù)的分子都是1，而后一個分?jǐn)?shù)的分母則是前一個分?jǐn)?shù)分母的兩倍.這些分?jǐn)?shù)的和也越來越大.”

在上述解題過程中，不但學(xué)生的計(jì)算能力得到了鍛煉，思維能力也會在數(shù)形結(jié)合思想與極限思想的交互作用下得到了發(fā)散.

總 結(jié)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透極限思想不可避免地會受到小學(xué)生認(rèn)知水平低、思維發(fā)展緩等因素的限制.因此，為更好保證學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的穩(wěn)步發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生思維能力的有效進(jìn)階，小學(xué)數(shù)學(xué)教師就必須要有“敢于上蜀道、登青天”的拼搏精神與頑強(qiáng)不屈的意志，從積極開發(fā)小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容入手，抓住滲透極限思想的有利時機(jī)，以此來讓極限思想更好地融入學(xué)生數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)之中、數(shù)學(xué)問題的解決之中，促使學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法熏陶與浸潤下實(shí)現(xiàn)可持續(xù)性的全面發(fā)展.

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