郭西鋒

摘要：二元或三元不等式證明問題，是高考或競賽的?？純?nèi)容，在解題中有幾個(gè)使用頻率較高的不等式，即均值不等式、柯西不等式、權(quán)方和不等式、絕對值三角不等式等.借助這幾個(gè)不等式?？裳杆僬业絾栴}的突破口.

關(guān)鍵詞：均值不等;柯西不等式;絕對值三角不等式;權(quán)方和不等式

不等式證明在高考全國卷中是必考題型，題目難度中等，解答此類問題，只要掌握常見題型的處理方法及求解策略，便不難得分.本文中就此類問題所涉及的解題方法及解題工具進(jìn)行梳理，并舉例分析.

1 題型特征

在高考中關(guān)于不等式證明選講內(nèi)容的命題類型大多為二元或三元不等式的證明，其中各元均為正數(shù)，且給出二元或三元滿足的某些條件，證明所給不等式成立.已知或所證關(guān)系式中常常含有根式、一次式、二次式或三次式，從結(jié)構(gòu)來看往往具有對稱關(guān)系.

2 方法策略

解題中所涉及的證明方法主要有：分析法，綜合法、反證法等.這些是我們常用的證明方法，具體不再贅述.

常用的工具主要有：均值不等式、柯西不等式、絕對值三角不等式、權(quán)方和不等式等.另外，在某些競賽題目中還會(huì)涉及排序不等式、琴生不等式等.

3 工具應(yīng)用

3.1 均值不等式

二元均值不等式是兩個(gè)正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)與其幾何平均數(shù)的關(guān)系，即a，b>0時(shí)，a+b2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

將其進(jìn)行拓展，可得a，b>0時(shí)，a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b，其中a2+b22稱為a，b的平方平均數(shù)，21a+1b稱為a，b的調(diào)和平均數(shù).這一不等式鏈的證明較簡單，在此不再給出.

其三元形式，即a，b，c>0時(shí)，a2+b2+c23≥a+b+c3≥3abc≥31a+1b+1c，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.

將其推廣到一般形式，當(dāng)ai>0，i=1，2，……，n時(shí)，

a21+a22+……+a2nn≥a1+a2+……+ann≥na1+a2+……+an≥n1a1+1a2+……+1a3，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=……=an時(shí)，等號(hào)成立.

例1 （2022年高考全國乙卷）已知a，b，c都是正數(shù)，且a32+b32+c32=1，證明：

（1）abc≤19；（2）ab+c+ba+c+ca+b≤12abc.

證明：（1）因?yàn)閍>0，b>0，c>0，則a32>0，b32>0，c32>0，

所以a32+b32+c323≥3a32·b32·c32.于是（abc）12≤13，故abc≤19，當(dāng)且僅當(dāng)a32=b32=c32=13，即a=b=c=1332時(shí)，等號(hào)成立.

（2）因?yàn)閍>0，b>0，c>0，所以b+c≥2bc，a+c≥2ac，a+b≥2ab，則

ab+c≤a2bc=a322abc，ba+c≤b2ac=b322abc，ca+b≤c2ab=c322abc.

于是ab+c+ba+c+ca+b≤a322abc+b322abc+c322abc=a32+b32+c322abc=12abc，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1332時(shí)，等號(hào)成立.

點(diǎn)評(píng)：本題已知條件是有關(guān)三個(gè)元和的形式，所證的關(guān)系式中含有積的形式，因此不難想到利用均值不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明.在高中階段，不等式證明中應(yīng)用較多的是二元和三元均值不等式.對于不滿足均值不等式條件的證明問題，可先構(gòu)造再應(yīng)用，構(gòu)造的方式主要有“添項(xiàng)”“拆項(xiàng)”等.

3.2 柯西不等式

柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，……，an，b1，b2，……，bn是實(shí)數(shù)，則（a21+a22+……+a2n）（b21+b22+……+b2n）≥（a1b1+a2b2+……+anbn）2，當(dāng)且僅當(dāng)bi=0（i=1，2，……，n）或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得bi=kai（i=1，2，……，n）時(shí)，等號(hào)成立.這一不等式可簡記為“方-和-積”≥“積-和-方”.

柯西不等式的三元形式：若a1，a2，a3和b1，b2，b3是實(shí)數(shù)，則（a21+a22+a23）（b21+b22+b23）≥（a1b1+a2b2+a3b3）2，當(dāng)且僅當(dāng)bi=0（i=1，2，3）或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得ai=kbi（i=1，2，3）時(shí)，等號(hào)成立.

柯西不等式的二元形式：若a1，a2和b1，b2是實(shí)數(shù)，則（a21+a22）（b21+b22）≥（a1b1+a2b2）2，當(dāng)且僅當(dāng)a1b2=a2b1時(shí)，等號(hào)成立.此形式與向量不等式（|a|·|b|）2≥（a·b）2的代數(shù)形式一致.

例2 已知x，y，z∈R，且x+y+z=1.

（1）求（x－1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；

（2）若（x－2）2+（y－1）2+（z－a）2≥13成立，證明：a≤－3或a≥－1.

解析：（1）由x+y+z=1，結(jié)合三元柯西不等式，可以得到3［（x－1）2+（y+1）2+（z+1）2］=（12+12+12）［（x－1）2+（y+1）2+（z+1）2］≥［（x－1）+（y+1）+（z+1）］2=4.

所以（x－1）2+（y+1）2+（z+1）2≥43，當(dāng)且僅當(dāng)x=53，y=－13，z=－13時(shí)，等號(hào)成立.

故（x－1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值為43.

（2）證明：因?yàn)橛蓌+y+z=1，結(jié)合柯西不等式，得3［（x－2）2+（y－1）2+（z－a）2］=（12+12+12）＼5［（x－2）2+（y－1）2+（z－a）2］≥（-2-a）2=（2+a）2，即（x－2）2+（y－1）2+（z－a）2≥（2+a）23，當(dāng)且僅當(dāng)x=4－a3，y=1－a3，z=2a－23時(shí)，等號(hào)成立.故（x－2）2+（y－1）2+（z－a）2的最小值為（2+a）23.由（2+a）23≥13，得a≤－3，或a≥－1.

點(diǎn)評(píng)：柯西不等式是處理不等式證明問題的常用工具，對于不具備應(yīng)用條件的不等式，可通過拆項(xiàng)、結(jié)構(gòu)變形、引入數(shù)組等進(jìn)行構(gòu)造，如本題中兩次應(yīng)用柯西不等式，均利用了3=12+12+12進(jìn)行構(gòu)造.

3.3 權(quán)方和不等式

權(quán)方和不等式的二維形式：a，b，x，y>0，a2x+b2y≥（a+b）2x+y，當(dāng)且僅當(dāng)ax=by時(shí)，等號(hào)成立.其證明可利用均值不等式，此處略.

其n維形式：ai>0，bi>0，m>0，am+11bm1+am+12bm2+……+am+1nbmn≥（a1+a2+……+an）m+1（b1+b2+……+bn）m，當(dāng)ai=λbi時(shí)（λ為實(shí)數(shù)），等號(hào)成立.

例3 （2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2+b2+4c2=3，求證：

（1）a+b+2c≤3；

（2）若b=2c，則1a+1c≥3.

證明：（1）由柯西不等式，知（a2+b2+4c2）（12+12+12）≥（a+b+2c）2，即3×3≥（a+b+2c）2，而a，b，c>0，所以a+b+2c≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2c，即a=b=1，c=12時(shí)，等號(hào)成立.

（2）由（1）知a+b+2c≤3，且b=2c，所以0

點(diǎn)評(píng)：本題的證明綜合使用了柯西不等式與權(quán)方和不等式，應(yīng)用中要準(zhǔn)確把握題目所給及所證關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的不等式來求解.

3.4 絕對值三角不等式

絕對值三角不等式：|a|+|b|≥|a+b|，其中a，b為實(shí)數(shù)，等號(hào)成立的條件是ab≥0.將上式中的b換為－b，則有|a|+|b|≥|a－b|，等號(hào)成立的條件是ab≤0.將兩式綜合，可得||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，a，b為實(shí)數(shù).

例4 已知a，b∈R，且|a+b|≤16，|a－b|≤14，求證：|5a+b|≤1.

解析：令5a+b=m（a+b）+n（a－b）=（m+n）＼5a+（m－n）b，則m+n=5，m－n=1，解得m=3，n=2.

由|a+b|≤16，得3|a+b|=|3a+3b|≤12.

由|a－b|≤14，得2|a－b|=|2a－2b|≤12.

所以|3a+3b|+|2a－2b|≤12+12=1.

由絕對值三角不等式，得|3a+3b|+|2a－2b|≥|（3a+3b）+（2a－2b）|=|5a+b|，所以|5a+b|≤1.

點(diǎn)評(píng)：與絕對值有關(guān)的不等式恒成立或證明問題，通常可借助絕對值三角不等式實(shí)現(xiàn)不等式的證明.

總之，只要我們能夠掌握這些重要不等式的應(yīng)用條件及其相應(yīng)的變形、構(gòu)造技巧，并結(jié)合所證式子的結(jié)構(gòu)特征，即可靈活處理二元或多元不等式的證明問題.