董新平, 閆潤瑛

(許昌學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,河南 許昌 461000)

為了更快地進行可靠的量子操作,基于非厄密體系的“絕熱捷徑”(STA)技術(shù)[1,2]被用于量子信息處理以及波導(dǎo)光學(xué)等領(lǐng)域．STA方法主要包括基于不變量方法[3]、無摩擦驅(qū)動[4-7]等方法.基于STA方法的量子系統(tǒng)的核心思想是通過對系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)進行設(shè)計,使量子系統(tǒng)可以在絕熱過程中從給定的初始態(tài)更快地演化到期望的終態(tài)．同時通過非絕熱消除可以在較短的時間內(nèi)實現(xiàn)與絕熱情形相同的目標．不僅加快了量子運算的速度,同時大幅度減輕了系統(tǒng)受到的噪聲環(huán)境的退相干影響．

以上的快速絕熱方法通常需要增加不同能級之間的耦合強度才能實現(xiàn)更快的量子系統(tǒng)演化[8]．在有些量子系統(tǒng)中,受到量子體系特征參數(shù)以及實驗條件的限制,能級之間的耦合強度并不能任意選取,并且過大的耦合還會降低系統(tǒng)的保真度．通過對厄密體系的研究和推廣提出了基于非厄密體系的STA方法[9-11].這種非厄米系統(tǒng)原則上可以在非常短的世間內(nèi)完成量子系統(tǒng)的演化,但需要根據(jù)系統(tǒng)的特征參數(shù)對體系的增益和損耗進行復(fù)雜的計算．最近一個基于動力學(xué)的絕熱捷徑方法(DASA)提出了一種熱力學(xué)成本較低、易于設(shè)計和調(diào)控的非厄米系統(tǒng)絕熱方案[12]．利用這個方案可以通過對體系增益和耗散的靈活控制,提供一個高效、可靠,同時能耗較低的量子態(tài)控制方案．我們將對此方法進行理論分析和數(shù)值模擬研究,為進一步利用非厄密絕熱捷徑方法快速操控量子態(tài)提供有效的幫助．

1 基于動力學(xué)的絕熱捷徑方法

對于一個一般的兩能級體系,其不含時的2×2非厄密哈密頓量具有以下形式.

H=σx+(iΔγ+Δω)σz/2+(i∑γ+∑ω)1/2.

(1)

其中,Δγ=γ1-γ2,∑γ=γ1+γ2,∑ω=ω1+ω2,Δω=ω1-ω2,σx,z為泡利矩陣,1為單位矩陣.γ1,2分別對應(yīng)本征態(tài)|λ1,2〉的增益或損耗,ω1,2+iγ1,2表示歸一化的勢能.體系的本征值λ1,2一般可以取為復(fù)數(shù).隨著時間的變化,體系的本征值將發(fā)生相應(yīng)的演化,相應(yīng)的初始態(tài)將隨時間按以下方式演變.

|ψ(t)〉=e-iHt|ψ(0)〉=c1e-iλ1t|λ1〉+c2e-iλ2t|λ2〉.

(2)

如果期望在隨時間的演化過程中一個本征態(tài)產(chǎn)生增益或損耗,而同時另一個本征態(tài)保持不變,則要求哈密頓量的本征值分別為λ1=x1+iy,λ2=x2,x1和x2為實數(shù)．那么本征態(tài)|λ1>的振幅將將根據(jù)相應(yīng)本征值中虛部的符號分別產(chǎn)生增強或衰減,而本征態(tài)|λ2> 的振幅由于虛部為零,在演化過程中不會產(chǎn)生變化．

以下將通過對公式(1)和公式(2)中哈密頓量本征值進行分析,從而求出滿足以上要求的參數(shù)．將公式(1)中的哈密頓量進行對角化,H=R-1HdR.

(3)

求解相應(yīng)的本征值方程H=R-1HdR可以得到以下方程組.

d/c+(-x2+iγ1+ω1) = 0,c/d+(-x2+iγ2+ω2) = 0,
d/c+(x1-iγ1-ω1+iy) = 0,c/d+(x1-iγ2-ω2+iy) = 0.

(4)

(5)

(6)

詳細的表達式可參見參考文獻[12]的補充材料．相關(guān)的兩組函數(shù)關(guān)系Γ2,3(γ2,Δω)如圖1所示,其中Δω和γ2的取值范圍分別為[0, 10]和[-1, 0]．從圖1可以看出,當(dāng)Γ2(γ2,Δω)的實部在區(qū)間(-1,0)之間正值時,相應(yīng)的Γ3(γ2,Δω)的實部在同一區(qū)間保持為零.因此在設(shè)計系統(tǒng)的哈密頓量時,可以在選定適當(dāng)?shù)膿p耗率γ2后,利用Γ2(γ2,Δω)和Γ3(γ2,Δω)的表達式準確控制增益率γ1.當(dāng)要求系統(tǒng)的某一本征態(tài)快速衰減時,可以利用Γ3(γ2,Δω)選取相應(yīng)的增益率(接近于零),從而使得另一個本征態(tài)保持基本不變;當(dāng)要求體系的某一個本征態(tài)緩慢衰減,同時另一個本征態(tài)快速增強以達到目標態(tài)時,利用Γ3(γ2,Δω)選取相應(yīng)比較大的增益率,從而使另一個本征態(tài)以指數(shù)形式快速增強以快速完成系統(tǒng)的演化.由式(2)還可以看出,系統(tǒng)的一個波函數(shù)將在 (γ1+γ2)>0時以指數(shù)形式增強,反之當(dāng)(γ1+γ2)<0時呈指數(shù)衰減,同時另一個波函數(shù)基本保持不變．

圖1 增益率和損耗率實部之間的關(guān)系

2 數(shù)值模擬計算

以下我們將利用LZ模型以及以上的分析結(jié)果,對基于動力學(xué)的非厄密絕熱捷徑方法進行分析和討論．LZ模型的哈密頓量的一般形式為HLZ(ε,t)=σx-(ε2t)σz,對于一般形式的非厄密方法,當(dāng)常數(shù)耦合強度ε較小時,完成體系的演化一般需要較長時間;增大耦合強度ε又會導(dǎo)致所需增益過大而不易于在實驗中實現(xiàn)．

根據(jù)對系統(tǒng)哈密頓量本征值和本征態(tài)的分析以及式(6)的結(jié)果,可以依次使系統(tǒng)按照兩個不同性質(zhì)的哈密頓量進行演化．在第一階段的演化過程中,使第一個本征態(tài)迅速衰減,另一本征態(tài)保持基本不變;而在第二階段的演化中,使第一個本征態(tài)緩慢衰減,而第二個本征態(tài)快速增強．從而可以使得體系快速完成預(yù)期的演化過程．對兩個相應(yīng)過程的增益和損耗的可以利用Γ2,3(γ2,Δω)的性質(zhì)進行靈活、有效地設(shè)計,以達到加快演化速度、降低能耗的目的． 按此方案系統(tǒng)的哈密頓量為

(7)

式中,ti為系統(tǒng)演化的初始時間,T1和T2分別為兩個哈密頓量開始施加的時刻,θ(t)為階躍函數(shù)．

根據(jù)式(6)和式(7),利用非厄密絕熱捷徑方法進行數(shù)值模擬計算,以實現(xiàn)對系統(tǒng)量子態(tài)的快速操控．首先按照按量子態(tài)演化的要求選取ti=12.3,T1=12.3,T2=-11.5,然后在H1和H2中分別選取相關(guān)的參數(shù).擬合結(jié)果為:ω1+iΓ3(γ2,Δω)=0+0.009i,ω2+iγ2=-10-0.95i,ω′1+iΓ3(γ′2,Δω′)=-0.01+2.857i,ω′2+iγ′2=0-0.35i．?dāng)M合得到的量子態(tài)占據(jù)概率隨時間的演化結(jié)果如圖2所示.從圖2中可以看出,體系可以在非常短的時間之內(nèi)完成演化過程．同時可以看出,由于該方案的增益率和損耗率可以取不同的數(shù)值,因此可以更好地適用于不同的實驗條件,具有更廣泛的應(yīng)用范圍．

圖2 非厄密體系占據(jù)概率P隨時間的演化

3 結(jié)語

通過對基于動力學(xué)的非厄密STA方法的分析和研究,實現(xiàn)了對量子態(tài)進行快速操控．在具體的設(shè)計過程中,用兩個連續(xù)進行的哈密頓量通過分別調(diào)控系統(tǒng)的增益和損耗率實現(xiàn)體系的快速演化． 由于該方法可以根據(jù)實驗條件的不同靈活設(shè)計不同的增益和損耗率,因此該方法不僅設(shè)計靈活、可靠,同時還具有適應(yīng)范圍廣、能耗低的優(yōu)點．因此這種方法在理論和實驗實現(xiàn)方面都具有潛在的優(yōu)勢．對此方法的進一步推廣和應(yīng)用將為更快操控量子態(tài)提供有效的幫助．