【摘要】隨著課程改革的不斷深化，教育更加重視學生思維品質的提升和綜合能力的發(fā)展，然而思維是看不見的，它的傳遞和學習難度很大。本文基于思維可視化對促進學生思維發(fā)展的現(xiàn)實意義，探索小學數(shù)學思維可視化的路徑和方法，引導學生通過將數(shù)學思維“畫”出來、“說”出來、“做”出來，促進學生不斷完善數(shù)學思考的路徑和方法，發(fā)展數(shù)學思維，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】小學數(shù)學 思維可視化 路徑 核心素養(yǎng)

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）22-0083-05

數(shù)學被稱為思維的體操。《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數(shù)學課標》）以學生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導向，首次將“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”（以下簡稱“三會”）作為數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生三方面核心素養(yǎng)。而所謂數(shù)學思維，指的是數(shù)學課程為人們提供的一種理解與解釋現(xiàn)實世界的思考方式。這種思考方式還是培養(yǎng)學生數(shù)學眼光、數(shù)學表達的思想基礎?！?022年版數(shù)學課標》明確指出：“通過數(shù)學的思維，可以揭示客觀事物的本質屬性，建立數(shù)學對象之間、數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的邏輯聯(lián)系；能夠根據(jù)已知事實或原理，合乎邏輯地推出結論，構建數(shù)學的邏輯體系；能夠運用符號運算、形式推理等數(shù)學方法，分析、解決數(shù)學問題和實際問題；能夠通過計算思維將各種信息約簡和形式化，進行問題求解與系統(tǒng)設計；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質，培養(yǎng)科學態(tài)度與理性精神?！币虼耍l(fā)展數(shù)學思維有助于全面提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

科學思維是人腦對客觀現(xiàn)實間接的概括的反映，反映的是事物的本質和事物間規(guī)律性的聯(lián)系?？茖W思維因其內(nèi)隱于人的大腦之中，導致其傳遞和學習的難度遠遠大于純粹的知識與技能?？茖W思維比科學知識更重要，這已是不爭的事實。因此，教師提高教學效益的關鍵并不在于知識重復的次數(shù)，而在于挖掘和呈現(xiàn)知識背后的思維規(guī)律并訓練學生掌握這種思維規(guī)律。近年來，隨著知識可視化研究的深入推進，人們知道了可以對知識表征進行可視化呈現(xiàn)，于是思維可視化的研究便提上了日程。所謂思維可視化，指的是運用一系列圖示技術把本來不可見的思維（思考方法和思考路徑）呈現(xiàn)出來，使其清晰可見的過程。在教育領域，思維可視化側重于呈現(xiàn)知識表征背后的思維規(guī)律、思考方法、思考路徑，尤其強調對思考方法及思考路徑的梳理與呈現(xiàn)。那么，在小學數(shù)學教學中，怎樣才能將不可見的思維呈現(xiàn)出來呢？教學實踐中，筆者較常使用的三種策略是讓學生將數(shù)學思維“畫”出來、“說”出來、“做”出來，收到了較好的教學效果。

一、將數(shù)學思維“畫”出來，讓思維觸手可及

圖像思維是思維的一種特殊形式，是人類用眼睛接收視覺信息后，在頭腦中對所接收的信息進行圖像化的記憶、理解和加工的過程。這個理解和加工的過程，包含了對所接收的視覺信息進行解碼和呈現(xiàn)的過程，通過對所解碼的信息進行加工，把自己的理解用圖像的形式呈現(xiàn)出來。在教育學領域，畫圖是學生表征思維、教師觀察學生思維行之有效的方法。研究表明，大腦比較喜歡圖示學習和記憶，人類對圖像的記憶力遠勝于對文字的記憶力，一張整體感強、重難點突出的圖片可以讓大腦瞬間明了它的含義。小學數(shù)學教師指導學生借助思維導圖、模型圖、表格等圖示技術，用圖像的形式直觀呈現(xiàn)自己進行數(shù)學思考的過程，打通數(shù)學抽象與現(xiàn)實世界聯(lián)系的通道，讓學生的數(shù)學思維可視化，從而促進學生更好地了解、理解、記憶、運用數(shù)學思維規(guī)律和方法，不斷提升數(shù)學思維品質。

（一）借助思維導圖，讓思維結構可視化

思維導圖是進行知識梳理時強有力的思維可視化工具，常用的思維導圖有氣泡圖、樹形圖、括號圖、流程圖、魚骨圖等。學生利用思維導圖，可以將一個個零散的知識點整合為一個知識群，從整體上理解所學知識與方法，建構數(shù)學思維的邏輯關系，形成自己的知識體系。教師通過分析學生的思維導圖，可以看見學生眼中的知識結構，再現(xiàn)他們知識形成的軌跡，從而了解學生思維發(fā)展的過程和現(xiàn)狀。每一個學生的思維都是獨特的，對于同一個學習內(nèi)容，不同的學生制作的思維導圖極有可能不同。課堂教學中，教師可以借助學生豐富多彩的思維導圖作品，拓寬學生的思路，發(fā)展學生的數(shù)學思維，促進學生完善知識結構、領悟數(shù)學本質，進而形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。

例如，教學人教版數(shù)學五年級上冊第六單元“多邊形的面積”，在整理單元知識時，有的學生將本單元知識點平行四邊形的面積公式、三角形的面積公式、梯形的面積公式一一羅列出來進行呈現(xiàn)，這樣的整理，尚未對知識進行結構化處理，知識點還是零散的；有的學生在此基礎上將與知識點相關的概念一層一層地往下挖，將公式推導的過程羅列出來，借助思維導圖的形式讓同學和老師看到了知識點之間的聯(lián)系，看到了一個連續(xù)的結構化的多邊形面積公式知識框架。借助思維導圖這個思維工具，學生可進一步發(fā)現(xiàn)：用梯形的面積公式s=（a+b）h÷2，完全可以計算長方形、正方形、平行四邊形、三角形的面積。如：當上底縮短為0時，便可溝通三角形與梯形的聯(lián)系；同樣，將上底擴大、下底縮小，直到上下底相等時，梯形就變成了長方形、正方形或平行四邊形。這樣，梯形面積公式就成了以上這些平面圖形的“通用公式”。內(nèi)容結構可視化，為學生搭建了新的認知框架，不僅加深了學生對多邊形的認識，而且將學生的思考引向縱深，使學生在系統(tǒng)化、結構化的思考過程中發(fā)現(xiàn)了多邊形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)展了學生思維的深刻性和靈活性。

由上可知，思維導圖不僅可以幫助學生梳理整合所學內(nèi)容，使學生的知識結構更加清晰，而且有利于學生的數(shù)學思維從零散走向系統(tǒng)、從分散走向聯(lián)系、從碎片化走向結構化，從而幫助學生學會用數(shù)學的眼光觀察問題、用數(shù)學的思維分析問題、用數(shù)學的語言建構知識之間的有機聯(lián)系。

（二）借助數(shù)形結合，讓思考過程可視化

在日常教學中，數(shù)學教師們都有這樣的體會：對學生來說，完成作業(yè)也許不是多難的事，但要學生說清作業(yè)中的道理卻是非常艱難，學生往往不知道從何說起，也不知道用怎樣的語言進行表達。數(shù)形結合既是一種重要的數(shù)學思想，也是運用數(shù)學語言表達數(shù)學規(guī)律的一種數(shù)學表達方式。在問題解決教學中，教師可以引導學生通過畫圖表征題意、表達思考過程，或者借助畫圖厘清數(shù)量關系，找到解決問題的方法，同時將題目中的道理用數(shù)形結合的方式表達出來，使自己的思考過程被看見，從而更容易實現(xiàn)師生之間、生生之間的思維交流與碰撞。

例如，教學一年級“6+（ ）=10”這一內(nèi)容時，筆者了解到，經(jīng)歷了學前教育的小學生其實都可以確定6+4=10，但為了看到學生思考的過程，筆者開始追問學生：“都認為括號里面要填的數(shù)字是4嗎？請把你的想法寫出來或畫出來。”此問，筆者給學生指引了三個思考的方向，一個是寫，一個是畫，一個是邊寫邊畫，旨在讓學生通過畫計算過程，促進對10以內(nèi)加減法的計算方法探究和對算理的理解，這也是小學計算教學與學前教育的重要區(qū)別。在筆者的追問下，學生的思維火花綻放，總共呈現(xiàn)了如圖1所示的四種想法。

同樣的答案，背后隱藏著學生不同的思考方法和路徑：“方法一”靠數(shù)數(shù)數(shù)出了結果；“方法二”通過畫圖找到了答案；“方法三”的學生借助想加算減得到了結果，已經(jīng)具備一定的推理意識；“方法四”的學生根據(jù)數(shù)的組成得出了結果。借助數(shù)形結合，學生將內(nèi)隱的心智通過圖示技術呈現(xiàn)出來，讓思維觸手可及。教師由此觀察到學生的思維路徑，便可以有針對性地調整課堂教學策略，發(fā)展學生的計算思維。

數(shù)形結合不僅可以促進學生的數(shù)學思考，而且可以讓學生通過閱讀他人的圖示看到他人的思考過程，從而促進生生之間的思維交流與碰撞，進而促進學生的思維發(fā)展。高年級的數(shù)學問題解決教學，尤其需要學生學會借助數(shù)形結合的方法厘清問題當中所隱含的數(shù)量與數(shù)量關系。例如下面的問題：“弟弟的零花錢比哥哥少12元，哥哥的零花錢比弟弟多[15]，弟弟的零花錢有多少？”這樣的題目，僅靠閱讀文字，學生往往無從下手，如果借助如圖2所示的線段圖作為思維的支架，便可以清楚地看到題目之中所隱含的各個數(shù)量及其間的數(shù)量關系。

以圖呈思、以圖促思、以圖明理，學生運用數(shù)形結合的方法溝通形象思維和抽象思維，突破原有認知，促進數(shù)學理解，進而完成對知識的再創(chuàng)造，發(fā)展數(shù)學思維，最終順利解決問題。

二、將數(shù)學思維“說”出來，讓思維全程展現(xiàn)

美國國家實驗室總結出來的學習金字塔理論認為，在諸多學習方式中，聽講、閱讀、視聽、演示這些被動學習方式，相對于討論、實踐、教授給他人這些學習方式而言，學習內(nèi)容的留存率要低很多。這就是說，課堂教學中，教師給學生主動交流學習、實踐操作的機會，將更加有利于促進學生對知識與方法的獲得及應用。因此，課堂教學中，教師應盡可能地給學生創(chuàng)造更多表達的機會，讓學生自主表達、自由表達、充分表達，并在對話、溝通、質疑、答疑的過程中促進思維發(fā)展。

例如，課堂教學中，教師呈現(xiàn)下面的問題：“雙十一購物狂歡節(jié)期間，某超市促銷一種奶粉和一種餅干。李奶奶買了3袋奶粉和5袋餅干，付了278元；張奶奶買了同樣的6袋奶粉和6袋餅干，付了516元。每袋奶粉和餅干各多少元？”要求學生以小組學習的方式，說說自己的想法和問題解決思路，并寫下自己求解的過程和結果。各組學生在討論解決這個問題的過程中，展現(xiàn)了不同的問題解決過程，如圖3、圖4所示。

在圖3中，第1組和第2組的解題思路大體一致，都是將李奶奶購買的奶粉和餅干的數(shù)量都乘以2，從而創(chuàng)造出與張奶奶某一項購買數(shù)量相同的一個條件——6袋奶粉，然后將上下兩個式子相減，便只剩下餅干這一個條件，從而順利求解出每袋餅干的價錢。再以此為基礎，求解出奶粉的價錢。然而，第1組和第2組的寫法又不盡相同，從數(shù)學上看，第1組的寫法更簡潔，思路也更清晰。

在圖4中，第3組和第4組的解題思路一致，與第1組和第2組的思路不同。第3組和第4組都是先將上下兩個算式相減，于是出現(xiàn)3袋奶粉+1袋餅干=238（元）；再將新出現(xiàn)的這個式子與李奶奶3袋奶粉+5袋餅干=278（元）相互對照，可以發(fā)現(xiàn)二者擁有相同的條件——3袋奶粉，然后將這兩個算式相減就可以去掉一個條件即奶粉的數(shù)量和價錢，只剩下另一個條件即餅干的數(shù)量和價錢……總結四組學生的問題解決過程，都運用了將復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化、未知問題已知化的思維方法，而這其實就是數(shù)學上重要的解題策略——“轉化”策略。

課上到這里，按說已經(jīng)比較圓滿了，可是教師意猶未盡，繼續(xù)追問：“還有不同的解題方法嗎？”學生繼續(xù)思考，漸漸有了新的回應。

生1：可以將張奶奶的數(shù)量除以2。

師：除以2是不是所有的題目都能用？

生2：要有倍數(shù)關系才能用。

師：假如沒有倍數(shù)關系會怎樣？找不到相同的條件怎么辦？

……

“創(chuàng)造條件變相同”，這是中學“二元一次方程”消元法的本質。雖然這是小學數(shù)學的課堂，但數(shù)學思維卻是前后一貫的，初中數(shù)學的代數(shù)思維早已孕伏在小學數(shù)學學習的過程當中。在這節(jié)課上，師生猶如一只探險隊，教師是探險隊的首領，用一個個問題引領學生展開數(shù)學思考、交流探討、合作學習，共同經(jīng)歷觀察、對話、溝通、質疑、驗證的過程，最終獲得了數(shù)學知識與方法。教師通過觀察學生的思維狀態(tài)、方向與路徑，靈活調整自己的教學策略，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，發(fā)展學生的數(shù)學思維。

三、將數(shù)學思維“做”出來，讓思維有跡可循

著名心理學家皮亞杰指出：“智慧是從動手開始的，只有親自經(jīng)歷艱辛的探索實踐活動，才能使大腦變得更加智慧，更有創(chuàng)造力?！碧K霍姆林斯基說：“兒童的智慧在自己的指尖上?！惫P者以為，數(shù)學思維不是孤立存在的，小學生的數(shù)學思維發(fā)展，往往伴隨著具體的數(shù)學活動而展開。教師在教學比較抽象的數(shù)學知識時，可以借助“做數(shù)學”的學習活動，讓無形的數(shù)學思維變得有跡可循，使學生通過動手操作、親身體驗獲得和積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗，進而獲得相關數(shù)學知識。具體教學中，教師可以根據(jù)不同學段學生的思維特點設計教學路徑，促進學生的數(shù)學理解，發(fā)展學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

例如，教學人教版數(shù)學二年級下冊“軸對稱圖形”一課，為了促進學生對軸對稱的概念的數(shù)學理解，教師可以在課前布置學生觀看一段剪紙視頻，并動手剪一剪視頻中自己喜歡的圖案；課堂中，教師可以將學生的剪紙作品作為課程資源放在教學導入環(huán)節(jié)，先讓學生觀摩大家的剪紙作品，再請一些學生介紹自己是怎樣剪出這些美麗圖案的，之后讓學生“猜一猜這樣剪出的圖案在數(shù)學上是什么圖形”“看一看這些圖案有什么共同點”。課堂上，學生通過親身經(jīng)歷“折一折”“剪一剪”“猜一猜”“看一看”的系列學習活動，在“做數(shù)學”的過程中對軸對稱圖形產(chǎn)生了豐富的感性經(jīng)驗和直觀認識，課堂上只需教師稍加點撥，便能順利理解軸對稱的本質特征，從而促進學生的數(shù)學理解與思維發(fā)展。

又如，教學人教版數(shù)學五年級上冊“多邊形的面積”中的三角形面積公式前，為了更好地培養(yǎng)、發(fā)展學生的數(shù)學思維，教師可以先讓學生根據(jù)剛剛學過的平行四邊形面積公式推導方法，嘗試自己動手推導三角形的面積，并把自己探索的過程錄成視頻在班上分享。三角形面積公式的推導方法一般可概括為“倍拼法”“割補法”和“分割法”三大類型，如圖5所示。學生在課前通過動手操作，可發(fā)現(xiàn)在倍拼、割補、分割前后三角形的面積及其各部分之間的關系，并利用平行四邊形的面積公式順利推導出了三角形的面積公式，從而總結出“轉化—聯(lián)系—推導”的研究思路。在課堂上，教師帶領學生比較不同推導方法的異同時，學生可發(fā)現(xiàn)轉化的思想：雖然三種推導方法過程不同，但都是借助轉化的思想把未知圖形變成已知圖形加以研究。最后學生深刻理解了推導過程中面積公式里的“÷2”在“倍拼法”和“分割法”中不同的含義。通過親自動手操作，學生對知識形成的過程有了更深刻的理解和體會，并在與同伴的交流中拓寬了思路，深化了認識，為后面進行梯形面積公式、圓的面積公式的推導打下了思維方法基礎。這樣的學習方式，不僅尊重學生的個性差異，體現(xiàn)了學生學習的主體地位，促進了學生的全面發(fā)展，而且讓實驗操作成為培養(yǎng)學生知識獲取能力的重要方法。

《2022年版數(shù)學課標》就義務教育階段的數(shù)學教育首次提出了核心素養(yǎng)的教學導向。然而，正如史寧中教授在新課標培訓中所說：核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是僅憑老師可以教出來的，是學生在他的思維過程中，做事的過程中，本人參與教學的過程中逐漸形成和發(fā)展的。例如，《2022年版數(shù)學課標》首次將“量感”作為義務教育階段數(shù)學核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)之一，主要指向學生對事物的可測量屬性及其大小關系的直觀感知。作為一種感知經(jīng)驗，量感是學生形成抽象能力和應用意識的經(jīng)驗基礎。在進入數(shù)學學習之前，學生在生活中已經(jīng)擁有了一定的量感經(jīng)驗，但這種經(jīng)驗僅限于定性的描述，比如能夠大體感知物體的大與小、輕與重，路程的長與短、遠與近，溫度的高與低，而不能感知大多少、輕多少、長多少等等，也就是不具備定量描述的經(jīng)驗。進入數(shù)學學習后，學生學會了大量的度量單位，因為只會機械地背誦課本中的概念，而較少參與度量與估量等“做數(shù)學”的活動，學生的頭腦中很難形成對單位概念的清晰表象，以至于當面對真實情境中的具體事物選擇合適的度量單位、進行不同單位間的換算、估計度量的結果時，往往不能有效聯(lián)系相關度量單位知識做出準確的判斷，進行量化描述，這就是量感缺失。量感核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，需要一個漫長的過程，教師可以通過給學生布置“量一量”“折一折”“稱一稱”“掂一掂”等貼近生活的實踐作業(yè)，讓學生經(jīng)歷度量和估量等“做數(shù)學”的活動過程，讓學生在動手操作的活動中逐步明白為什么要統(tǒng)一度量單位、為什么要選擇合適的度量單位、為什么要進行單位換算，從而實現(xiàn)對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知逐漸從定性走向定量，不斷豐富量感經(jīng)驗，促進數(shù)學思維發(fā)展。量感的培養(yǎng)貫穿學生六年小學數(shù)學學習和生活的過程，不是一朝一夕可以形成的，它需要學生經(jīng)歷數(shù)學實踐經(jīng)驗積累和發(fā)展的漫長過程。

總之，將思維可視化引入小學數(shù)學教學，可以使數(shù)學教學的焦點從知識層面深入到思維層面，讓學生在“畫數(shù)學”“說數(shù)學”“做數(shù)學”的過程中逐漸發(fā)展數(shù)學思維，有效降低學生對抽象的數(shù)學理解的難度，促使學生更深入地理解數(shù)學知識的本質，形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。

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作者簡介：王巖梅（1976— ），山東煙臺人，本科，正高級教師，首屆自治區(qū)基礎教育教學指導委員會專家，主要研究方向為小學數(shù)學教育。

（責編 白聰敏）