□裘陸勤 章勤瓊

“多邊形的面積”是小學階段“圖形與幾何”領域的重要內容之一，包括平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、組合圖形的面積和不規(guī)則圖形的面積以及解決問題等學習內容。一般而言，“多邊形的面積”單元是學生掌握了長方形和正方形的面積計算、多邊形的認識、圖形的平移與旋轉之后學習的內容，也為后續(xù)學習立體圖形側面積、表面積和體積的計算以及圓面積計算等內容奠定基礎。求多邊形的面積的本質是把未知圖形的面積通過割補、倍拼、分割等方法轉化為已知圖形的面積。實際教學中，教師不僅要注重學生對多邊形的面積的推導過程，還要引導學生探究所研究的圖形與轉化后的圖形之間的聯(lián)系。

此外，在“多邊形的面積”的教學中，教師還需要落實推理意識這一核心素養(yǎng)表現。推理意識主要是指“對邏輯推理過程及其意義的初步感悟”［1］，在“圖形與幾何”領域的具體表現是能夠用化歸的方法形成局部的演繹推理［2］。這里的化歸是指將所研究的的圖形轉化為已經會計算面積的圖形來求面積。然而，轉化思想的形成并不是一蹴而就的，要真正學會轉化，學生需要經歷不同的層次。在“多邊形的面積”的教學中，教師可以從意識、方法與策略等角度真正滲透轉化思想。為此，筆者基于學習路徑分析的研究框架［3］，對“多邊形的面積”單元進行了整體教學的思考。

一、理解單元學習目標

（一）單元內容概述

人教版教材五年級上冊“多邊形的面積”單元的教學目標主要包括：（1）探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積公式；（2）會用面積公式計算平行四邊形、三角形和梯形的面積，并解決生活中一些簡單的實際問題；（3）認識簡單的組合圖形，會把組合圖形分解成已學過的平面圖形并計算出它的面積；（4）會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積。

北師大版教材五年級上冊將相關內容分為“多邊形的面積”和“組合圖形的面積”兩個單元進行教學?！岸噙呅蔚拿娣e”單元的教學目標主要包括：（1）體驗數方格及割補法在圖形面積探究中的應用；（2）認識梯形、平行四邊形與三角形的高，會用三角尺畫這三種圖形的高；（3）理解并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式，會計算這三種圖形的面積。

“組合圖形的面積”單元的教學目標主要包括：（1）能正確計算簡單的組合圖形的面積；（2）能估計不規(guī)則圖形面積的大?。唬?）認識面積單位公頃和平方千米，會進行簡單的面積單位換算。

對比發(fā)現，兩個版本教材關于“多邊形的面積”的編排和教學目標有所不同，但都提出了探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，且能計算組合圖形和不規(guī)則圖形的面積等要求。具體而言，人教版教材在第1課時直接教學平行四邊形的面積；北師大版教材在第1課時先鋪墊了數方格及割補法在圖形面積探究中的應用，幫助學生積累探索圖形面積的活動經驗。

由此得出，本單元的教學內容主要有以下三個方面：（1）探究多邊形的面積公式，會用面積公式解決問題；（2）會計算組合圖形的面積；（3）會估計不規(guī)則圖形的面積。

（二）確定核心目標

史寧中認為，面積度量的實質就是計算該圖形包含多少個面積單位。［4］“多邊形的面積”單元的教學目標就是讓學生運用度量單位計算圖形的面積，主要分為三個階段：第一階段，由于“不是整格”，故引導學生運用割補法實現轉化，即讓學生先借助數方格的方法得到平行四邊形的面積，再把平行四邊形面積通過割補法轉化為長方形面積；第二階段，由于不能用割補法直接解決問題，所以需要引導學生用倍拼等方法，把三角形轉化為長方形或平行四邊形來求面積；第三階段，靈活選擇和運用多種方法，即讓學生把梯形轉化為長方形、平行四邊形或三角形來求面積，把組合圖形通過割補法轉化為已經會計算面積的圖形，根據圖形的特點將不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形等各種策略與方法，估計出不規(guī)則圖形的面積。

由此可知，“多邊形的面積”這一單元的核心目標是：在探索多邊形面積的過程中，滲透轉化思想，發(fā)展學生的推理意識與空間觀念。

（三）核心目標具體化

結合以上整體分析可知，轉化思想是本單元需要落實的核心目標。具體而言，體現在以下三個方面：（1）在探究平行四邊形面積的過程中形成轉化意識。學生首先要以圖形內在聯(lián)系為線索，思考學過面積計算的目標圖形有哪些，如學習平行四邊形面積之前，學生只學習了長方形和正方形的面積計算，因此學生要想辦法把平行四邊形轉化為長方形或正方形；再探究怎樣把現有圖形轉變?yōu)閷W過的目標圖形；最后驗證現有圖形是否真的變成了學過的目標圖形，它們哪里變了，哪里沒有變。（2）在探究三角形面積的過程中掌握轉化方法。教師要引導學生關注圖形之間的轉化方法，如割補法、倍拼法、分割法，掌握其作用及適用范圍。（3）在探究梯形和組合圖形面積的過程中學會選擇合適的轉化策略。此時，學生已經具備了轉化意識，掌握了轉化方法，能用較多的方法計算梯形和組合圖形的面積，教師要引導學生對比計算面積的不同方法，思考轉化過程中各種方法的相同點和不同點，積累圖形面積計算的活動經驗。

二、確定學習起點

本單元的核心目標是滲透轉化思想，具體需要從轉化意識、轉化方法與轉化策略三個方面進行考查。因此，學生已經具備怎樣的轉化水平是本單元教學的重要依據。為了解學生的轉化水平，筆者從學生是否具有轉化意識和所使用的轉化方法兩個方面入手，對五年級兩個教學班的56 名學生進行了前測。而轉化策略作為本單元學習需要達成的最高轉化水平，在前測中沒有涉及。

（一）前測題設計

為了解學生的真實學習情況，筆者設計了3道前測題。第1 題指向學生是否有意識地把平行四邊形轉化為已經學過的圖形，第2題指向學生能否檢驗轉化前后圖形的面積是否保持不變，第3題指向學生在探索三角形面積時是否有不同的轉化方法。具體前測題如下。

1.這個圖形的面積是多少？（每個方格的邊長是1厘米）

2.這個圖形的面積是多少？（每個方格的邊長是1厘米）

小明是這樣做的：7×4=28（cm2）。

（1）你覺得小明是怎么想的？

（2）你同意小明的做法嗎？為什么？

3.這個圖形的面積是多少？用盡可能多的方法計算該圖形的面積。（每個方格的邊長是1厘米）

（二）前測結果分析

從轉化意識和轉化方法兩個方面對前測結果進行分析，其中轉化意識又分為能將現有圖形轉化為目標圖形和能有意識地對現有圖形和目標圖形進行比較兩個不同的水平，可將前測結果劃分為四個水平層次：水平0，不會轉化；水平1，能把現有圖形變成目標圖形，即能就第1 題給出合理解答；水平2，能對現有圖形和目標圖形進行比較，檢驗面積是否不變，即能就第2 題給出合理解答；水平3，能用多樣化的方法解決多邊形面積問題，即能用2種及以上的方法解答第3 題。具體的水平劃分如表1所示。

表1 學生轉化意識和轉化方法的水平情況

三、單元整體設計的思考

按照人教版教材的編排方式，“多邊形的面積”單元的學習分為三個階段：第一階段是學習平行四邊形、三角形和梯形的面積，第二階段是學習組合圖形的面積，第三階段是估測不規(guī)則圖形的面積。教學時，教師不僅要讓學生掌握不同多邊形的面積計算公式，還要讓他們形成轉化思想。為此，教師要更加關注學生轉化思想的形成過程，讓他們通過學習不同圖形的面積，經歷以下三個層次：首先是形成轉化意識，即學生要關聯(lián)目標圖形和現有圖形，嘗試把現有圖形轉化為目標圖形，這是轉化的開始；其次是學習轉化方法，即學生在把現有圖形轉化為目標圖形的過程中總結出轉化方法，豐富轉化經驗，這是轉化思想的核心；最后是形成轉化策略，即學生在掌握了多種轉化方法后，再遇到新圖形的面積計算，要學會選擇合適的轉化策略，建立不同轉化方法之間的聯(lián)系，這是轉化的優(yōu)化。學生只有完整地經歷轉化的三個層次，才能學會利用轉化思想解決生活中更多復雜圖形的面積計算。

基于以上思考，筆者對“多邊形的面積”單元的教學進行了如下重構（如表2），以凸顯滲透轉化思想的不同層次。

表2 “多邊形的面積”單元教學內容優(yōu)化前后的對比

調整后的單元教學課時與教材編排的總課時保持一致，具體是將原來的3 節(jié)練習課整合為1 節(jié)面積練習課，并增加了“圖形的轉化”和“綜合實踐：測算我家的面積”兩個教學內容。其中，第1 課時不開展面積探究活動，而是先讓學生經歷多邊形之間的轉化活動，為探究面積公式做好鋪墊；第2～6課時讓學生探究多邊形和組合圖形的面積計算，幫助學生形成轉化的意識、方法和策略；最后讓學生在綜合實踐活動中，運用多邊形面積公式解決生活中的實際問題。本單元具體教學內容的安排如表3所示。

表3 “多邊形的面積”單元優(yōu)化后的教學內容、核心目標和核心任務