馬曉婧, 石建飛, 張?zhí)炫R, 黨興武, 張 力

(1. 蘭州理工大學(xué) 機電工程學(xué)院,蘭州 730050;2. 蘭州蘭石石油裝備工程股份有限公司,蘭州 730000)

內(nèi)嚙合齒輪具有中心距小,磨損輕,傳動平穩(wěn),使用壽命長等[1]特點。由于單齒和雙齒之間周期性交替嚙合以及齒側(cè)間隙的存在,伴隨著轉(zhuǎn)速和載荷的變化,齒輪嚙合時出現(xiàn)齒面嚙合、輪齒脫離、齒背嚙合等多狀態(tài)嚙合行為。準(zhǔn)確的解釋齒側(cè)間隙所引起的多態(tài)嚙合行為可為齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計優(yōu)化提供理論指導(dǎo)。目前,齒輪之間的嚙合力主要通過線性彈簧阻尼模型計算,該模型由質(zhì)量單元、彈簧單元和阻尼單元所組成[2]。在涉及長周期且存在沖擊時,法向嚙合力的變化可為系統(tǒng)動態(tài)沖擊分析提供基礎(chǔ)?；贖unt等[3]的早期工作,Lankarani等[4]提出改進(jìn)嚙合力模型,該模型解釋了傳動過程中所發(fā)生的能量耗散。Kahraman等[5]早些時候?qū)⑵溆糜诜治鼋Y(jié)合誤差激勵的單自由度齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)特性。Nevzat等[6]對齒輪非線性動力學(xué)模型進(jìn)行綜述,為分析齒側(cè)間隙對齒輪嚙合過程的影響奠定了基礎(chǔ)。Liu等[7]基于線性彈簧阻尼系統(tǒng)的振蕩衰減周期,獲得了用于描述嚙合過程中能量損失的線性模型中的阻尼項。Chen等[8]將齒側(cè)間隙和齒面摩擦相結(jié)合,進(jìn)行了齒輪非線性動力學(xué)特性分析。而單齒和雙齒交替嚙合特性的研究主要集中在齒輪的時變嚙合剛度。Huang等[9]考慮單齒和雙齒嚙合特性的影響,基于能量法推導(dǎo)了直齒輪系統(tǒng)時變嚙合剛度的分析模型。苑士華等[10]計算彈流潤滑狀態(tài)下的圓柱齒輪嚙合特性,分析了不同運行參數(shù)對摩擦力和嚙合力的影響。向玲等[11]綜合動態(tài)側(cè)隙、齒面摩擦、齒輪偏心及時變嚙合剛度等因素,建立了齒輪-轉(zhuǎn)子-滾動軸承系統(tǒng)的彎扭耦合非線性動力學(xué)模型。石建飛等[12]推導(dǎo)了在齒側(cè)間隙影響下的齒面嚙合、脫嚙和齒背嚙合3種動力學(xué)模型。恒定的齒隙可以清楚地描述齒輪系統(tǒng)的齒面嚙合、輪齒分離和齒背嚙合,但它不能有效區(qū)分齒面或齒背嚙合時的單齒和雙齒嚙合。然而,這可以通過時變齒隙來準(zhǔn)確識別單雙齒嚙合情況[13]。Li等[14]建立了具有動態(tài)齒隙的齒輪系統(tǒng)在內(nèi)外組合周期激勵下的非線性動力學(xué)模型。Wang等[15]基于有限元法建立了考慮齒輪幾何誤差和中心距偏差的時變齒隙模型。在以往齒輪系統(tǒng)中,動態(tài)嚙合力模型被表征為隱式函數(shù)。因此,在非線性動力學(xué)分析中,需要通過數(shù)值迭代來計算每個時間步長內(nèi)的嚙合力。這不僅使其計算成本增高,對計算程序的性能也有考驗且因齒輪的法向嚙合力是實際工程應(yīng)用中阻尼的重要來源,以往模型并沒有將傳動過程中的能量耗散計入其中。在目前有關(guān)齒輪系統(tǒng)的非線性動力學(xué)研究文獻(xiàn)中,尚未見到考慮多狀態(tài)嚙合行為對漸開線內(nèi)嚙合直齒輪系統(tǒng)影響的報道。隨著考慮的因素越來越全面、工況越來越復(fù)雜,應(yīng)根據(jù)不同嚙合狀態(tài)下齒輪齒廓、嚙合線和受力情況分段建立各個嚙合狀態(tài)下齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型。

本文在考慮齒面摩擦對齒輪系統(tǒng)的影響,基于Johnson接觸力模型,提出了一種計入能量耗散的改進(jìn)漸開線內(nèi)嚙合直齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)動態(tài)嚙合力計算模型。在該嚙合力模型中,克服了目前現(xiàn)有模型的局限性,在考慮沖擊過程中的能量耗散下,將動態(tài)嚙合力定義為顯式函數(shù)。同時,基于漸開線內(nèi)嚙合圓柱直齒輪傳動原理、時變齒隙以及輪齒間的受力情況,分別建立齒輪副系統(tǒng)在單齒齒面嚙合、雙齒齒面嚙合、單齒齒背嚙合、雙齒齒背嚙合和輪齒脫離多狀態(tài)下的動力學(xué)模型。該研究可為齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)性能優(yōu)化、參數(shù)設(shè)計和進(jìn)一步研究提供了有益的參考。

1 時變參數(shù)的計算

1.1 基于Johnson接觸模型的動態(tài)嚙合力

齒輪嚙合力的確定是預(yù)測齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)性能和承載能力的關(guān)鍵。對齒輪系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)特性分析時,大多數(shù)嚙合力模型是基于Hertz壓力,具有Hertz接觸理論[16]的限制性,迫使這類模型只能用于低間隙的嚙合條件。傳統(tǒng)模型將嚙合力表示為隱函數(shù)的數(shù)學(xué)形式,使其在實際應(yīng)用中計算成本偏高。

本文中動態(tài)嚙合力計算模型基于Johnson接觸力模型[17]而改進(jìn)。在齒輪嚙合時,嚙合輪齒間會產(chǎn)生碰撞或沖擊行為而導(dǎo)致能量的散耗。Lankarani等建立了計入能量耗散的嚙合力模型,提出用恢復(fù)系數(shù)ce進(jìn)行修正,并證實了該系數(shù)的有效性。同時,將嚙合力定義為顯式函數(shù),消除低間隙的使用限制且計算更簡便,由(1)式計算得到。

(1)

(2)

(3)

(4)

式中, ΔR為齒側(cè)間隙,式(4)中常數(shù)Y為對于內(nèi)部接觸難以找一個單一表達(dá)式來獲得良好擬合,即Y可表示為

(5)

綜上,可以得到齒輪副嚙合力數(shù)學(xué)表達(dá)式,如式(6)所示

(6)

(7)

式中,i=k,d分別為齒輪齒面和齒背。

1.2 基于彈流潤滑理論的摩擦因數(shù)

齒面摩擦因數(shù)主要受輪齒幾何形狀、表面硬度、接觸壓力和齒面相對滑動速度等因數(shù)的影響。本文考慮彈流潤滑下的摩擦因數(shù)。根據(jù)He等[18]的研究,第i對嚙合齒輪副的時變摩擦公式表示為式(6)。

(8)

f[SRi(t),Phi(t),ηM,Raavg]=b1+b9eRaavg+
b4|SRi(t)Phi(t)lgηM|+b5e-|SRi(t)Phi(t)lg ηM|

(9)

式中,Raavg=(Ra1+Ra2)/2為平均表面粗糙度;ηM=0.058為動態(tài)黏度;bi(i= 1,2,…,9)為經(jīng)驗因子,其值參見Chen等的研究。第i對嚙合齒輪的最大赫茲壓力Phi(t)表示為式(10)

(10)

式中:fe=Tp/bRbpcosα為單位法向載荷;ρri(t)為第i對嚙合齒輪的相對曲率半徑。

在式(8)、式(9)中,無量綱滾滑率SRi(t)=2vs(t)/ve(t),vs(t)為齒面滑移速度,ve(t)為卷吸速度。λi(t)為摩擦力的方向系數(shù),可通過式(11)得到。

λi(t)=sgn[vs(t)]

(11)

式中, sgn(·)為符號函數(shù),用于確定摩擦力的方向。

2 內(nèi)嚙合齒輪系統(tǒng)多狀態(tài)嚙合動力學(xué)模型

在低速重載的條件下,齒輪系統(tǒng)處于齒面嚙合狀態(tài)。在高速輕載的條件下,齒隙會引起周期性的輪齒脫離或齒背嚙合行為。為了更好地理解齒輪傳動系統(tǒng)的多狀態(tài)嚙合特性,假設(shè)齒輪副為剛性支承,只考慮齒輪的扭轉(zhuǎn)振動,漸開線內(nèi)嚙合圓柱直齒輪在齒面和齒背嚙合狀態(tài)下簡化的物理模型如圖1所示。

圖1 齒輪副的簡化物理模型Fig.1 A simplified physical model about gear

該模型中主、從動輪的轉(zhuǎn)動角位移分別為θp和θg,轉(zhuǎn)動慣量分別為Ip和Ig,齒側(cè)間隙為D(τ),齒面嚙合剛度和阻尼分別為KK,CK,齒面摩擦因數(shù)為μK;齒背嚙合剛度和阻尼分別為Kd,Cd及齒背摩擦因數(shù)為μd;齒輪副動態(tài)傳遞誤差為e(τ),其中齒面誤差激勵e(τ)=eK(τ),齒背誤差為激勵e(τ)=ed(τ)。其余算例參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪參數(shù)表Tab.1 Gear parameter table

2.1 內(nèi)嚙合直齒輪系統(tǒng)多狀態(tài)嚙合分類

圖2 內(nèi)嚙合直齒輪的齒面和齒背嚙合示意圖Fig.2 A meshing schematic diagram of a spur gear pair with drive-side and back-side tooth meshes

基于嚙合過程中嚙合點的位置以及相對位移量與齒側(cè)間隙的幾何關(guān)系,齒輪嚙合狀態(tài)及其邊界條件可分為:

式中:Tm=2π/(zpωp)為一個完整的嚙合周期,包括單齒和雙齒嚙合(AC或A′C′);zp,ωp分別為主齒輪的齒數(shù)和旋轉(zhuǎn)角速度。根據(jù)上述5種嚙合狀態(tài),分別建立相應(yīng)的動力學(xué)模型如下。

2.2 系統(tǒng)多狀態(tài)嚙合動力學(xué)建模

2.2.1 雙齒齒面嚙合狀態(tài)

雙齒齒面嚙合狀態(tài)下嚙合點處受力分析圖,如圖3所示。有兩對輪齒同時參與嚙合,由于存在加工誤差及輪齒的變形,所以對工作區(qū)內(nèi)兩對齒所受載荷的分配有所變化。FNp1,FNp2,FNg1和FNg2為作用在主、從動齒輪上的法向正壓力,方向沿著嚙合線方向。Ffp1,Ffp2,Ffg1和Ffg2為作用在主、從動齒輪上的摩擦力,方向垂直于嚙合線方向。

圖3 雙齒齒面嚙合狀態(tài)下嚙合點處受力分析圖Fig.3 A schematic diagram of force analysis of the spur gear pair under double-tooth drive-side meshing state

根據(jù)內(nèi)嚙合齒輪傳動原理和第二牛頓定律,可得雙齒齒面嚙合狀態(tài)下主、從動輪的絕對轉(zhuǎn)動方程

(12)

式中,兩輪齒齒面法向正壓力FNp1,FNg1,FNp2和FNg2,可由式(13)計算得到。式(14)中,Fm為作用在兩輪齒嚙合力,可由式(6)計算得到。

FNp1>=FNg1>=Lk1(τ)Fm,FNp2>=FNg2>=Lk2(τ)Fm

(13)

式中,Lk1(τ),Lk2(τ)為負(fù)載分擔(dān)比可由文獻(xiàn)[19]得到。作用在兩輪齒齒面的摩擦力Ffp1,Ffg1,Ffp2和Ffg2與摩擦因數(shù)μki(τ)(i=1,2)和齒面法向正壓力成正比,可由式(14)計算得到。

Ffp1=Ffg1=λk1(τ)μk1(τ)Lk1(τ)Fm,
Ffp2=Ffg2=λk2(τ)μk2(τ)Lk2(τ)Fm

(14)

式中,時變摩擦力方向系數(shù)λki(τ)與嚙合點的位置有關(guān),在節(jié)點附近齒面滑移速度方向發(fā)生變化,導(dǎo)致摩擦力方向發(fā)生變化。故時變摩擦力方向系數(shù)λki(τ)與齒面滑移速度vm(t)相關(guān),可由式(11)計算得到。

式(12)中的Sdp1(τ),Sdp2(τ),Sdg1(τ),Sdg2(τ)分別為齒輪副的摩擦力矩,可以寫為

(15)

(16)

將式(13)中的兩個公式相減,即可得到雙齒齒面嚙合狀態(tài)下齒輪系統(tǒng)的相對扭轉(zhuǎn)動力學(xué)方程,如式(17)。

(17)

2.2.2 單齒齒面嚙合狀態(tài)

單齒齒面嚙合狀態(tài)下嚙合點處受力分析圖,如圖4所示。FNp2和FNg2是作用在主、從動齒輪上的正壓力,方向沿著嚙合線方向。Ffp2和Ffg2是作用在主、從動齒輪上的摩擦力,方向垂直于嚙合線方向。

圖4 單齒齒面嚙合狀態(tài)下嚙合點處受力分析圖Fig.4 A schematic diagram of force analysis of the spur gear pair under single-tooth drive-side meshing state

根據(jù)內(nèi)嚙合齒輪傳動原理和第二牛頓定律,可得雙齒齒面嚙合狀態(tài)下主、從動輪的絕對轉(zhuǎn)動方程

(18)

式中,兩輪齒齒面法向正壓力FNp2和FNg2,可由式(19)計算得到。式(18)中,Fm為作用在兩輪齒嚙合力,可由式(6)計算得到。

FNp2=FNg2=Fm

(19)

式中,作用在兩輪齒齒面的摩擦力Ffp2和Ffg2與摩擦因數(shù)μki(τ)和齒面法向正壓力成正比,可由式(20)計算得到。

Ffp2=Ffg2=λk2(τ)μk2(τ)Fm

(20)

將式(18)中的兩個公式相減,即可得到單齒齒面嚙合狀態(tài)下齒輪系統(tǒng)的相對扭轉(zhuǎn)動力學(xué)方程,如式(18)所示。

(21)

2.2.3 雙齒齒背嚙合狀態(tài)

雙齒齒背嚙合狀態(tài)下嚙合點處受力分析圖,如圖5所示。有兩對輪齒同時參與嚙合過程,由于存在加工誤差及輪齒的變形,所以對工作區(qū)內(nèi)兩對齒所受載荷的分配有所變化。FNp1,FNp2,FNg1和FNg2為作用在主、從動齒輪上的正壓力,方向沿著嚙合線方向。Ffp1,Ffp2,Ffg1和Ffg2為作用在主、從動齒輪上的摩擦力,方向垂直于嚙合線方向。

圖5 雙齒齒背嚙合狀態(tài)下嚙合點處受力分析圖Fig.5 A schematic diagram of force analysis of gear teeth under double-tooth back-side meshing state

根據(jù)內(nèi)嚙合齒輪傳動原理和第二牛頓定律,可得雙齒齒背嚙合狀態(tài)下主、從動輪的絕對轉(zhuǎn)動方程

(22)

式中,兩輪齒齒面法向正壓力FNp1,FNg1,FNp2和FNg2,可由式(23)計算得到。式(23)中,Fm為作用在兩輪齒嚙合力,可由式(6)計算得到。

FNp1>=FNg1>=Ld1(τ)Fm,FNp2>=FNg2>=Ld2(τ)Fm

(23)

式中,Ld1(τ),Ld2(τ)為負(fù)載分擔(dān)比可由Pedrero等的研究得到。作用在兩輪齒齒面的摩擦力Ffp1,Ffg1,Ffp2和Ffg2與摩擦因數(shù)μdi(τ)(i=1,2)和齒面法向正壓力成正比,可由式(24)計算得到。

Ffp1=Ffg1=λd1(τ)μd1(τ)Ld1(τ)Fm,
Ffp2=Ffg2=λd2(τ)μd2(τ)Ld2(τ)Fm

(24)

式中,時變摩擦力方向系數(shù)λdi(τ)與嚙合點的位置有關(guān),在節(jié)點附近齒面滑移速度方向發(fā)生變化,導(dǎo)致摩擦力方向發(fā)生變化。故時變摩擦力方向系數(shù)λdi(τ)與齒面滑移速度vm(t)相關(guān),可由式(11)計算得到。

式(22)中的Sdp1(τ),Sdp2(τ),Sdg1(τ),Sdg2(τ)分別為齒輪副的摩擦力矩,可以寫為

(25)

(26)

將式(24)中的兩個公式相減,即可得到雙齒齒面嚙合狀態(tài)下齒輪系統(tǒng)的相對扭轉(zhuǎn)動力學(xué)方程,如式(27)所示。

(27)

2.2.4 單齒齒背嚙合狀態(tài)

單齒齒背嚙合狀態(tài)下嚙合點處受力分析圖,如圖6所示。有一對輪齒同時參與嚙合過程。FNp2和FNg2為作用在主、從動齒輪上的正壓力,方向沿著嚙合線方向。Ffp2和Ffg2為作用在主、從動齒輪上的摩擦力,方向垂直于嚙合線方向。

圖6 單齒齒背嚙合狀態(tài)下嚙合點處受力分析圖Fig.6 A schematic diagram of force analysis of gear teeth under single-tooth back-side meshing state

根據(jù)內(nèi)嚙合齒輪傳動原理和第二牛頓定律,可得單齒齒背嚙合狀態(tài)下主、從動輪的絕對扭轉(zhuǎn)方程

(28)

式中,兩輪齒齒面法向正壓FNp1,FNg1,FNp2和FNg2,可由式(29)計算得到。式(29)中,Fm為作用在兩輪齒嚙合力,可由式(6)計算得到。

FNp2=FNg2=Fm

(29)

式中,作用在兩輪齒齒面的摩擦力Ffp2和Ffg2與摩擦因數(shù)μdi(τ)和齒面法向正壓力成正比,可由式(30)式計算得到。

Ffp2=Ffg2=λd2(τ)μd2(τ)Fm

(30)

將式(28)中的兩個公式相減,即可得到雙齒齒面嚙合狀態(tài)下齒輪系統(tǒng)的相對扭轉(zhuǎn)動力學(xué)方程,如式(31)所示。

(31)

2.2.5 輪齒脫離狀態(tài)

脫齒狀態(tài)示意圖,如圖7所示。根據(jù)內(nèi)嚙合齒輪傳動原理和第二牛頓定律,可得輪齒脫離狀態(tài)下主、從動輪的運動學(xué)方程

圖7 脫齒狀態(tài)示意圖Fig.7 A schematic diagram of the gear pair under teeth disengaged state

(32)

將式(32)中的兩個公式相減,即可得到輪齒脫離狀態(tài)下的動力學(xué)方程,如式(33)所示。

(33)

2.3 系統(tǒng)多狀態(tài)嚙合的無量綱歸一化模型

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

其中

h(t,x3)=

(40)

hdt(t,x3)=

(41)

(42)

因此,得到包含雙齒齒面嚙合、單齒齒面嚙合、雙齒齒背嚙合、單齒齒背嚙合、輪齒脫離等5種狀態(tài)的內(nèi)嚙合圓柱直齒輪系統(tǒng)非線性動力學(xué)無量綱歸一化表達(dá)式,如式(39)。該模型為研究齒輪系統(tǒng)的非線性動力學(xué)和多態(tài)嚙合行為提供了模型基礎(chǔ)。

3 系統(tǒng)多狀態(tài)嚙合行為辨識與分析

通過第2章的分析,得到漸開線內(nèi)嚙合圓柱直齒輪多狀態(tài)嚙合的動力學(xué)模型。因此,根據(jù)輪齒間相對位移量與齒隙的數(shù)值關(guān)系,可以觀察到相平面內(nèi)五態(tài)嚙合行為的存在區(qū)域。通過時變齒隙能夠準(zhǔn)確辨別工作區(qū)內(nèi)單雙齒嚙合情況,假設(shè)Dd為在雙齒嚙合區(qū)域的無量綱齒隙,Ds為在單齒嚙合區(qū)域的無量綱齒隙,其中Ds>Dd。

如圖8所示,單齒齒面嚙合存在于Ⅰ區(qū)(x3≥Ds)。單齒脫離存在于Ⅱ∪Ⅲ∪Ⅳ區(qū)(|x3|

圖8 相平面五態(tài)所占面積Fig.8 The existence area of five meshing states in the phase plane

根據(jù)上述5種不同的Poincaré映射部分,齒輪系統(tǒng)的多狀態(tài)嚙合運動可以用符號n-p-q-r-s來表示。其中:n為系統(tǒng)周期運動次數(shù);p為單齒齒面嚙合次數(shù);q為單齒齒背嚙合次數(shù);r為雙齒齒面嚙合次數(shù);s為雙齒齒背嚙合次數(shù)。若p,q,r或s為零,則表示無單齒齒面嚙合、單齒齒背嚙合、雙齒齒面嚙合、雙齒齒面背嚙合多態(tài)嚙合的發(fā)生。通過分析n-p-q-r-s的運動特性,可得到齒輪系統(tǒng)的多態(tài)嚙合行為的非線性動力學(xué)特性。

設(shè)F=0.16,ε=0.23且以嚙合頻率ω作為控制變量?；跇?gòu)造的5種不同Poincaré映射,分析嚙合頻率變化對齒輪系統(tǒng)在彈流潤滑下的多狀態(tài)嚙合行為的振動特性。圖9(a)深灰色部分為在頻閃映射截面Σn下系統(tǒng)隨嚙合頻率逐漸增大的分岔圖。圖9(b)中深灰色為系統(tǒng)在單齒齒面映射截面Σp的分岔圖,淺色為系統(tǒng)在單齒齒背映射截面Σq的分岔圖。圖9(c)淺灰色部分為雙齒齒面映射截面Σr的分岔圖,深灰色為雙齒齒背映射截面Σs的輸出圖。

圖9 隨著ω增加不同Poincaré映射截面的分岔圖Fig.9 Bifurcation diagrams in different Poincareé mapping sections with the increase in ω

由圖9可知,當(dāng)嚙合頻率ω較小時(A點左側(cè)),系統(tǒng)表現(xiàn)為1-0-0-0-0運動,圖10(a)和圖10(b)分別為ω=0.3的相圖和動態(tài)嚙合力時間歷程圖。此時系統(tǒng)的動態(tài)嚙合力始終大于零,表明齒面嚙合狀態(tài)持續(xù)存在,且不存在脫嚙和齒背嚙合。由于振動幅度較小,齒輪系統(tǒng)的輪齒相對位移和相對速度在單齒和雙齒之間跳躍更為明顯。

圖10 相圖與動態(tài)嚙合力時間歷程圖(1)Fig.10 Phase portraits and time histories of dynamic meshing force (1)

隨嚙合頻率ω逐漸增大(A點和B點之間),系統(tǒng)表現(xiàn)為1-1-0-0-0運動。圖11(a)和圖11(b)分別為ω=0.6的相圖和動態(tài)嚙合力時間歷程圖,“·”為Poincaré映射點。在圖11(a)中相軌跡跨越了單齒隙值的一半,其中Γ1為單齒和雙齒齒面嚙合區(qū)域,Γ2為單齒脫離和雙齒齒面嚙合區(qū)域。圖11(b)為相應(yīng)的動態(tài)嚙合力,動態(tài)嚙合力在單齒區(qū)域為零,而雙齒區(qū)域的動態(tài)嚙合力始終大于零,表明單齒脫離行為發(fā)生存在周期性。

圖11 相圖與動態(tài)嚙合力時間歷程圖(2)Fig.11 Phase portraits and time histories of dynamic meshing force (2)

經(jīng)過C點后,系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的1-1-0-1-0運動,相軌跡較之前更為平滑但仍然存在單齒和雙齒脫離。其中,Γ1為單齒和雙齒齒面嚙合區(qū)域,Γ2為單齒齒背和雙齒齒面嚙合區(qū)域,Γ3為單、雙齒脫嚙狀態(tài),如圖12(a)所示。系統(tǒng)的動態(tài)嚙合力周期性地出現(xiàn)在大于零與等于零之間,如圖12(b)所示。

圖12 圖與動態(tài)嚙合力時間歷程圖(3)Fig.12 Phase portraits and time histories of dynamic meshing force (3)

當(dāng)嚙合頻率繼續(xù)增加,齒輪系統(tǒng)由1-1-0-1-0運動通過倍化分岔進(jìn)入短混沌運動。隨后系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷?運動,主動輪與被動輪的嚙合次數(shù)增加一倍,表現(xiàn)為2-2-0-2-0運動,其相圖和動態(tài)嚙合力時間歷程圖如圖13所示。

圖13 相圖與動態(tài)嚙合力時間歷程圖(4)Fig.13 Phase portraits and time histories of dynamic meshing force (4)

在D點,齒面嚙合、齒背接觸以及脫嚙的次數(shù)發(fā)生改變,系統(tǒng)過渡到2-1-1-1-1運動。在E點,經(jīng)周期倍化分岔再次進(jìn)入混沌運動,即n-p-q-r-s運動。此時,相軌跡變得雜亂無章且穿過Ds,-Ds,Dd和-Dd,如圖14(a)所示;動態(tài)嚙合力出現(xiàn)小于零和等于零(Fm>0,Fm=0和Fm<0)的情況,如圖14(b)所示。表明系統(tǒng)出現(xiàn)單齒齒面嚙合、雙齒齒面嚙合、脫嚙、單齒齒背嚙合和雙齒齒背嚙合5種狀態(tài)嚙合行為。

圖14 相圖與動態(tài)嚙合力時間歷程圖(5)Fig.14 Phase portraits and time histories of dynamic meshing force (5)

隨著嚙合頻率進(jìn)一步增加,系統(tǒng)由混沌運動變?yōu)?-1-1-1-1運動。在F點,系統(tǒng)經(jīng)逆倍化分岔由3-1-1-1-1運動退化為穩(wěn)定的1-1-0-1-0運動,即系統(tǒng)經(jīng)F點后發(fā)生齒面嚙合、單雙齒的脫嚙等行為。

由以上分析結(jié)果可知,當(dāng)嚙合頻率ω較小時,系統(tǒng)保持穩(wěn)定的齒面嚙合狀態(tài)。隨著嚙合頻率ω持續(xù)增大,系統(tǒng)逐漸出現(xiàn)單雙齒的脫嚙、單齒齒背嚙合和雙齒齒背嚙合等多狀態(tài)嚙合行為。在B點和F點(0.5

4 結(jié) 論

(1) 基于Johnson接觸力模型,提出了一種計及時變齒側(cè)間隙和嚙合過程中能量耗散的漸開線內(nèi)嚙合直齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)嚙合力計算模型,考慮齒面摩擦、齒隙和綜合傳動誤差的情況下,建立內(nèi)嚙合齒輪系統(tǒng)的五種不同的嚙合狀態(tài)及其對應(yīng)的邊界條件,推導(dǎo)考慮齒輪系統(tǒng)5態(tài)嚙合行為以及時變齒隙的無量綱歸一化非線性動力學(xué)模型。并克服傳統(tǒng)嚙合力模型的缺點,提出一個新型動態(tài)嚙合力計算方式并代入上述動力學(xué)方程。

(2) 通過構(gòu)造5種Poincaré映射,研究了在5種嚙合行為下的相軌跡和動態(tài)嚙合力演化規(guī)律,發(fā)現(xiàn)當(dāng)嚙合頻率ω=0.3時,系統(tǒng)表現(xiàn)為穩(wěn)定的周期運動。隨著嚙合頻率增加,分岔、混沌運動相繼發(fā)生。嚙合頻率的變化對齒輪系統(tǒng)的穩(wěn)定性及嚙合力的影響較大。此外,分岔和混沌可改變多態(tài)嚙合行為的類型和嚙合力方向上的突變。

(3) 嚙合頻率、負(fù)載等系統(tǒng)參數(shù)對五態(tài)嚙合行為有很大影響。隨著參數(shù)的不斷變化,逐漸出現(xiàn)單、雙齒齒面嚙合以及單、雙齒齒背嚙合,嚙合行為逐漸變得復(fù)雜。合理地選擇嚙合頻率,可以避免輪齒沖擊行為,以改善其動態(tài)性能和應(yīng)用的可靠性。本文也為進(jìn)一步研究內(nèi)嚙合齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析奠定了基礎(chǔ)。