金 花, 張錦濤, 呂小紅, 王 昕

(蘭州交通大學 機電工程學院,蘭州 730070)

機械力學領域廣泛存在的含間隙碰撞振動系統(tǒng)是一類很有代表性的分段光滑系統(tǒng),具有豐富而復雜的動力學行為,并對機械系統(tǒng)的使用效率和性能等因素具有重要的影響。因此,碰撞振動系統(tǒng)動力學研究得到了國內外學者的充分重視。

對碰撞振動系統(tǒng)進行動力學分析時,根據(jù)碰撞體的剛硬程度將碰撞模型分為剛性碰撞和彈性碰撞。彈性碰撞模型考慮了碰撞時間和碰撞過程中的接觸力變化。針對單自由度彈性碰撞振動系統(tǒng),Peterka等[1-2]應用數(shù)值仿真方法研究了周期運動的擦邊、周期倍化和鞍結分岔;Ing等[3]利用半解析法和試驗研究了擦邊軌道鄰域內的動力學;Kundu等[4]考慮4種彈性約束配置,研究了擦邊軌道鄰域內范式映射的特性。擦邊分岔有連續(xù)的和不連續(xù)的擦邊分岔兩種形式。Jiang等[5-6]研究了倍化型和鞍結型擦邊分岔在彈性和剛性碰撞振動系統(tǒng)中的不同特征,并將不連續(xù)幾何分析方法應用于彈性碰撞振動系統(tǒng),解釋了非碰撞運動與周期一碰撞運動之間的擦邊分岔是否連續(xù)的原因。

近幾十年來,研究者試圖將光滑動力系統(tǒng)動力學研究的方法應用到非光滑動力系統(tǒng),并取得了一定的成功。金俐等[7]等利用局部映射方法推導了剛性約束和彈性約束碰撞振動系統(tǒng)Poincaré映射的Jacobi矩陣。徐慧東等[8]針對彈性碰撞振動系統(tǒng),利用轉換矩陣方法得到全局的單值矩陣,通過Floquet理論分析了周期運動的分岔。張華彪等[9]利用參數(shù)延續(xù)打靶法研究了Jeffcott 轉子碰摩系統(tǒng)周期運動的全局行為。張惠等[10]利用胞映射法研究了含間隙和彈性約束振動系統(tǒng)共存吸引子的吸引域變化機理。Tan等[11]結合胞映射和打靶法討論了單自由度含對稱彈性約束振動系統(tǒng)擦邊軌道鄰域內的多穩(wěn)態(tài)行為與混沌演化。

隨著計算科學的發(fā)展,Luo等[12]提出了多參數(shù)協(xié)同仿真分析方法,研究了兩自由度含間隙剛性約束[13-14]、彈性約束[15]和對稱剛性約束碰撞系統(tǒng)在兩參數(shù)平面的周期運動模式及其分布規(guī)律,發(fā)現(xiàn)在相鄰基本周期碰撞運動的兩參數(shù)轉遷過程中可能存在遲滯域和亞諧包含域兩種特殊轉遷域。由于多參數(shù)協(xié)同仿真分析是數(shù)值分析方法,只能求解系統(tǒng)的穩(wěn)定周期運動和混沌,因此,Luo等只是討論了兩種特殊轉遷域內的穩(wěn)定周期運動模式及其分布規(guī)律,沒有考慮包括不穩(wěn)定周期運動的多吸引子共存現(xiàn)象。兩種特殊轉遷域的形成機理以及轉遷域內部共存吸引子的分岔特征至今沒有被完全揭示。打靶法是一種計算動力系統(tǒng)周期運動的常用方法。結合延拓打靶法和Floquet 理論可計算并追蹤共存周期運動的穩(wěn)定性與分岔。因此,本文考慮單自由度彈性碰撞振動系統(tǒng),應用多參數(shù)協(xié)同仿真分析方法辨識系統(tǒng)在兩參數(shù)平面的周期運動模式及其參數(shù)域,結合延拓打靶法和Floquet理論研究相鄰周期運動轉遷過程中的共存吸引子及其分岔,揭示遲滯域和亞諧包含域的形成機理以及轉遷域內的全局動力學。

1 力學模型及運動微分方程

考慮彈性碰撞的線性振子和非線性振子都屬于非光滑動力系統(tǒng),不僅可以發(fā)生光滑動力系統(tǒng)中的各種常規(guī)分岔,還具有一些光滑動力系統(tǒng)不具備的特有分岔。因此,本文考慮圖1所示單自由度含彈性約束線性振動系統(tǒng)的力學模型,受簡諧激勵力Psin(ΩT)作用的振子由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C的黏性阻尼器連接于支承。振子的質量為M,位移用X表示。B為振子與約束之間的間隙。約束用剛度為K2的線性彈簧描述。系統(tǒng)的運動微分方程為

圖1 彈性碰撞系統(tǒng)的力學模型Fig.1 Mechanical model of elastic impact system

(1)

(2)

將式(1)寫成規(guī)范形式

(3)

(4)

(5)

a1=x0-A1cos(ωt0)-B1sin(ωt0)

,

(6)

a2=x1-A2cos(ωt1)-B2sin(ωt1)-kb

,

(7)

2 局部復合映射

為了研究系統(tǒng)在兩參數(shù)平面的周期運動模式及分岔,選擇Poincaré截面Π0={(z,t):mod(t,2π/ω)=0}構建Poincaré映射P:Π0→Π0。系統(tǒng)的一條由z0點出發(fā)再返回z0點的1/1周期運動軌線(周期運動用p/n表示,n為激勵力周期數(shù),p為軌線穿越非光滑界面Σ1的次數(shù)),如圖2所示。圖2中:z0∈Π0;z1∈Σ1;z2∈Σ2;t1+t2+t3=T=2π/ω。軌線在0時刻從z0點出發(fā)在區(qū)域G1中經(jīng)過時間t1抵達z1點,定義相位面Π1={(z,t):t=t1},建立局部映射P1

圖2 1/1周期運動軌線Fig.2 Trajectoryof 1/1 periodic motion

P1:Π0→Π1, (z0,0)(z1,t1)

(8)

映射P1是通過解流形φ1(t)的光滑映射。因此,其Jacobi矩陣DP1為可通過多元函數(shù)求導法則得到

(9)

在t1時刻,軌線離開G1區(qū)域穿越非光滑界面Σ1進入G2區(qū)域,用局部映射P2表示。映射P2所花的時間為0。非光滑界面Σ的法向量為hz=[1,0]T,計算映射P2的Jacobi矩陣DP2為

(10)

軌線在t1時刻從z1點出發(fā)在區(qū)域G2中經(jīng)過時間t2抵達z2點,定義相位面Π2={(z,t):t=t1+t2},建立局部映射P3

P3:Π1→Π2, (z1,t1)(z2,t1+t2)

(11)

映射P3是通過解流形φ2(t)的光滑映射,Jacobi矩陣DP3為

(12)

在t1+t2時刻,軌線離開G2區(qū)域穿越非光滑界面Σ2進入G1區(qū)域,用局部映射P4表示。與t1時刻相同,DP4=I。

Poincaré映射P可以表示為以上局部映射的復合。由于DP2=I和DP4=I,因此

PΠ0→Π0=P′1°P3°P1

(13)

式中:P′>1:Π2→Π0; (z2,t1+t2)(z0,T)。根據(jù)復合映射的鏈式求導法則,映射P的Jacobi矩陣為

DP=DP′1×DP3×DP1

(14)

若周期軌線在由z0點返回z0點的過程中沒有穿越界面Σ1,此時系統(tǒng)為光滑動力系統(tǒng),表現(xiàn)為0/1周期運動,Poincaré映射P為

PΠ0→Π0=P1, (z0,0)(z0,T)

(15)

當周期軌線從z0點出發(fā)經(jīng)歷n個力周期返回z0點,穿越界面Σ1一次時,系統(tǒng)做1/n周期運動。此時Poincaré映射P為

PΠ0→Π0=P1′°P3°P1, (z0,0)(z0,nT)

(16)

當周期軌線在由z0點出發(fā)經(jīng)歷n個力周期返回z0點的過程中p(p>1)次穿越非光滑界面Σ1時,系統(tǒng)做p/n周期運動,此時的Poincaré映射P由2p+1個局部映射復合而成,即

P=P′1°(P3°P1)(p)

(17)

其Jacobi矩陣DP為

DP=DP′1×(DP3×DP1)(p)

(18)

3 延拓打靶法

為了研究系統(tǒng)的全局動力學行為,本文應用基于Poincaré映射的打靶法及Floquet理論求解系統(tǒng)的共存周期解與穩(wěn)定性。由于周期運動對應Poincaré映射P的不動點,則式(3)的周期解可以看作常微分方程的兩點邊值問題

(19)

式中,T=2π/ω,n= 1, 2, 3,…。z0∈Π0需迭代改進,直到滿足邊界條件為止。采用Newton-Raphson迭代法

(20)

(21)

式中: Δv為分岔參數(shù)步長;Q(vk,zk)=P(vk,zk)-zk, ?Q(vk,zk)/?z=DP(vk,zk)-I。 ?Q(vk,zk)/?v可由式(22)以[zk,0]為初始值積分n個激勵力周期T得到。

(22)

其中

(23)

上述計算過程中,在求得不動點的同時得到了Poincaré映射的Jacobi矩陣DP(zk)的特征值,根據(jù)Floquet理論可判斷周期運動的穩(wěn)定性與分岔。

4 兩參數(shù)平面周期1運動的分岔特征

仿真結果表明,當k=9和ξ=0.06時,(ω,b)參數(shù)平面的區(qū)域H={0.1≤ω≤0.8, 0.1≤b≤1.3}內包含系統(tǒng)全部的周期1運動模式。因此,為了研究相鄰p/1周期運動的兩參數(shù)轉遷規(guī)律,取H為考察區(qū)域,根據(jù)式(4)～式(7)計算系統(tǒng)的穩(wěn)定周期運動模式及其參數(shù)域如圖3所示。可見,在H內,除占據(jù)主導地位的p/1(p=0, 1,…, 5)類周期運動的參數(shù)域外,還存在很多主要囊括p/2類亞諧周期運動的小區(qū)域。為了方便分析,把這類小區(qū)域統(tǒng)稱為亞諧包含域。用Lp/1∩(p+1)/1表示p/1和(p+1)/1運動的參數(shù)域分界線,用SIRp表示位于或鄰近分界線Lp/1∩(p+1)/1的亞諧包含域。在p/1與(p+1)/1運動的轉遷中出現(xiàn)的遲滯域用HRp表示。由圖3可知,系統(tǒng)在SIRp內表現(xiàn)的周期運動模式主要有(2p+1)/2和2(p+1)/2等。當p=0和1時,亞諧包含域SIRp出現(xiàn)在(p+1)/1運動的參數(shù)域內鄰近分界線Lp/1∩(p+1)/1的位置,而當p> 1時,亞諧包含域SIRp呈現(xiàn)于波浪狀邊界線Lp/1∩(p+1)/1的波峰處。由于亞諧包含域所處的位置有兩種情況,因此,相鄰p/1類運動經(jīng)亞諧包含域的轉遷呈現(xiàn)兩種不同的特征。

圖3 兩參數(shù)分岔圖Fig.3 Two-parameter bifurcation diagram

4.1 兩類擦邊分岔

本節(jié)分析1/1與2/1運動之間的分岔,揭示p/1與(p+1)/1(p=0, 1)運動的轉遷規(guī)律。取b=0.1,應用延拓打靶法計算1/1與2/1運動轉遷的單參數(shù)分岔圖如圖4(a)所示。b=0.91,ω穿越亞諧包含域SIR1時的分岔圖,如圖4(b)所示。在圖4(a)和圖4(b)中,實線和虛線分別表示穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期運動。由圖4(a)可知,減小ω,1/1運動經(jīng)鞍結型擦邊分岔(GR-SN1)產生2/1運動。分岔點GR和SN1之間的距離Δω=0.000 734 71。當ω=0.738 611 06(GR)時,1/1運動發(fā)生擦邊分岔產生2/1運動。緊接著當ω=0.737 876 35(SN1)時,Floquet特征乘子為λ1=0.360 00,λ2=0.999 99,2/1運動經(jīng)鞍結分岔消失,系統(tǒng)響應跳躍為另一個穩(wěn)定的2/1運動。相反,當ω增大時,開始于ω=0.73的2/1運動在ω=0.743 858 75(SN2)處經(jīng)鞍結分岔消失,系統(tǒng)響應跳躍為1/1運動。不穩(wěn)定周期運動U2/1分支連接2個鞍結分岔點SN1和SN2,從而在1/1與2/1運動的轉遷過程中形成遲滯區(qū)。遲滯區(qū)內,2個2/1運動和U2/1運動在點SN1和GR之間共存,而在點GR和SN2之間,1/1,2/1和U2/1運動共存。共存周期運動的相圖和Poincaré映射圖如圖5(a)～圖5(c)所示。圖中的小面板描述了非光滑界面Σ0鄰域內紅色相軌線的細節(jié)。其中圖5(b)的紅色相軌線與∑相切,切點z*>∈Σ0,1/1與2/1運動經(jīng)擦邊分岔互相轉遷。GR點的擦邊分岔是連續(xù)的,但是,擦邊誘導的鞍結分岔SN1使系統(tǒng)響應不連續(xù)。共存周期運動的吸引域演化如圖5(d)～圖5(f)所示。鞍結分岔使吸引域的拓撲結構發(fā)生突變,導致共存吸引子出現(xiàn)或消失,而擦邊分岔不會引起吸引域的拓撲結構發(fā)生突變。

圖4 1/1與2/1運動的分岔Fig.4 Bifurcations between 1/1 and 2/1 motions

圖5 相圖、Poincaré映射圖和吸引域,b=0.1Fig.5 Trajectories, Poincaré maps and basins of attraction, b=0.1

由圖4(b)可知,增大ω,1/1運動經(jīng)周期倍化型擦邊分岔(GR1-PD1)產生U2/1運動。分岔點GR1和PD1之間的距離Δω=0.004 743 26。當ω=0.508 742 45(GR1)時,系統(tǒng)發(fā)生1/1運動的擦邊分岔。隨后在ω=0.513 485 71(PD1)處,Floquet特征乘子為λ1=-0.230 36,λ2=-1.000 01,周期倍化分岔使2/1運動失去穩(wěn)定性。繼續(xù)增大ω當ω=0.536 450 39(PD2)時,系統(tǒng)再次發(fā)生周期倍化分岔使U2/1運動恢復穩(wěn)定。產生于PD1點的4/2運動在ω=0.517 770 45(GR2)處經(jīng)擦邊分岔產生3/2運動,然后在ω=0.529 939 29(GR3)處返回4/2運動。PD1和PD2為亞諧包含域SIR1邊界上的點。結合圖3和圖4(b),ω穿越亞諧包含域SIR1的分岔可歸納為

(24)

應用延拓打靶法計算1/1和2/1運動相互轉遷的(ω,b)參數(shù)分岔線,結果見圖4(c)。圖4(c)中,不同類型的分岔線用不同的顏色區(qū)分。紅色和綠色鞍結分岔線包圍的區(qū)域為遲滯域。其中,紅色分岔線緊貼藍色擦邊分岔線,因此,1/1運動的鞍結型擦邊分岔(GR-SN1)在1/1與2/1運動的轉遷過程中產生遲滯域HR1。遲滯域分布在波浪狀分界線L1/1∩2/1的波峰爬升區(qū),隨著波峰的減小而減小。其余參數(shù)區(qū)域內,1/1與2/1運動經(jīng)擦邊分岔連續(xù)轉遷。亞諧包含域SIR1被黑色周期倍化分岔線包圍,左側緊靠擦邊分岔線。因此,1/1運動的周期倍化型擦邊分岔(GR-PD)產生亞諧包含域SIR1。

由圖4(c)可知,在P1點,擦邊分岔線和綠色鞍結分岔線橫截相交,鞍結分岔SN2與擦邊分岔GR重合,1/1與2/1運動經(jīng)GR連續(xù)轉遷,同時,鞍結分岔SN2產生1個新的2/1運動和1個U2/1運動。因此,P1點是二重擦邊-鞍結分岔點。兩條鞍結分岔線的匯交點P2為二重鞍結分岔點。圖4(d)為間隙b在點P1和P2附近取值,非光滑界面Σ1的速度隨ω變化的單參數(shù)分岔圖。圖中,0.96

由前面的分析可知,1/1運動的擦邊分岔GR是連續(xù)的,但是鞍結分岔SN1的出現(xiàn)使系統(tǒng)響應在擦邊鄰域內不連續(xù),引起遲滯現(xiàn)象。U2/1運動存在于整個遲滯域HR1和亞諧包含域SIR1內。不同的是,遲滯域內的U2/1運動由鞍結型擦邊分岔產生,而亞諧包含域內的U2/1運動由周期倍化型擦邊分岔產生。分岔參數(shù)繼續(xù)變化,U2/1運動經(jīng)鞍結或周期倍化分岔恢復2/1運動從而使系統(tǒng)響應退出遲滯域或亞諧包含域。

4.2 2/1與3/1運動的轉遷

當p>1時,亞諧包含域SIRp出現(xiàn)在波浪狀邊界線Lp/1∩(p+1)/1的波峰處。p/1與(p+1)/1運動之間出現(xiàn)3種轉遷方式:連續(xù)擦邊分岔、遲滯域和亞諧包含域。2/1與3/1運動經(jīng)遲滯域轉遷的分岔圖,如圖6(a)所示。分岔點GR和SN1之間的距離Δω=0.000 014 63。減小ω,2/1運動的鞍結型擦邊分岔GR-SN1產生向ω增大方向彎曲的U3/1運動分支,引起遲滯現(xiàn)象。然后增大ω,系統(tǒng)再次發(fā)生鞍結分岔(SN2)使U3/1運動恢復穩(wěn)定。遲滯區(qū)內共存周期運動的吸引域如圖6(b)所示。

圖6 2/1與3/1運動經(jīng)遲滯域的轉遷,b=0.7Fig.6 Transition between 2/1 and 3/1 motions crossing a hysteresis region, b=0.7

亞諧包含域SIR2內的亞諧周期運動模式及其參數(shù)域,如圖7(a)所示。與SIR0和SIR1內的動力學相比,SIR2內的動力學更加復雜。用圖7(b)和圖7(c)提供的單參數(shù)分岔圖解釋SIR2的形成機理及其內部亞諧周期運動的分岔。延拓打靶法計算的結果,見圖7(b)。不同類型的分岔用不同顏色的圓點表示,實線表示穩(wěn)定周期解,虛線表示不穩(wěn)定周期解。數(shù)值計算結果見圖7(c)。由圖7(b)和圖7(c)可知,SIR2內出現(xiàn)許多穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期運動及分岔點。圖7(b)左側和右側2/1運動的分岔分別對應SIR2的左右邊界,中間3/1運動的分岔對應SIR2的下邊界。圖7(b)的局部放大,如圖8所示。結合圖7和圖8可知,SIR2的左邊界線為2/1運動的周期倍化分岔線,右邊界為兩條鞍結分岔線形成的遲滯帶,左下和右下邊界線分別為3/1運動的亞臨界和超臨界周期倍化分岔線。

圖7 2/1與3/1運動經(jīng)亞諧包含域的轉遷Fig.7 Transition between 2/1 and 3/1 motions crossing a subharmonic inclusion region

圖8 圖7(b)的局部放大Fig.8 Local amplifications of Fig.7(b)

由圖8(a)可知,減小ω當ω=0.446 108 48(SN1)時,Floquet特征乘子為λ1=-0.184 33,λ2=1.000 10,2/1運動經(jīng)鞍結分岔消失,系統(tǒng)響應跳躍為6/2運動。相反,當ω增大時,周期倍化分岔PD1(ω=0.446 909 20)使U3/1運動恢復穩(wěn)定,然后當ω=0.448 936 13·(SN2)時,3/1運動經(jīng)鞍結分岔消失,系統(tǒng)響應跳躍為2/1運動。鞍結分岔點SN1和SN2在2/1運動與亞諧包含域SIR2內6/2運動的分岔過程中形成遲滯區(qū)。與4.1節(jié)描述的遲滯區(qū)的形成機理不同的是,該遲滯區(qū)內沒有發(fā)生穩(wěn)定周期運動的擦邊分岔,但發(fā)生了不穩(wěn)定周期運動的擦邊分岔GR1(ω=0.447 743 36),使產生于SN1點的U2/1運動與產生于SN2點的U3/1運動連續(xù)轉遷。

見圖8(a)遲滯區(qū)內,系統(tǒng)呈現(xiàn)多種類型的共存周期運動。在SN1和PD1之間,6/2和2/1運動及U3/1和U2/1運動共存。共存周期運動的相圖和Poincaré映射圖如圖9(a)和圖9(b)所示,穩(wěn)定周期運動的吸引域如圖9(c)所示。在PD1點,6/2運動和U3/1運動的軌線重合產生3/1運動。因此,在PD1和GR1之間,3/1和2/1運動及U2/1運動共存。在GR1點,U2/1運動分岔為U3/1運動,因此,在GR1和SN2之間,3/1和2/1運動及U3/1運動共存。

圖9 相圖、Poincaré映射和吸引域,b=0.55Fig.9 Trajectories, Poincaré maps and basins of attraction, b=0.55

亞諧包含域SIR2的左邊界線為周期倍化分岔線。見圖7(b)和圖7(c),增大ω,2/1運動在ω=0.392 255 12(PD2)處發(fā)生周期倍化分岔。延拓追蹤產生于PD2點的4/2運動,當ω=0.392 747 70(GR2)時,系統(tǒng)發(fā)生擦邊分岔產生5/2運動。繼續(xù)增大ω,5/2運動在ω=0.395 817 00(PD3)處經(jīng)周期倍化分岔失去穩(wěn)定性,隨后在ω=0.399 150 90(PD4)處經(jīng)周期倍化分岔又恢復穩(wěn)定。進一步增大ω,系統(tǒng)響應經(jīng)左下邊界退出亞諧包含域SIR2,5/2運動跳躍為3/1運動,分岔細節(jié)見圖8(b)。

亞諧包含域SIR2的右下邊界為3/1運動的超臨界周期倍化分岔線。見圖7(b),增大ω,3/1運動在ω=0.426 167 30(PD6)處發(fā)生周期倍化分岔產生U3/1運動和6/2運動。U3/1運動分支連接前面介紹的PD1點。6/2運動在ω=0.434 119 5(GR5)處經(jīng)擦邊分岔轉遷為5/2運動,然后在ω=0.439 437 40(PD7)處經(jīng)周期倍化分岔失去穩(wěn)定性。繼續(xù)增大ω當ω=444 047 18(GR6)時,系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定周期運動的擦邊分岔由U5/2運動產生U6/2運動。U6/2運動在ω=0.445 747 75(PD8)處獲得穩(wěn)定。由圖7(c)可知,在PD7點之后,5/2運動經(jīng)交替出現(xiàn)的周期倍化分岔和擦邊分岔產生混沌,然后經(jīng)3/1運動的周期倍化序列退出混沌。

4.3 亞臨界周期倍化分岔

圖8(b)描述了3/1與5/2運動之間的分岔細節(jié)。減小ω當ω=0.415 587 21(PD5)時,Floquet特征乘子為λ1=-0.999 99,λ2=-0.163 07,3/1運動發(fā)生周期倍化分岔。應用延拓打靶法發(fā)現(xiàn)U3/1運動在ω=0.415 417 25(GR3)處轉遷為U2/1運動,然后一直持續(xù)到PD2點。在PD5點,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應由3/1運動跳躍為5/2運動,而且存在遲滯現(xiàn)象。因此,PD5為亞臨界周期倍化分岔。經(jīng)過進一步的詳細計算可知,3/1運動的周期倍化分岔PD5產生6/2運動。但是,6/2運動存在的區(qū)間Δω=0.000 000 39。當ω=0.415 586 82(SN3)時,Floquet特征乘子為λ1=1.000 01,λ2=0.026 40,鞍結分岔使6/2運動失去穩(wěn)定性,產生向ω增大方向彎曲的U6/2運動。此后,增大ω,在ω=0.415 608 14(GR4)處,系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定周期運動的擦邊分岔產生U5/2運動。U6/2擦邊運動的相圖和Poincaré映射圖如圖9(d)所示。U5/2運動在ω=0.415 640 34(SN4)處經(jīng)鞍結分岔獲得穩(wěn)定,同時恢復ω遞減的變化方向。由此可見,亞臨界周期倍化分岔PD5的本質是發(fā)生在周期倍化分岔極小鄰域內的鞍結分岔SN3使系統(tǒng)響應產生跳躍和遲滯。把這種周期倍化分岔可稱為鞍結型周期倍化分岔(PD5-SN3)。此外,由于遲滯區(qū)內出現(xiàn)不穩(wěn)定周期運動的擦邊分岔GR4,使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應經(jīng)3/1運動的鞍結型周期倍化分岔跳躍為5/2運動,而不是6/2運動,這點與常規(guī)亞臨界周期倍化分岔行為不同。最后,擦邊分岔GR3的發(fā)生導致U3/1運動沒有存在于整個亞諧包含域SIR2內,這點與SIR0和SIR1的動力學不同。

取b=0.36,系統(tǒng)在ω∈[0.371,0.374]變化的分岔圖如圖10所示。減小ω,2/1運動的擦邊分岔GR1(ω=0.372 263 82)產生3/1運動,然后經(jīng)周期倍化分岔PD(ω=0.372 183 10,Floquet特征乘子為λ1=-0.131 88,λ2=-0.999 99)產生6/2運動。繼續(xù)減小ω,在ω=0.372 173 58(GR2)處,6/2運動經(jīng)擦邊分岔轉遷為5/2運動。隨后在ω=0.372 153 86(SN1)處,特征乘子為λ1=0.017 39,λ2=0.999 97,5/2運動經(jīng)鞍結分岔失去穩(wěn)定性,產生向ω增大方向彎曲的U5/2運動。此后,增大ω,在ω=0.372 911 30(SN2)處,不穩(wěn)定的U5/2運動經(jīng)鞍結分岔獲得穩(wěn)定,同時恢復ω遞減的變化方向。由此可見,亞臨界周期倍化分岔PD的本質是發(fā)生在周期倍化分岔極小鄰域內的鞍結型擦邊分岔GR2-SN1使系統(tǒng)響應產生跳躍和遲滯。遲滯區(qū)內,共存的6/2運動和U5/2的相圖,如圖11所示。

圖10 亞臨界周期倍化分岔,b=0.36Fig.10 Subcritical period-doubling bifurcation, b=0.36

圖11 共存運動的相圖,b=0.372 18Fig.11 Trajectories of coexisting motions, b=0.372 18

5 結 論

本文考慮單自由度彈性碰撞振動系統(tǒng),利用局部映射方法構建系統(tǒng)各類周期運動的Poincaré映射,推導了周期運動分岔分析的延拓打靶法,以及計算Floquet特征乘子的半解析法。應用數(shù)值方法辨識系統(tǒng)在(ω,b)參數(shù)平面的穩(wěn)定周期運動模式及其參數(shù)域?；谘油卮虬蟹ê虵loquet理論分析了相鄰周期1運動的分岔特征,揭示了兩參數(shù)平面內遲滯域和亞諧包含域的形成機理以及二重擦邊-鞍結分岔和二重鞍結分岔現(xiàn)象,討論了亞臨界周期倍化分岔引起系統(tǒng)響應跳躍及遲滯的原因。

彈性碰撞振動系統(tǒng)的擦邊分岔是連續(xù)的。但是鞍結分岔的出現(xiàn)使系統(tǒng)響應在擦邊鄰域內不連續(xù),引起遲滯現(xiàn)象。在p/1和(p+1)/1運動的轉遷過程中,p/1運動的鞍結型擦邊分岔產生遲滯域HRp,U(p+1)/1運動存在于整個遲滯域HRp內。

當p=0和1時,p/1運動的周期倍化型擦邊分岔產生亞諧包含域SIRp。SIRp被(p+1)/1運動的周期倍化分岔線包圍,因此,U(p+1)/1運動存在于整個亞諧包含域SIRp內。而當p>1時,亞諧包含域SIRp主要被p/1和(p+1)/1運動的周期倍化分岔線包圍,因此,SIRp內存在Up/1或U(p+1)/1運動。當不穩(wěn)定周期運動分支連接兩個不同模式穩(wěn)定周期運動分支時,必然要發(fā)生不穩(wěn)定周期運動的擦邊分岔。

亞臨界周期倍化分岔的本質是發(fā)生在周期倍化分岔極小鄰域內的鞍結分岔或鞍結型擦邊分岔使系統(tǒng)響應產生跳躍和遲滯。與常規(guī)亞臨界周期倍化分岔行為不同的是,由于遲滯區(qū)發(fā)生了穩(wěn)定或不穩(wěn)定周期運動的擦邊分岔,使得p/n運動的鞍結型周期倍化分岔產生(2p+1)/2n或(2p-1)/2n運動,而不是2p/2n運動。